Yaklaşım alanı - Approach space

İçinde topoloji bir dalı matematik, yaklaşma alanları bir genellemedir metrik uzaylar, noktadan-Ayarlamak noktadan noktaya mesafeler yerine mesafeler. Robert Lowen tarafından 1988 ile 1995 yılları arasında yaklaşım teorisi üzerine bir dizi makalede tanıtıldılar.

Tanım

Bir metrik uzay verildiğinde (X, d) veya daha genel olarak bir Genişletilmiş sözdekuasimetrik (kısaltılacak olan ∞pq-metrik burada), indüklenmiş bir harita tanımlanabilir d: X × P (X) → [0, ∞] tarafından d(x, Bir) = inf {d(x, a) : a ∈ Bir}. Bu örnek akılda tutularak, mesafe açık X bir harita olarak tanımlandı X × P (X) → [0, ∞] herkes için tatmin edici x içinde X ve Bir, B ⊆ X,

  1. d(x, {x}) = 0,
  2. d(x, Ø) = ∞,
  3. d(x, Bir∪B) = dk (d(x, Bir), d(x, B)),
  4. Tüm 0 ≤ ε ≤ ∞ için, d(x, Bir) ≤ d(x, Bir(ε)) + ε,

nerede tanımlıyoruz Bir(ε) = {x : d(x, Bir) ≤ ε}.

("boş infimum pozitif sonsuzdur "kuralı, sıfır kesişme her şeydir ortak düşünce.)

Bir yaklaşma alanı bir çift olarak tanımlanır (X, d) nerede d bir mesafe fonksiyonudur X. Her yaklaşım alanının bir topoloji tedavi edilerek verilir Bir → Bir(0) olarak Kuratowski kapatma operatörü.

Yaklaşım uzayları arasındaki uygun haritalar, kasılmalar. Bir harita f: (X, d) → (Y, e) bir kasılmadır, eğer e(f(x), f[Bir]) ≤ d(x, Bir) hepsi için x ∈ X ve Bir ⊆ X.

Örnekler

Her ∞pq-metrik uzay (X, d) olabilir mesafeli için (X, d), tanımın başında açıklandığı gibi.

Bir set verildi X, ayrık mesafe verilir d(x, Bir) = 0 ise x ∈ Bir ve d(x, Bir) = ∞ eğer x ∉ Bir. indüklenmiş topoloji ... ayrık topoloji.

Bir set verildi X, ayrık mesafe verilir d(x, Bir) = 0 ise Bir boş değildir ve d(x, Bir) = ∞ eğer Bir boş. İndüklenen topoloji, ayrık topolojidir.

Verilen bir topolojik uzay X, bir topolojik mesafe verilir d(x, Bir) = 0 ise x ∈ Bir, ve d(x, Bir) = ∞ aksi halde. İndüklenmiş topoloji, orijinal topolojidir. Aslında, iki değerli uzaklıklar topolojik uzaklıklardır.

İzin Vermek P = [0, ∞] Genişletilmiş negatif olmayan gerçekler. İzin Vermek d+(x, Bir) = maks (x − sup  Bir, 0) için x ∈ P ve Bir ⊆ P. Herhangi bir yaklaşma alanı verildiğinde (X, d), haritalar (her biri için Bir ⊆ X) d(., Bir) : (X, d) → (P, d+) kasılmalardır.

Açık P, İzin Vermek e(x, Bir) = inf {|x − a| : a ∈ Bir} için x <∞, izin ver e(∞, Bir) = 0 ise Bir sınırsızdır ve izin ver e(∞, Bir) = ∞ eğer Bir Sınırlı. Sonra (P, e) bir yaklaşım alanıdır. Topolojik olarak, P [0, ∞) 'nın tek noktalı sıkıştırmasıdır. Bunu not et e sıradan Öklid mesafesini uzatır. Bu, sıradan Öklid metriğiyle yapılamaz.

Hadi βN Taş-yankı yoğunlaştırması olabilir tamsayılar. Bir nokta U ∈ βN bir ultra filtre mi N. Bir alt küme Bir ⊆ βN bir filtreyi indükler F(Bir) = ∩ {U : U ∈ Bir}. İzin Vermek b(U, Bir) = sup {inf {|n − j| : n ∈ X, j ∈ E } : X ∈ U, E ∈ F(Bir)}. Sonra (βN, b) normal Öklid mesafesini uzayan bir yaklaşma alanıdır. N. Aksine, βN ölçülebilir değil.

Eşdeğer tanımlar

Lowen, en az yedi eşdeğer formülasyon sunmuştur. İkisi aşağıda.

XPQ (X) xpq metrikleri kümesini gösterir X. Bir alt aile G XPQ'nun (X) a denir ölçü Eğer

  1. 0 ∈ G, burada 0 sıfır metriktir, yani 0 (x, y) = 0 hepsi için x, y,
  2. e ≤ d ∈ G ima eder e ∈ G,
  3. d, e ∈ G max (d,e) ∈ G (buradaki "maks", noktasal maksimumdur),
  4. Hepsi için d ∈ XPQ (X), eğer hepsi için x ∈ X, ε> 0, N <∞ var e ∈ G öyle ki min (d(x,y), N) ≤ e(x, y) + ε hepsi için y, sonra d ∈ G.

Eğer G bir ölçüdür X, sonra d(x,Bir) = sup {e(x, a) } : e ∈ G} bir mesafe fonksiyonudur X. Tersine, bir mesafe fonksiyonu verildiğinde d açık X, kümesi e ∈ XPQ (X) öyle ki e ≤ d bir ölçüdür X. İki işlem birbirinin tersidir.

Bir kasılma f: (X, d) → (Y, e), ilişkili göstergeler açısından G ve H sırasıyla herkes için bir harita d ∈ H, d(f(.), f(.)) ∈ G.

Bir kule açık X bir dizi haritadır Bir → Bir[ε] için Bir ⊆ X, ε ≥ 0, herkes için tatmin edici Bir, B ⊆ X ve δ, ε ≥ 0

  1. Bir ⊆ Bir[ε],
  2. Ö[ε] = Ø,
  3. (Bir ∪ B)[ε] = Bir[ε] ∪ B[ε],
  4. Bir[ε] [δ] ⊆ Bir[ε + δ],
  5. Bir[ε] = ∩δ> ε Bir[δ].

Bir mesafe verildiğinde d, Ilişkili Bir → Bir(ε) bir kuledir. Tersine, bir kule verildiğinde, harita d(x,Bir) = inf {ε: x ∈ Bir[ε]} bir mesafedir ve bu iki işlem birbirinin tersidir.

Bir kasılma f:(X, d)→(Y, e) ilişkili kuleler açısından, tüm ε ≥ 0, f[Bir[ε]] ⊆ f[Bir][ε].

Kategorik özellikler

Yaklaşım uzayları ve daralmalarındaki temel ilgi, bir kategori metrik uzaylar gibi nicel olmakla birlikte iyi özelliklere sahip. Bir keyfi alabilir Ürün:% s, ortak ürünler ve bölümler ve sonuçlar, topolojiler için ilgili sonuçları uygun şekilde genelleştirir. Hatta β gibi ölçülemeyen alanlar bile "uzaklaştırılabilir".N, Stone – Čech kompaktlaştırma tamsayılar.

Bazı hiper uzaylar, boşlukları ölçmek, ve olasılıksal metrik uzaylar doğal olarak bir mesafeye sahip olduğu ortaya çıktı. Başvurular ayrıca yaklaşım teorisi.

Referanslar

  • Lowen, Robert (1997). Yaklaşım uzayları: topoloji-tekdüzelik-metrik üçlüsündeki eksik halka. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press. ISBN  0-19-850030-0. Zbl  0891.54001.
  • Lowen, Robert (2015). Endeks Analizi: İş Yerinde Yaklaşım Teorisi. Springer.

Dış bağlantılar