A∞-operad - A∞-operad

Teorisinde operadlar içinde cebir ve cebirsel topoloji, bir Bir_∞-operad çarpım haritası için bir parametre alanıdır. tutarlı bir şekilde homotopi ilişkisel. (Hem homotopi tutarlı bir şekilde ilişkisel hem de tutarlı bir şekilde değişmeli homotopi olan bir çarpımı tanımlayan bir operada, E_∞-operad.)

Tanım

Topolojik uzaylar üzerindeki simetrik grubun bir eylemi ile operadların (olağan) ortamında, bir operad Bir olduğu söyleniyor Bir_∞-operad eğer tüm boşlukları Bir(n) Σ_n-eşdeğer olarak homotopi eşdeğeri ayrık boşluklara Σ_n ( simetrik grup ) çarpma işlemiyle (nerede n ∈ N). -Olmayan operadların ortamında (simetrik olmayan operadlar, permütasyonsuz operadlar olarak da adlandırılır), bir operad Bir dır-dir Bir_∞eğer tüm boşlukları Bir(n) daralabilir. Diğer kategoriler topolojik uzaylardan daha çok homotopi ve kasılabilirlik aşağıdakiler gibi uygun analoglarla değiştirilmelidir homoloji denklikleri kategorisinde zincir kompleksleri.

Bir_n-operadlar

Mektup Bir terminolojide "birleştirici" anlamına gelir ve sonsuzluk sembolleri, "tüm" yüksek homotopilere kadar ilişkilendirilebilirliğin gerekli olduğunu söyler. Daha genel olarak, daha zayıf bir fikir vardır. Bir_n-operad (n ∈ N), yalnızca belirli bir homotopi düzeyine kadar ilişkilendirilebilen çarpımların parametreleştirilmesi. Özellikle,

Bir₁boşluklar sivri boşluklardır;
Bir₂-uzaylar H boşlukları çağrışım koşulları olmadan; ve
Bir₃-uzaylar homotopi ilişkisel H-uzaylarıdır.

Bir_∞-operadlar ve tek döngü alanları

Bir boşluk X ... döngü alanı ile gösterilen başka bir alanın BX, ancak ve ancak X bir cebirdir ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operad ve monoid π₀(X) bağlı bileşenlerinden bir gruptur. Bir cebir ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operad, bir ${ displaystyle mathbf {A} _ { infty}}$ -Uzay. Döngü uzaylarının bu karakterizasyonunun üç sonucu vardır. İlk olarak, bir döngü uzayı bir ${ displaystyle A _ { infty}}$ -Uzay. İkincisi, bağlantılı ${ displaystyle A _ { infty}}$ -Uzay X bir döngü alanıdır. Üçüncü olarak, grup tamamlama Muhtemelen bağlantısız ${ displaystyle A _ { infty}}$ -space bir döngü alanıdır.

Önemi ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operad'ler homotopi teorisi cebirler arasındaki bu ilişkiden kaynaklanıyor ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operadlar ve döngü uzayları.

Bir_∞-algebralar

Üzerine bir cebir ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operad denir ${ displaystyle A _ { infty}}$ -cebir. Örnekler şunları içerir: Fukaya kategorisi Semplektik bir manifoldun tanımlanabildiği zaman (ayrıca bkz. psödoholomorfik eğri ).

Örnekler

En bariz, özellikle yararlı değilse, bir örnek ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operad, ilişkisel operad a veren ${ displaystyle a (n) = Sigma _ {n}}$ . Bu operad kesinlikle ilişkisel çarpımları açıklar. Tanım gereği herhangi bir ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operad'ın haritası var a bu bir homotopi eşdeğeridir.

A'nın geometrik bir örneği_∞-operad Stasheff polytopes tarafından verilir veya Associahedra.

Daha az kombinatoryal bir örnek, küçük aralıklar operası: Boşluk ${ displaystyle A (n)}$ tüm düğünlerden oluşur n ayrık aralıklar birim aralığına.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Stasheff, Jim (Haziran – Temmuz 2004). "Operad Nedir?" (PDF ). American Mathematical Society'nin Bildirimleri. 51 (6): 630–631. Alındı 2008-01-17.
J. Peter May (1972). Yinelenen Döngü Uzaylarının Geometrisi. Springer-Verlag. Arşivlenen orijinal 2015-07-07 tarihinde. Alındı 2008-02-19.
Martin Markl; Steve Shnider; Jim Stasheff (2002). Cebir, Topoloji ve Fizikte İşlemler. Amerikan Matematik Derneği.
Stasheff, James (1963). "Homotopi birlikteliği H-uzaylar. I, II ". Amerikan Matematik Derneği İşlemleri. 108 (2): 275–292, 293–312. doi:10.2307/1993608. JSTOR 1993608.