Antitetik varyatlar - Antithetic variates

İçinde İstatistik, antitetik varyatlar yöntem bir varyans azaltma kullanılan teknik Monte Carlo yöntemleri. Simüle edilen sinyaldeki hata azaltımının (kullanılarak Monte Carlo yöntemleri ) bir kare kök yakınsama çok büyük sayıda örneklem Doğru bir sonuç elde etmek için yollar gereklidir. Antitetik varyasyonlar yöntemi, simülasyon sonuçlarının varyansını azaltır.^[1][2]

Temel ilke

Antitetik varyatlar tekniği, elde edilen her numune yolu için, antitetik yolunu almaktan oluşur - buna bir yol verilir ${displaystyle {varepsilon _ {1}, dots, varepsilon _ {M}}}$ ayrıca almak ${displaystyle {-varepsilon _ {1}, dots, -varepsilon _ {M}}}$. Bu tekniğin avantajı iki yönlüdür: normal üretmek için alınacak örnekler N yollar ve azaltır varyans hassaslığı artırarak örnek yolların

Tahmin etmek istediğimizi varsayalım

${displaystyle heta = mathrm {E} (h (X)) = mathrm {E} (Y),}$

Bunun için iki örnek oluşturduk

${displaystyle Y_ {1} {ext {ve}} Y_ {2},}$

Tarafsız bir tahmin ${displaystyle {heta}}$ tarafından verilir

${displaystyle {hat {heta}} = {frac {{hat {heta}} _ {1} + {hat {heta}} _ {2}} {2}}.}$

Ve

${displaystyle {ext {Var}} ({hat {heta}}) = {frac {{ext {Var}} (Y_ {1}) + {ext {Var}} (Y_ {2}) + 2 {ext { Cov}} (Y_ {1}, Y_ {2})} {4}}}$

yani varyans azalır eğer ${displaystyle {ext {Cov}} (Y_ {1}, Y_ {2})}$ negatiftir.

örnek 1

Değişken kanunu X takip eder üniforma dağıtımı [0, 1] boyunca ilk örnek ${displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {n}}$, nerede, herhangi bir ben, ${displaystyle u_ {i}}$ -dan elde edilir U(0, 1). İkinci örnek, ${displaystyle u '_ {1}, ldots, u' _ {n}}$, nerede, herhangi bir ben: ${displaystyle u '_ {i} = 1-u_ {i}}$. Eğer set ${displaystyle u_ {i}}$ [0, 1] boyunca tek tip, yani ${displaystyle u '_ {i}}$. Dahası, kovaryans negatiftir ve ilk varyans azalmasına izin verir.

Örnek 2: integral hesaplama

Tahmin etmek istiyoruz

${displaystyle I = int _ {0} ^ {1} {frac {1} {1 + x}}, mathrm {d} x.}$

Kesin sonuç ${displaystyle I = ln 2approx 0.69314718}$. Bu integral, beklenen değer olarak görülebilir ${ekran stili f (U)}$, nerede

${displaystyle f (x) = {frac {1} {1 + x}}}$

ve U takip eder üniforma dağıtımı  [0, 1].

Aşağıdaki tablo klasik Monte Carlo tahminini karşılaştırmaktadır (örnek boyutu: 2n, nerede n = 1500) antitetik varyasyon tahminine (örneklem büyüklüğü: n, dönüştürülmüş örnek 1 ile tamamlandı -sen_ben):

	Tahmin	Standart sapma
Klasik Tahmin	0.69365	0.00255
Antitetik Varyatlar	0.69399	0.00063

Sonucu tahmin etmek için antitetik varyatlar yönteminin kullanılması, önemli bir varyans azalması gösterir.

Referanslar