Uzawas teoremi - Uzawas theorem - Wikipedia

Uzawa teoremiolarak da bilinir kararlı durum büyüme teoremibir teorem ekonomik büyüme teorisi formu ile ilgili teknolojik değişim alabilir Solow – Swan ve Ramsey – Cass – Koopmans büyüme modelleri. İlk olarak Japon ekonomist tarafından kanıtlandı Hirofumi Uzawa.^[1]

Teoremin bir genel versiyonu iki bölümden oluşur.^[2][3] Birincisi, Solow ve Neoklasik modellerin normal varsayımları altında, eğer (bir süre T'den sonra) sermaye, yatırım, tüketim ve üretim sabit üssel oranlarda artıyorsa, bu oranların eşdeğer olması gerektiğini belirtir. Bu sonuca dayanarak, ikinci kısım, böylesine dengeli bir büyüme yolunda, üretim fonksiyonunun, ${ displaystyle Y = { tilde {F}} ({ tilde {A}}, K, L)}$ (nerede ${ displaystyle A}$ teknolojidir ${ displaystyle K}$ başkenttir ve ${ displaystyle L}$ emektir), teknolojik değişimin çıktıyı yalnızca emek üzerindeki bir skaler olarak etkileyeceği şekilde yeniden yazılabilir (yani ${ displaystyle Y = F (K, AL)}$) olarak bilinen bir mülk emek artırıcı veya Harrod nötr teknolojik değişim.

Uzawa'nın teoremi, yaygın olarak kullanılan Neoklasik ve Solow modellerinin önemli bir sınırlamasını gösterir. Bu tür modellerde dengeli büyüme varsayımını dayatmak, teknolojik değişimin emek artırıcı olmasını gerektirir. Tersine, teknolojinin etkisini emek üzerindeki skaler olarak temsil etmenin mümkün olmadığı herhangi bir üretim işlevi dengeli bir büyüme yolu üretemez.^[2]

Beyan

Bu sayfa boyunca, bir değişkenin üzerindeki bir nokta, zamana göre türevini gösterecektir (ör. ${ displaystyle { nokta {X}} (t) eşdeğeri {dX (t) dt üzerinden}}$). Ayrıca, bir değişkenin büyüme oranı ${ displaystyle X (t)}$ gösterilecek ${ displaystyle g_ {X} eşdeğeri { frac {{ nokta {X}} (t)} {X (t)}}}$.

Uzawa teoremi

(Aşağıdaki versiyon Acemoğlu (2009) 'da bulunmakta ve Schlicht (2006)' dan uyarlanmıştır)

Toplam üretim işlevli model ${ displaystyle Y (t) = { tilde {F}} ({ tilde {A}} (t), K (t), L (t))}$, nerede ${ displaystyle { tilde {F}}: mathbb {R} _ {+} ^ {2} times { mathcal {A}} to mathbb {R} _ {+}}$ ve ${ mathcal {A}}} içinde { displaystyle { tilde {A}} (t)$ t zamanındaki teknolojiyi temsil eder (burada ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ keyfi bir alt kümesidir ${ displaystyle mathbb {R} ^ {N}}$ bazı doğal sayılar için ${ displaystyle N}$). Varsayalım ki ${ displaystyle { tilde {F}}}$ ölçeğe göre sabit getiri sergiler ${ displaystyle K}$ ve ${ displaystyle L}$. T zamanında sermayedeki büyüme şu şekilde verilir:

${ displaystyle { nokta {K}} (t) = Y (t) -C (t) - delta K (t)}$

nerede ${ displaystyle delta}$ amortisman oranı ve ${ displaystyle C (t)}$ t zamanında tüketimdir.

Nüfusun sabit bir oranda arttığını varsayalım, ${ displaystyle L (t) = exp (nt) L (0)}$ve biraz zaman var ${ displaystyle T < infty}$ öyle ki herkes için ${ displaystyle t geq T}$, ${ displaystyle { nokta {Y}} (t) / Y (t) = g_ {Y}> 0}$, ${ displaystyle { nokta {K}} (t) / K (t) = g_ {K}> 0}$, ve ${ displaystyle { nokta {C}} (t) / C (t) = g_ {C}> 0}$. Sonra

1. ${ displaystyle g_ {Y} = g_ {K} = g_ {C}}$; ve

2. Herhangi biri için ${ displaystyle t geq T}$ bir fonksiyon var ${ displaystyle F: mathbb {R} _ {+} ^ {2} - mathbb {R} _ {+}}$ Bu, iki argümanında derece 1'in homojen olduğu, öyle ki toplam üretim işlevi şu şekilde temsil edilebilir: ${ Displaystyle Y (t) = F (K (t), A (t) L (t))}$, nerede $mathbb {R} _ {+}} içinde { displaystyle A (t)$ ve ${ displaystyle g eşdeğeri { nokta {A}} (t) / A (t) = g_ {Y} -n}$.

İspat taslağı

Lemma 1

Herhangi bir sabit için ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle g_ {X ^ { alpha} Y} = alpha g_ {X} + g_ {Y}}$.

Kanıt: Bunu herhangi biri için gözlemleyin ${ displaystyle Z (t)}$, ${ displaystyle g_ {Z} = { frac {{ dot {Z}} (t)} {Z (t)}} = { frac {d ln Z (t)} {dt}}}$. Bu nedenle,${ displaystyle g_ {X ^ { alpha} Y} = { frac {d} {dt}} ln [(X (t)) ^ { alpha} Y (t)] = alpha { frac { d ln X (t)} {dt}} + { frac {d ln Y (t)} {dt}} = alpha g_ {X} + g_ {Y}}$.

Teoremin kanıtı

İlk önce yatırımın büyüme oranının ${ Displaystyle I (t) = Y (t) -C (t)}$ sermayenin büyüme oranına eşit olmalıdır ${ displaystyle K (t)}$ (yani ${ displaystyle g_ {I} = g_ {K}}$)

Zaman zaman kaynak kısıtlaması ${ displaystyle t}$ ima eder

${ displaystyle { nokta {K}} (t) = I (t) - delta K (t)}$

Tanımına göre ${ displaystyle g_ {K}}$, ${ displaystyle { nokta {K}} (t) = g_ {K} K (t)}$ hepsi için ${ displaystyle t geq T}$ . Bu nedenle, önceki denklem ima eder

${ displaystyle g_ {K} + delta = { frac {I (t)} {K (t)}}}$

hepsi için ${ displaystyle t geq T}$. Sol taraf sabittir, sağ taraf ise ${ displaystyle g_ {I} -g_ {K}}$ (Lemma 1 tarafından). Bu nedenle, ${ displaystyle 0 = g_ {I} -g_ {K}}$ ve böylece

${ displaystyle g_ {I} = g_ {K}}$.

Nereden kapalı bir ekonomi için milli gelir muhasebesi, ekonomideki nihai mallar ya tüketilmeli ya da yatırılmalıdır, dolayısıyla herkes için ${ displaystyle t}$

${ displaystyle Y (t) = C (t) + I (t)}$

Zaman getirilerine göre farklılaşma

${ displaystyle { nokta {Y}} (t) = { nokta {C}} (t) + { nokta {I}} (t)}$

Her iki tarafı da bölerek ${ displaystyle Y (t)}$ verim

${ displaystyle { frac {{ nokta {Y}} (t)} {Y (t)}} = { frac {{ nokta {C}} (t)} {Y (t)}} + { frac {{ nokta {I}} (t)} {Y (t)}} = { frac {{ dot {C}} (t)} {C (t)}} { frac {C ( t)} {Y (t)}} + { frac {{ nokta {I}} (t)} {I (t)}} { frac {I (t)} {Y (t)}}}$

${ displaystyle Rightarrow g_ {Y} = g_ {C} { frac {C (t)} {Y (t)}} + g_ {I} { frac {I (t)} {Y (t)} } = g_ {C} { frac {C (t)} {Y (t)}} + g_ {I} (1 - { frac {C (t)} {Y (t)}}) = (g_ {C} -g_ {I}) { frac {C (t)} {Y (t)}} + g_ {I}}$

Dan beri ${ displaystyle g_ {Y}, g_ {C}}$ ve ${ displaystyle g_ {I}}$ sabitler ${ displaystyle { frac {C (t)} {Y (t)}}}$ sabittir. Bu nedenle, büyüme hızı ${ displaystyle { frac {C (t)} {Y (t)}}}$ sıfırdır. Lemma 1 ile şunu ima eder:

${ displaystyle g_ {c} -g_ {Y} = 0}$

Benzer şekilde, ${ displaystyle g_ {Y} = g_ {I}}$. Bu nedenle, ${ displaystyle g_ {Y} = g_ {C} = g_ {K}}$.

Sonra bunu herhangi biri için gösteriyoruz ${ displaystyle t geq T}$üretim fonksiyonu, emek-artırıcı teknolojiye sahip bir fonksiyon olarak temsil edilebilir.

Zamanın üretim fonksiyonu ${ displaystyle T}$ dır-dir

${ displaystyle Y (T) = { tilde {F}} ({ tilde {A}} (T), K (T), L (T))}$

Sabit ölçeğe geri dön üretim özelliği (${ displaystyle { tilde {F}}}$ dır-dir birinci derece homojen içinde ${ displaystyle K}$ ve ${ displaystyle L}$) herhangi biri için ${ displaystyle t geq T}$, önceki denklemin her iki tarafını da çarparak ${ displaystyle { frac {Y (t)} {Y (T)}}}$ verim

${ displaystyle Y (T) { frac {Y (t)} {Y (T)}} = { tilde {F}} ({ tilde {A}} (T), K (T) { frac {Y (t)} {Y (T)}}, L (T) { frac {Y (t)} {Y (T)}})}$

Bunu not et ${ displaystyle { frac {Y (t)} {Y (T)}} = { frac {K (t)} {K (T)}}}$ Çünkü ${ displaystyle g_ {Y} = g_ {K}}$(bakın diferansiyel denklemlere çözüm bu adımın kanıtı için). Böylece yukarıdaki denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

${ displaystyle Y (t) = { tilde {F}} ({ tilde {A}} (T), K (t), L (T) { frac {Y (t)} {Y (T) }})}$

Herhangi ${ displaystyle t geq T}$, tanımlamak

${ displaystyle A (t) eşdeğeri { frac {Y (t)} {L (t)}} { frac {L (T)} {Y (T)}}}$

ve

${ displaystyle F (K (t), A (t) L (t)) eşdeğeri { tilde {F}} ({ tilde {A}} (T), K (t), L (t) A (t))}$

İki denklemin getirisini birleştirmek

${ displaystyle F (K (t), A (t) L (t)) = { tilde {F}} ({ tilde {A}} (T), K (t), L (T) { frac {Y (t)} {Y (T)}}) = Y (t)}$ herhangi ${ displaystyle t geq T}$.

İnşaat yoluyla, ${ displaystyle F (K, AL)}$ aynı zamanda birinci derece homojen iki argümanında.

Dahası, Lemma 1 ile büyüme hızı ${ displaystyle A (t)}$ tarafından verilir

${ displaystyle { frac {{ nokta {A}} (t)} {A (t)}} = { frac {{ nokta {Y}} (t)} {Y (t)}} - { frac {{ nokta {L}} (t)} {L (t)}} = g_ {Y} -n}$. ${ displaystyle blacksquare}$

Referanslar