Uyarlanabilir adım boyutu - Adaptive step size

Bu makalenin birden çok sorunu var. Lütfen yardım et onu geliştir veya bu konuları konuşma sayfası. (Bu şablon mesajların nasıl ve ne zaman kaldırılacağını öğrenin) Bu makale konuya aşina olmayanlar için yetersiz bağlam sağlar. Lütfen yardım et makaleyi geliştirmek tarafından okuyucu için daha fazla bağlam sağlamak. (Haziran 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Uyarlanabilir adım boyutu"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Ekim 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde Sayısal analiz, bir uyarlanabilir adım boyutu için bazı yöntemlerde kullanılır sıradan diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü (özel durum dahil Sayısal entegrasyon ) Yöntemin hatalarını kontrol etmek ve sağlamak için kararlılık özellikleri gibi A-istikrar. Türev boyutunda büyük bir varyasyon olduğunda uyarlanabilir bir adım boyutu kullanmak özellikle önemlidir. Örneğin, bir uydunun dünya etrafındaki hareketini standart olarak modellerken Kepler yörüngesi gibi sabit bir zaman adımlı yöntem Euler yöntemi yeterli olabilir. Bununla birlikte, bir uzay aracının hareketini hem Dünya'yı hem de Ay'ı dikkate alarak modellemek isterse işler daha zordur. Üç vücut sorunu. Orada, uzay aracı Dünya ve Ay'dan uzaktayken büyük zaman adımlarının atılabileceği senaryolar ortaya çıkıyor, ancak uzay aracı gezegensel cisimlerden biriyle çarpışmaya yaklaşırsa, küçük zaman adımlarına ihtiyaç var. Romberg'in yöntemi ve Runge – Kutta – Fehlberg uyarlanabilir bir adım boyutu kullanan sayısal entegrasyon yöntemlerinin örnekleridir.

Misal

Basit olması açısından, aşağıdaki örnek en basit entegrasyon yöntemini kullanır: Euler yöntemi; pratikte, daha yüksek dereceli yöntemler Runge-Kutta yöntemler, üstün yakınsama ve kararlılık özelliklerinden dolayı tercih edilmektedir.

Başlangıç ​​değeri problemini düşünün

${ Displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), qquad y (a) = y_ {a}}$

nerede y ve f vektörleri belirtebilir (bu durumda bu denklem, birkaç değişkenli bağlı ODE'lerin bir sistemini temsil eder).

Bize fonksiyon veriliyor f(t,y) ve başlangıç ​​koşulları (a, y_a) ve çözümü şu adreste bulmak istiyoruz: t = b. İzin Vermek y(b) kesin çözümü bve izin ver y_b hesapladığımız çözümü gösterir. Biz yazarız ${ displaystyle y_ {b} + varepsilon = y (b)}$, nerede ${ displaystyle varepsilon}$ sayısal çözümdeki hatadır.

Bir dizi için (t_n) değerlerinin t, ile t_n = a + nh, Euler yöntemi, karşılık gelen değerlere yaklaşık değerler verir. y(t_n) gibi

${ displaystyle y_ {n + 1} ^ {(0)} = y_ {n} + hf (t_ {n}, y_ {n})}$

Bu yaklaşımın yerel kesme hatası şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle tau _ {n + 1} ^ {(0)} = y (t_ {n + 1}) - y_ {n + 1} ^ {(0)}}$

ve tarafından Taylor teoremi gösterilebilir (sağlanan f yeterince pürüzsüz) yerel kesme hatası adım boyutunun karesiyle orantılıdır:

${ displaystyle tau _ {n + 1} ^ {(0)} = ch ^ {2}}$

nerede c orantılılığın bir sabitidir.

Bu çözümü ve hatasını bir ile işaretledik ${ displaystyle (0)}$.

Değeri c bizim için bilinmiyor. Şimdi, Euler'in yöntemini farklı bir adım boyutuyla tekrar uygulayarak ikinci bir yaklaşım oluşturalım. y(t_n+1). İkinci bir çözüm elde ediyoruz ve bunu bir ${ displaystyle (1)}$. Yeni adım boyutunu orijinal adım boyutunun yarısı olarak alın ve Euler'in yönteminin iki adımını uygulayın. Bu ikinci çözüm muhtemelen daha doğrudur. Euler'in yöntemini iki kez uygulamamız gerektiğinden, yerel hata (en kötü durumda) orijinal hatanın iki katıdır.

${ displaystyle y_ {n + { frac {1} {2}}} = y_ {n} + { frac {h} {2}} f (t_ {n}, y_ {n})}$

${ displaystyle y_ {n + 1} ^ {(1)} = y_ {n + { frac {1} {2}}} + { frac {h} {2}} f (t_ {n + { frac { 1} {2}}}, y_ {n + { frac {1} {2}}})}$

${ displaystyle tau _ {n + 1} ^ {(1)} = c sol ({ frac {h} {2}} sağ) ^ {2} + c sol ({ frac {h} {2}} sağ) ^ {2} = 2c left ({ frac {h} {2}} sağ) ^ {2} = { frac {1} {2}} ch ^ {2} = { frac {1} {2}} tau _ {n + 1} ^ {(0)}}$

${ displaystyle y_ {n + 1} ^ {(1)} + tau _ {n + 1} ^ {(1)} = y (t + h)}$

Burada hata faktörünü varsayıyoruz ${ displaystyle c}$ aralık boyunca sabittir ${ displaystyle [t, t + h]}$. Gerçekte, değişim hızı orantılıdır ${ displaystyle y ^ {(3)} (t)}$. Çözümleri çıkarmak, hata tahminini verir:

${ displaystyle y_ {n + 1} ^ {(1)} - y_ {n + 1} ^ {(0)} = tau _ {n + 1} ^ {(1)}}$

Bu yerel hata tahmini üçüncü dereceden doğrudur.

Yerel hata tahmini, adımların nasıl boyutlandırıldığına karar vermek için kullanılabilir. ${ displaystyle h}$ istenen doğruluğu elde etmek için değiştirilmelidir. Örneğin, yerel bir tolerans ${ displaystyle { text {tol}}}$ izin verilir, izin verebiliriz h şöyle gelişir:

${ displaystyle h sağarrow 0,9 times h times min sol ( max sol ( sol ({ frac { text {tol}} {2 sol | tau _ {n + 1} ^ { (1)} sağ |}} sağ) ^ {1/2}, 0,3 sağ), 2 sağ)}$

${ displaystyle 0.9}$ sonraki denemede başarıyı garantileyen bir güvenlik faktörüdür. Minimum ve maksimum, önceki adım boyutundan aşırı değişiklikleri önlemek içindir. Bu, prensip olarak yaklaşık bir hata vermelidir ${ displaystyle 0.9 times { text {tol}}}$ sonraki denemede. Eğer ${ displaystyle | tau _ {n + 1} ^ {(1)} | <{ text {tol}}}$, adımın başarılı olduğunu düşünüyoruz ve çözümü iyileştirmek için hata tahmini kullanılıyor:

${ displaystyle y_ {n + 1} ^ {(2)} = y_ {n + 1} ^ {(1)} + tau _ {n + 1} ^ {(1)}}$

Bu çözüm aslında üçüncü derece yerel kapsamda doğru (genel kapsamda ikinci sıra), ancak bunun için bir hata tahmini olmadığından, bu adım sayısını azaltmaya yardımcı olmaz. Bu tekniğe denir Richardson ekstrapolasyonu.

İlk adım boyutuyla başlayarak ${ displaystyle h = b-a}$Bu teori, ODE'nin kontrol edilebilir entegrasyonunu noktadan kolaylaştırır. ${ displaystyle a}$ -e ${ displaystyle b}$, yerel bir hata toleransı verilen optimum sayıda adım kullanarak. Bir dezavantaj, özellikle düşük sıra kullanılırken adım boyutunun engelleyici şekilde küçük olabilmesidir. Euler yöntemi.

4. dereceden Runge – Kutta yöntemi gibi daha yüksek dereceden yöntemler için benzer yöntemler geliştirilebilir. Ayrıca, yerel hatayı genel kapsama ölçeklendirerek genel bir hata toleransı elde edilebilir.

Gömülü hata tahminleri

Sözde 'gömülü' hata tahminini kullanan uyarlanabilir aşamalı boyut yöntemleri şunları içerir: Runge – Kutta – Fehlberg, Nakit-Karp ve Dormand-Prens yöntemler. Bu yöntemlerin hesaplama açısından daha verimli olduğu, ancak hata tahminlerinde daha düşük doğrulukta olduğu düşünülmektedir.

Ayrıca bakınız

• Uyarlanabilir kareleme
• Uyarlanabilir sayısal farklılaşma

Referanslar

daha fazla okuma

• William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, C Sayısal Tarifler, İkinci Baskı, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, 1992. ISBN  0-521-43108-5
• Kendall E. Atkinson, Sayısal analiz, İkinci Baskı, John Wiley & Sons, 1989. ISBN  0-471-62489-6