Alegori (matematik) - Allegory (mathematics)

Matematik alanında kategori teorisi, bir alegori bir kategori kategorinin bazı yapısına sahip olan Rel nın-nin setleri ve ikili ilişkiler onların arasında. Alegoriler, ilişki kategorilerinin bir soyutlaması olarak kullanılabilir ve bu anlamda, alegoriler teorisi, ilişki cebiri farklı türler arasındaki ilişkilere. Alegoriler, kategori teorisindeki belirli yapıların tanımlanmasında ve araştırılmasında da yararlıdır. tam tamamlamalar.

Bu yazıda şu konvansiyonu benimsiyoruz: morfizmler sağdan sola yaz, bu yüzden RS "ilk yapmak So zaman yap R".

Tanım

Bir alegori bir kategori içinde

• her morfizm ${displaystyle Rcolon X o Y}$ ile ilişkili anti-involution, yani bir morfizm ${displaystyle R ^ {circ} kolon Y o X}$ ile ${displaystyle R ^ {circ circ} = R}$ ve ${displaystyle (RS) ^ {circ} = S ^ {circ} R ^ {circ} {ext {;}}}$ ve
• her bir morfizm çifti ${displaystyle R, Scolon X o Y}$ ortak etki alanı / ortak etki alanı, bir kavşak, yani bir morfizm ${displaystyle Rcap Scolon X o Y}$

hepsi öyle

• kavşaklar etkisiz: ${displaystyle Rcap R = R,}$ değişmeli: ${displaystyle Rcap S = Scap R,}$ ve ilişkisel: ${displaystyle (Rcap S) cap T = Rcap (Scap T);}$
• anti-involution dağıtır kavşak üstü: ${displaystyle (Rcap S) ^ {circ} = S ^ {circ} cap R ^ {circ};}$
• kompozisyon, kesişme üzerinde yarı dağınıktır: ${displaystyle R (Scap T) subseteq RScap RT}$ ve ${displaystyle (Rcap S) Tsubseteq RTcap ST;}$ ve
• modülerlik yasası karşılanır: ${displaystyle RScap Tsubseteq (Rcap TS ^ {circ}) S.}$

Burada, kesişim tarafından tanımlanan sırayı kullanarak kısaltıyoruz: ${displaystyle Rsubseteq S}$ anlamına geliyor ${displaystyle R = Rcap S.}$

Bir alegorinin ilk örneği, kümeler ve ilişkiler kategorisi. nesneler bu alegorinin setleri ve bir morfizm ${displaystyle X o Y}$ arasındaki ikili bir ilişkidir X ve Y. Morfizmlerin bileşimi ilişkilerin bileşimi ve anti-evrim ${displaystyle R}$ ... ters ilişki ${displaystyle R ^ {circ}}$: ${displaystyle yR ^ {circ} x}$ ancak ve ancak ${displaystyle xRy}$. Morfizmlerin kesişimi (set-teorik) kavşak ilişkilerin.

Düzenli kategoriler ve alegoriler

Normal kategorilerde ilişki alegorileri

Bir kategoride C, bir ilişki nesneler arasında X ve Y bir açıklık morfizmlerin ${displaystyle Xgets R o Y}$ bu ortaklaşa Monik. Böyle iki açıklık ${displaystyle Xgets S o Y}$ ve ${displaystyle Xgets T o Y}$ arasında bir izomorfizm olduğunda eşdeğer kabul edilir S ve T her şeyin işe gidip gelmesini sağlayan; daha kesin konuşmak gerekirse, ilişkiler yalnızca denkliğe kadar tanımlanır (kişi bunu kullanarak ya da denklik sınıfları veya kullanarak bisiklet kategorileri ). Eğer kategori C ürünleri var, arasında bir ilişki var X ve Y ile aynı şey monomorfizm içine X × Y (veya bunun bir eşdeğerlik sınıfı). Varlığında geri çekilmeler ve uygun çarpanlara ayırma sistemi ilişkilerin bileşimi tanımlanabilir. Kompozisyon ${displaystyle Xgets R o Ygets S o Z}$ önce cospan geri çekilerek bulunur ${displaystyle R o Ygets S}$ ve sonra ortaya çıkan aralığın müşterek monik görüntüsünü alarak ${displaystyle Xgets Rgets ullet o S o Z.}$

Çarpanlara ayırma sistemi uygun şekilde kararlı ise ilişkilerin bileşimi ilişkisel olacaktır. Bu durumda bir kategori düşünülebilir Rel (C)ile aynı nesnelerle Cama morfizmin nesneler arasındaki ilişkiler olduğu yerde. Kimlik ilişkileri köşegendir ${displaystyle X o X imes X.}$

Bir normal kategori (geri çekilme altında kapakların kararlı olduğu sonlu limitlere ve görüntülere sahip bir kategori), kararlı bir düzenli epi / mono faktörleştirme sistemine sahiptir. Normal bir kategori için ilişki kategorisi her zaman bir alegoridir. Anti-evrim, ilişkinin kaynağını / hedefini döndürerek tanımlanır ve kesişimler, alt nesneler geri çekilme ile hesaplanır.

Alegorilerdeki haritalar ve tablolar

Bir morfizm R bir alegoride Bir denir harita eğer bütünse ${displaystyle (1subseteq R ^ {circ} R)}$ ve deterministik ${displaystyle (RR ^ {circ} subseteq 1).}$ Bunu söylemenin başka bir yolu da, haritanın bir morfizm olduğudur. sağ bitişik içinde Bir ne zaman Bir yerel sipariş yapısı kullanılarak bir 2 kategori. Alegori içindeki haritalar kimlik ve kompozisyon altında kapatılır. Böylece, bir alt kategori Harita(Bir) nın-nin Bir aynı nesnelerle, ancak yalnızca morfizm olarak haritalarla. Normal bir kategori için Ckategorilerin bir izomorfizmi var ${displaystyle Ccong operatorname {Map} (operatorname {Rel} (C)).}$ Özellikle, bir morfizm Harita (Rel (Ayarlamak)) sadece sıradan işlev ayarla.

Bir alegoride bir morfizm ${displaystyle Rcolon X o Y}$ dır-dir tablo halinde bir çift haritayla ${displaystyle fcolon Z o X}$ ve ${displaystyle gcolon Z o Y}$ Eğer ${displaystyle gf ^ {circ} = R}$ ve ${displaystyle f ^ {circ} fcap g ^ {circ} g = 1.}$ Bir alegori denir tablo her morfizmin bir çizelgesi varsa. Normal bir kategori için C, alegori Rel (C) her zaman tablodur. Öte yandan, herhangi bir tablo alegori için Bir, Kategori Harita(Bir) Haritaların% 'si yerel olarak normal bir kategoridir: geri çekilmeleri vardır, eşitleyiciler ve geri çekilme altında sabit olan görüntüler. Bu, ilişkileri incelemek için yeterlidir Harita(Bir)ve bu ortamda ${displaystyle Acong operatorname {Rel} (operatorname {Map} (A)).}$

Unital alegoriler ve normal harita kategorileri

Bir birim bir alegoride bir nesnedir U kimliğin en büyük morfizm olduğu ${displaystyle U o U,}$ ve öylesine ki her nesneden, ile tam bir ilişki vardır. U. Bir birimi olan bir alegori denir ünital. Tablo şeklinde bir alegori verildiğinde Bir, Kategori Harita(Bir) normal bir kategoridir (bir terminal nesnesi ) ancak ve ancak Bir ünitaldir.

Daha karmaşık alegori türleri

Alegorilerin ek özellikleri aksiyomatize edilebilir. Dağıtıcı alegoriler var Birlik - uygun şekilde iyi davranan benzeri operasyon ve bölünme alegorileri Bölme işleminin genellemesine sahip olmak ilişki cebiri. Güç alegorileri dağıtım bölümü alegorileridir ve ek Gücü ayarla benzeri yapı. Alegoriler ve düzenli kategoriler arasındaki bağlantı, güç alegorileri ve toposes.

Referanslar

• Peter Freyd Andre Scedrov (1990). Kategoriler, Alegori. Matematiksel Kitaplık Cilt 39. Kuzey-Hollanda. ISBN  978-0-444-70368-2.

• Peter Johnstone (2003). Bir Filin Eskizleri: Bir Topos Teorisi Özeti. Oxford Science Publications. OUP. ISBN  0-19-852496-X.