Milnor haritası - Milnor map

Matematikte, Milnor haritaları onuruna adlandırıldı John Milnor onları kim tanıştırdı topoloji ve cebirsel geometri kitabında Karmaşık HiperYüzeylerin Tekil Noktaları (Princeton University Press, 1968) ve önceki dersler. En çok incelenen Milnor haritaları aslında fibrasyonlar ve ifade Milnor fibrasyonu matematik literatüründe daha sık karşılaşılır. Bunlar, sayısal değerler oluşturarak izole tekillikleri incelemek için tanıtıldı. değişmezler pürüzsüz bir topolojiyle ilgili deformasyon tekil uzayın.

Tanım

İzin Vermek ${ displaystyle f (z_ {0}, noktalar, z_ {n})}$ sabit olmak Polinom fonksiyonu nın-nin ${ displaystyle n + 1}$ karmaşık değişkenler ${ displaystyle z_ {0}, noktalar, z_ {n}}$ kaybolan odağı nerede

{ displaystyle f (z) { text {ve}} { frac { kısmi f} { kısmi z_ {i}}} (z)}

sadece başlangıçta, yani ilişkili Çeşitlilik ${ displaystyle X = V (f)}$ değil pürüzsüz kökeninde. Bundan dolayı ${ displaystyle K = X cap S _ { varepsilon} ^ {2n + 1}}$ (içinde bir küre ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n + 1}}$ yarıçap ${ displaystyle varepsilon> 0}$ ) Milnor fibrasyonu^[1]^{sf 68} ilişkili ${ displaystyle f}$ harita olarak tanımlanır

{ displaystyle phi kolon (S _ { varepsilon} ^ {2n + 1} setminus K) ila S ^ {1} { text {gönderme}} x mapsto { frac {f (x) } {| f (x) |}}}

,

yerel olarak önemsiz olan pürüzsüz liflenme yeterince küçük için ${ displaystyle varepsilon}$ . Başlangıçta bu Milnor tarafından bir teorem olarak kanıtlandı, ancak daha sonra bir Milnor fibrasyonunun tanımı olarak alındı. Bunun iyi tanımlanmış bir harita olduğunu unutmayın.

{ displaystyle f (x) = | f (x) | cdot e ^ {2 pi i operatöradı {Arg} (f (x))}}

,

nerede ${ displaystyle operatöradı {Arg} (f (x))}$ ... karmaşık bir sayının argümanı.

Tarihsel motivasyon

Bu tür haritaları incelemenin orijinal motivasyonlarından biri, düğümler alarak inşa edilmiş ${ displaystyle varepsilon}$ tekil bir nokta etrafında top düzlem eğrisi gerçek bir 4 boyutlu topa izomorfik olan ve sınırın içindeki düğüme bakıldığında, 1manifold 3'ün içindeküre. Bu kavram genelleştirilebildiğinden hiper yüzeyler Milnor, izole tekilliklerle konuyu tanıttı ve teoremini kanıtladı.

Cebirsel geometride

Bir başka kapalı ilgili kavram cebirsel geometri izole edilmiş bir hiper yüzey tekilliğinin Milnor elyafıdır. Bu benzer bir düzene sahiptir, burada bir polinom ${ displaystyle f}$ ile ${ displaystyle f = 0}$ kökeninde bir tekilliğe sahip, ama şimdi polinom

{ displaystyle f_ {t} iki nokta üst üste mathbb {C} ^ {n + 1} times mathbb {C} - mathbb {C} { text {gönderme}} (z_ {0}, ldots, z_ {n}) mapsto f (z_ {0}, ldots, z_ {n}) - t}

düşünülmektedir. Sonra cebirsel Milnor fiber polinomlardan biri olarak alınır ${ displaystyle f_ {t neq 0}}$ .

Özellikler ve Teoremler

Paralelleştirilebilirlik

Milnor lifleriyle ilgili temel yapı teoremlerinden biri, paralelleştirilebilir manifoldlar^[1]^{s. 75}.

Homotopi türü

Milnor lifleri özeldir çünkü homotopi türü bir küre buketi^[1]^{s. 78}. Aslında, küre sayısı formül kullanılarak hesaplanabilir

{ displaystyle mu (f) = { text {dim}} _ { mathbb {C}} { frac { mathbb {C} [z_ {0}, ldots, z_ {n}]} { operatöradı {Jac} (f)}},}

ideal bölüm nerede Jacobian ideal, kısmi türevlerle tanımlanmıştır ${ displaystyle kısmi f / kısmi z_ {i}}$ . Cebirsel Milnor fiberine deforme olan bu küreler, Ufuk döngüleri fibrasyonun^[1]^{s. 83}. Ne yazık ki, monodromilerinin özdeğerlerini hesaplamak hesaplama açısından zordur ve aşağıdaki gibi gelişmiş teknikler gerektirir: b-işlevler^[2]^{s. 23}.

Milnor'un fibrasyon teoremi

Milnor'un Titreşim Teoremi, her biri için ${ displaystyle f}$ öyle ki kökeni bir tekil nokta hiper yüzeyin ${ displaystyle V_ {f}}$ (özellikle sabit olmayan her karesiz polinom ${ displaystyle f}$ iki değişken için, düzlem eğrileri durumunda), sonra ${ displaystyle epsilon}$ yeterince küçük,

{ displaystyle { dfrac {f} {| f |}} iki nokta üst üste sol (S _ { varepsilon} ^ {2n + 1} setminus V_ {f} sağ) ile S ^ {1}}

bir uydurma. Her bir fiber kompakt değildir türevlenebilir manifold gerçek boyut ${ displaystyle 2n}$ . Her bir fiberin kapağının kompakt bir manifold sınır ile. Burada sınır, kesişme noktasına karşılık gelir ${ displaystyle V_ {f}}$ ile ${ displaystyle (2n + 1)}$ -sfer (yeterince küçük yarıçaplı) ve bu nedenle gerçek bir boyut manifoldu ${ displaystyle (2n-1)}$ . Ayrıca, sınır olarak bilinen bu kompakt manifold Milnor lifi (izole edilmiş tekil noktasının ${ displaystyle V_ {f}}$ kökeninde), kapalı olanın kesişme noktasına diffeomorfiktir ${ displaystyle (2n + 2)}$ -top (küçük ile sınırlanmıştır) ${ displaystyle (2n + 1)}$ -sfer) (tekil olmayan) hiper yüzey ile ${ displaystyle V_ {g}}$ nerede ${ displaystyle g = f-e}$ ve ${ displaystyle e}$ yeterince küçük, sıfır olmayan herhangi bir karmaşık sayıdır. Bu küçük hiper yüzey parçasına aynı zamanda Milnor lifi.

Diğer yarıçaplardaki Milnor haritaları her zaman fibrasyon değildir, ancak yine de birçok ilginç özelliğe sahiptir. Çoğu (ama hepsi değil) polinom için, Sonsuzda Milnor haritası (yani yeterince büyük herhangi bir yarıçapta) yine bir fibrasyondur.

Örnekler

Milnor haritası ${ displaystyle f (z, w) = z ^ {2} + w ^ {3}}$ herhangi bir yarıçapta bir fibrasyondur; bu yapı verir yonca düğüm yapısı bir lifli düğüm.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ ^a ^b ^c ^d Dimca, Alexandru (1992). Hiper yüzeylerin tekillikleri ve topolojisi. New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4612-4404-2. OCLC 852790417.
^ Budur, Nero. "Çarpan idealleri, Milnor lifleri ve diğer tekillik değişmezleri" (PDF). Arşivlendi (PDF) 15 Ağustos 2020 tarihinde orjinalinden.

Milnor, John W. (1968), Karmaşık hiper yüzeylerin tekil noktaları, Matematik Çalışmaları Annals, No 61. Princeton University Press, Princeton, NJ; Tokyo Üniversitesi Yayınları, Tokyo, ISBN 0-691-08065-8

[:0-1] Dimca, Alexandru (1992). Hiper yüzeylerin tekillikleri ve topolojisi. New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4612-4404-2. OCLC 852790417.

[2] Budur, Nero. "Çarpan idealleri, Milnor lifleri ve diğer tekillik değişmezleri" (PDF). Arşivlendi (PDF) 15 Ağustos 2020 tarihinde orjinalinden.

[1]

[2]