Satıcı teoremi gezici analistler - Analysts traveling salesman theorem - Wikipedia

analistin gezici satıcı sorunu bir analogudur seyyar satıcı sorunu içinde kombinatoryal optimizasyon. En basit ve orijinal haliyle, bir setin hangi koşullarda olabileceğini sorar. E iki boyutlu Öklid uzayı ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ içinde yer almak doğrultulabilir eğri sonlu uzunlukta. Dolayısıyla, orijinal seyyar satıcı probleminde, ayrı bir yola sahip bir grafikteki her tepe noktasını ziyaret etmenin en kısa yolu istenirken, bu analitik versiyon eğrinin belki de sonsuz sayıda noktayı ziyaret etmesini gerektirir.

β sayılar

A posteriori, için E doğrultulabilir bir eğri Γ içinde yer alır, çünkü Γ teğetler -de H¹Γ'deki neredeyse her nokta (nerede H¹ tek boyutlu gösterir Hausdorff ölçüsü ), E Bakmalı düz Yakın noktalarda yakınlaştırdığınızda E. Bu, bize bir kümenin bir eğri içinde yer alıp alamayacağını söyleyen bir koşulun, bir şekilde ne kadar düz olan E noktalarına yakınlaştırdığımız zamandır E farklı ölçeklerde.

Bu tartışma, aşağıdaki miktarın tanımını motive eder:

${ displaystyle beta _ {E} (Q) = { frac {1} { ell (Q)}} inf { delta: { text {bir çizgi var}} L { text {yani her}} x in E cap Q, ; { text {dist}} (x, L) < delta },}$

Nerede Q herhangi bir kare ${ displaystyle ell (Q)}$ yan uzunluğu Qve dist (x, L) mesafeyi ölçer x çizgiye L. Sezgisel olarak, ${ displaystyle 2 beta _ {E} (Q) ell (Q)}$ bölümünü içeren en küçük dikdörtgenin genişliğidir. E içeride Q, ve dolayısıyla ${ displaystyle beta _ {E} (Q)}$ bize ölçeğe göre değişmeyen bir fikir verir pürüzsüzlük.

Jones'un R'deki gezici satıcı teoremi²

Δ, ikili karelerin koleksiyonunu gösterelim, yani,

${ displaystyle Delta = {[i2 ^ {k}, (i + 1) 2 ^ {k}] times [j2 ^ {k}, (j + 1) 2 ^ {k}]: i, j , mathbb içinde k {Z} },}$

nerede ${ displaystyle mathbb {Z}}$ tamsayılar kümesini gösterir. Bir set için ${ displaystyle E subseteq mathbb {R} ^ {2}}$, tanımlamak

${ displaystyle beta (E) = { text {diam}} E + toplamı _ {Q Delta} beta _ {E} (3Q) ^ {2} ell (Q)}$

Diam nerede E ... çap nın-nin E. Sonra Peter Jones 's^[1] analistin gezici satıcı teoremi şu şekilde ifade edilebilir:

• Bir numara var C > 0 öyle ki her zaman E öyle bir settir ki β(E) < ∞, E en fazla uzunlukta bir eğri içinde yer alabilir Cβ(E).
• Tersine (ve kanıtlaması çok daha zor), eğer Γ düzeltilebilir bir eğri ise, o zaman β(Γ) 1(Γ).

Genellemeler ve Menger eğriliği

Öklid uzayı ve Hilbert uzayı

Gezici Satıcı Teoreminin genel olarak Öklid uzaylarını barındırdığı gösterilmiştir. Kate Okikiolu,^[2] yani, yukarıdaki teorem setler için de geçerlidir ${ displaystyle E subseteq mathbb {R} ^ {d}}$, d > 1, burada Δ şu anda içindeki ikili küplerin toplamıdır ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ çift ​​kareler ile benzer şekilde tanımlanır. Kanıtında, sabit C boyutla birlikte katlanarak büyürd.

Tanımında bazı küçük değişikliklerle β(E), Raanan Schul^[3] gösterdi Traveling Salesman Theorem ayrıca setler için de geçerli E herhangi bir yalan Hilbert Uzay ve özellikle Jones ve Okikiolu teoremlerini ima eder, burada şimdi sabit C boyuttan bağımsızdır. (Özellikle bu, β-küp yerine top sayısı).

Menger eğriliği ve metrik uzaylar

Hahlomaa^[4] tanımını daha da ayarladı β(E) bir set ne zaman için bir koşul elde etmek E keyfi metrik uzay içinde bulunabilir Lipschitz -bir altkümenin görüntüsü ${ displaystyle A subseteq mathbb {R}}$ pozitif ölçü. Bunun için, tanımını yeniden tanımlaması gerekiyordu. β-kullanılan sayılar menger eğriliği (çünkü metrik bir uzayda mutlaka bir küp veya düz bir çizgi kavramı yoktur).

Menger eğriliği, önceki örnekte olduğu gibi, bir kümenin düzeltilebilir bir alt küme içerip içermediğini belirleyen sayısal tahminler vermek için kullanılabilir ve bu sonuçların kanıtları sıklıkla aşağıdakilere bağlıdır β- sayılar.

Denjoy-Riesz teoremi

Denjoy-Riesz teoremi bir eğrinin homeomorfik görüntüsü ile bir nokta kümesinin kapsanabileceği genel koşulları verir. Bu, özellikle her kompakt cihaz için doğrudur. tamamen kopuk Öklid düzleminin alt kümesi. Bununla birlikte, analistin gezici satıcı teoreminin koşullarını karşılamayan böyle bir yayın sonsuz uzunluğa sahip olması gerekli olabilir.

Referanslar