Geçişten kaçınıldı - Avoided crossing

İçinde kuantum fiziği ve kuantum kimyası, bir geçişten kaçınıldı (bazen aranır amaçlanan geçiş,^[1] kesişmeyen veya çaprazlama) iki özdeğerler bir Hermit matrisi bir kuantumu temsil eden gözlenebilir ve bağlı olarak N sürekli gerçek parametreler bir değer dışında ("çapraz") eşit olamaz manifold nın-nin N-2 boyut.^[2] Bu fenomen aynı zamanda von Neumann - Wigner teoremi olarak da bilinir. Bir durumunda iki atomlu molekül (bir parametre ile, yani bağ uzunluğu ), bu özdeğerlerin hiç kesişemeyeceği anlamına gelir. Bir durumunda üç atomlu molekül Bu, özdeğerlerin yalnızca tek bir noktada çakışabileceği anlamına gelir (bkz. konik kesişim ).

Bu özellikle kuantum kimyası. İçinde Born-Oppenheimer yaklaşımı, elektronik moleküler Hamiltoniyen dır-dir köşegenleştirilmiş bir dizi farklı moleküler geometride (elde edilen özdeğerler değerleridir adyabatik potansiyel enerji yüzeyleri ). Potansiyel enerji yüzeylerinin geçmekten kaçındığı geometriler, mahal Born-Oppenheimer yaklaşımı başarısız olduğunda.

İki durumlu sistemlerde

Çıkış

Bir çalışma iki seviyeli sistem kuantum mekaniğinde hayati öneme sahiptir çünkü fiziksel olarak gerçekleştirilebilir birçok sistemin basitleştirilmesini bünyesinde barındırır. Etkisi tedirginlik iki durumlu bir sistemde Hamiltoniyen özdurumların enerji farkı eğrisine karşı bireysel enerji grafiğinde kaçınılmış kesişmelerle ortaya çıkar.^[3] İki durumlu Hamiltoniyen şöyle yazılabilir:

{ displaystyle H = { begin {pmatrix} E_ {1} & 0 0 & E_ {2} end {pmatrix}} , !}

Özdeğerleri olan ${ displaystyle textstyle E_ {1}}$ ve ${ displaystyle textstyle E_ {2}}$ ve özvektörler, ${ displaystyle textstyle { başlar {pmatrix} 1 0 end {pmatrix}}}$ ve ${ displaystyle textstyle { başlar {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}}}$ . Bu iki özvektör, sistemin iki durumunu belirtir. Sistem herhangi bir durumda hazırlanırsa, bu durumda kalacaktır. Eğer ${ displaystyle textstyle E_ {1}}$ eşit olur ${ displaystyle E_ {2}}$ iki kat olacak yozlaşma Hamiltoniyen'de. Bu durumda dejenere özdurumların herhangi bir süperpozisyonu, belli ki Hamiltoniyen'in başka bir özdurumudur. Dolayısıyla herhangi bir durumda hazırlanan sistem sonsuza kadar bu şekilde kalacaktır.

İki durumlu sistemde geçiş önlendi. Parametre artırılarak enerji seviyesi geçişi önlenir

{ displaystyle textstyle w (= | W |)}

. Dış pertürbasyonun yokluğunda, orijinal enerji durumları dejenere olsaydı, seviyeler geçebilirdi, yani.

{ displaystyle textstyle Delta E = 0}

Bununla birlikte, harici bir tedirginlik Hamilton değişiminin matris elemanları. Basitlik uğruna, yalnızca köşegen olmayan öğelerle bir karışıklık düşünürüz. Genel Hamiltoniyen Hermitian olması gerektiğinden, yeni Hamiltoniyeni yazabiliriz.

{ displaystyle H ^ {'} = H + P = { begin {pmatrix} E_ {1} & 0 0 & E_ {2} end {pmatrix}} + { begin {pmatrix} 0 & W W ^ {* } & 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} E_ {1} & W W ^ {*} & E_ {2} end {pmatrix}} , !}

P, sıfır çapraz terimli pertürbasyondur. P'nin Hermitian olması, köşegen dışı bileşenlerini düzeltir. Değiştirilmiş özdurumlar, değiştirilmiş Hamiltoniyen'i köşegenleştirerek bulunabilir. Görünüşe göre yeni özdeğerler,

{ displaystyle E _ {+} = { frac {1} {2}} (E_ {1} + E_ {2}) + { frac {1} {2}} { sqrt {(E_ {1} - E_ {2}) ^ {2} +4 | W | ^ {2}}}}

{ displaystyle E _ {-} = { frac {1} {2}} (E_ {1} + E_ {2}) - { frac {1} {2}} { sqrt {(E_ {1} - E_ {2}) ^ {2} +4 | W | ^ {2}}}}

Bir grafik farklı şekillerde çizilirse ${ displaystyle textstyle (E_ {1} -E_ {2})}$ yatay eksen boyunca ve ${ displaystyle textstyle E _ {+}}$ veya ${ displaystyle textstyle E _ {-}}$ Dikey boyunca, bir hiperbolün iki dalını buluyoruz (şekilde gösterildiği gibi). Eğri asimptotik olarak orijinal bozulmamış enerji seviyelerine yaklaşır. Eğriler incelendiğinde, orijinal durumların dejenere olmuş olsa bile (örn. ${ displaystyle textstyle E_ {1} = E_ {2}}$ ) yeni enerji durumları artık eşit değildir. Ancak, eğer ${ displaystyle textstyle W}$ sıfıra ayarlandı, bulabileceğimiz ${ displaystyle textstyle (E_ {1} -E_ {2}) = 0}$ , ${ displaystyle textstyle E _ {+} = E _ {-}}$ ve seviyeler kesişir. Böylece tedirginliğin etkisi ile bu hemzemin geçitlerin önüne geçilir.

Kuantum rezonansı

Yozlaşmış iki durumlu bir sistemde kaçınılmış hemzemin geçmenin ani etkisi, düşürülmüş bir enerji öz durumunun ortaya çıkmasıdır. Enerjinin etkili bir şekilde düşürülmesi her zaman artan stabiliteye karşılık gelir. (Bkz: Enerji minimizasyonu ) Bağ rezonansı Organik moleküller, bu tür önlenmiş geçişlerin oluşumunu örneklemektedir. Bu durumları açıklamak için, daha önce köşegenleştirilen bir Hamiltoniyendeki köşegen olmayan elemanların sadece enerji özdeğerlerini değiştirmekle kalmayıp aynı zamanda eski özdurumları yenilerinin üstüne bindirdiğini not edebiliriz.^[4] Orijinal Hamiltoniyen'in dejenerasyonu varsa, bu etkiler daha belirgindir. Daha fazla kararlılık elde etmek için özdurumların bu üst üste binmesi, kesinlikle kimyasal bağ rezonansı fenomendir.

Daha önceki tedavimiz özvektörleri göstererek başladı ${ displaystyle textstyle { başlar {pmatrix} 1 0 end {pmatrix}}}$ ve ${ displaystyle textstyle { begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}}}$ özdurumların matris gösterimi olarak ${ displaystyle textstyle | psi _ {1} rangle}$ ve ${ displaystyle textstyle | psi _ {2} rangle}$ iki devletli bir sistemin. Kullanma sutyen-ket matris elemanlarının gösterimi ${ displaystyle H ^ {'}}$ aslında şartlar

{ displaystyle H_ {ij} ^ {'} = langle psi _ {i} | H ^ {'} | psi _ {j} rangle}

ile

{ displaystyle i, j in sol {{1,2} sağ }}

nerede ${ displaystyle H_ {11} ^ {'} = H_ {22} ^ {'} = E}$ bozulmamış Hamiltoniyen'in dejenereliğinden ve diyagonal olmayan pertürbasyonlar nedeniyle ${ displaystyle H_ {12} ^ {'} = W}$ ve ${ displaystyle H_ {21} ^ {'} = W ^ {*}}$ .

Yeni özdurumlar ${ displaystyle textstyle | psi _ {+} rangle}$ ve ${ displaystyle textstyle | psi _ {-} rangle}$ özdeğer denklemlerini çözerek bulunabilir ${ displaystyle H ^ {'} | psi _ {+} rangle = E _ {+} | psi _ {+} rangle}$ ve ${ displaystyle H ^ {'} | psi _ {-} rangle = E _ {-} | psi _ {-} rangle}$ . Basit hesaplamalardan gösterilebilir ki

{ displaystyle | psi _ {+} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} e ^ {i phi} 1 end {pmatrix}} = { frac {1} { sqrt {2}}} (e ^ {i phi} | psi _ {1} rangle + | psi _ {2} rangle)}

ve

{ displaystyle | psi _ {-} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} -e ^ {i phi} 1 end {pmatrix}} = { frac {1} { sqrt {2}}} (- e ^ {i phi} | psi _ {1} rangle + | psi _ {2} rangle)}

nerede

{ displaystyle e ^ {i phi} = W / | W |}

Açıktır ki her iki yeni özdurum, orijinal dejenere özdurumların ve özdeğerlerden birinin (burada ${ displaystyle E _ {-}}$ ) orijinal bozulmamış öz enerjiden daha azdır. Dolayısıyla, karşılık gelen kararlı sistem, enerjisini en aza indirmek için doğal olarak eski bozulmamış özdurumları karıştıracaktır. Örneğinde Benzen olası bağ yapılarının deneysel kanıtları iki farklı özduruma yol açar, ${ displaystyle textstyle | psi _ {1} rangle}$ ve ${ displaystyle textstyle | psi _ {2} rangle}$ . Bu iki yapının simetrisi şunu zorunlu kılar: ${ displaystyle langle psi _ {1} | H | psi _ {1} rangle = langle psi _ {2} | H | psi _ {2} rangle = E}$ .

Ancak iki devletli Hamiltoniyen'in ${ displaystyle H}$ Benzen diyagonal değildir. Diyagonal olmayan elemanlar enerjinin düşmesine neden olur ve Benzen molekülü, bu simetrik olanların enerji ile üst üste binmesi olan bir yapıda stabilize olur. ${ displaystyle E _ {-}$ .^[5]Herhangi bir genel iki durumlu sistem için, önlenmiş hemzemin geçit, öz durumları iter ${ displaystyle | psi _ {+} rangle}$ ve ${ displaystyle | psi _ {-} rangle}$ sistemin daha yüksek enerji konfigürasyonuna ulaşması için daha fazla enerji gerektirecek şekilde.

Genel kaçınma teoremi

Bununla birlikte, yukarıdaki önlenmiş geçiş örneği çok özel bir durumdur. Genel bir bakış açısından, kaçınılmış geçiş olgusu aslında tedirginliğin arkasındaki parametreler tarafından kontrol edilir. En genel tedirginlik için ${ displaystyle textstyle P = { başlar {pmatrix} W_ {1} & W W & W_ {2} end {pmatrix}}}$ iki boyutlu bir alt uzay Hamiltonyalı ${ displaystyle H}$ , bu alt uzaydaki etkili Hamilton matrisini şöyle yazabiliriz:

{ displaystyle { begin {pmatrix} E_ {1} & 0 0 & E_ {2} end {pmatrix}} + { begin {pmatrix} W_ {1} & W W & W_ {2} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} E_ {1} + W_ {1} & W W & E_ {2} + W_ {2}. end {pmatrix}}.}

Burada durum vektörlerinin öğeleri, tüm matris öğelerinin gerçek olması için gerçek olacak şekilde seçildi.^[6]Şimdi bu alt uzay için sistemin özdeğerleri şu şekilde verilmektedir:

{ displaystyle E _ { pm} = { frac {1} {2}} (E_ {1} + E_ {2} + W_ {1} + W_ {2}) pm { frac {1} {2 }} { sqrt {(E_ {1} -E_ {2} + W_ {1} -W_ {2}) ^ {2} + 4W ^ {2}}}}

Karekök altındaki terimler, gerçek sayıların karesidir. Dolayısıyla bu iki seviyenin aynı anda geçmesi için

{ displaystyle (E_ {1} -E_ {2} + W_ {1} -W_ {2}) = 0}

{ displaystyle W = 0.}

Şimdi eğer tedirginlik ${ displaystyle P}$ vardır ${ displaystyle k}$ parametreleri ${ displaystyle { alpha _ {1}, alpha _ {2}, alpha _ {3} ..... alpha _ {k}}}$ bu iki denklemi karşılamak için genel olarak bu sayıları değiştirebiliriz.

{ displaystyle (E_ {1} -E_ {2} + W_ {1} -W_ {2}) = F_ {1} ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, alpha _ {3} ..... alpha _ {k}) = 0}

{ displaystyle W = F_ {2} ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, alpha _ {3} ..... alpha _ {k}) = 0.}

Değerlerini seçersek ${ displaystyle alpha _ {1}}$ -e ${ displaystyle alpha _ {k-1}}$ o zaman yukarıdaki denklemlerin her ikisinin de tek bir serbest parametresi vardır. Genel olarak bir tane bulmak mümkün değil ${ displaystyle alpha _ {k}}$ öyle ki her iki denklem de karşılanır. Bununla birlikte, başka bir parametrenin serbest olmasına izin verirsek, bu iki denklem artık aynı iki parametre tarafından kontrol edilecektir.

{ displaystyle F_ {1} ( alpha _ {k-1}, alpha _ {k}) | _ { alpha _ {1}, alpha _ {2}, ..., alpha _ {k -2} , sabit} = 0}

{ displaystyle F_ {2} ( alpha _ {k-1}, alpha _ {k}) | _ { alpha _ {1}, alpha _ {2}, ..., alpha _ {k -2} , sabit} = 0.}

Ve genellikle, denklemlerin eşzamanlı olarak karşılanacağı bu tür iki değer olacaktır. Böylece ${ displaystyle k}$ farklı parametreler ${ displaystyle k-2}$ parametreler her zaman keyfi olarak seçilebilir ve yine de böyle iki tane bulabiliriz ${ displaystyle alpha _ {k}}$ Enerji özdeğerlerinin kesişmesi için. Başka bir deyişle, değerleri ${ displaystyle E _ {+}}$ ve ${ displaystyle E _ {-}}$ için aynı olurdu ${ displaystyle k-2}$ serbestçe değişen koordinatlar (iki koordinatın geri kalanı durum denklemlerinden sabitlenirken). Geometrik olarak özdeğer denklemleri bir yüzey içinde ${ displaystyle k}$ boyutlu uzay.

{ displaystyle E _ { pm} = E _ { pm} ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, alpha _ {3} ..... alpha _ {k}).}

Kesişimleri olduğu için parametreleştirilmiş tarafından ${ displaystyle k-2}$ koordinatlar için resmi olarak belirtebiliriz ${ displaystyle k}$ tedirgin Hamiltoniyeni kontrol eden sürekli gerçek parametreler, seviyeler (veya yüzeyler) yalnızca bir manifold boyut ${ displaystyle k-2}$ .^[7] Bununla birlikte, boyutsallıkta Hamiltoniyen'in simetrisinin oynayacağı bir rol vardır. Orijinal Hamiltoniyenin asimetrik durumları varsa, ${ displaystyle langle psi _ {1} | P | psi _ {2} rangle neq langle psi _ {2} | P | psi _ {1} rangle}$ çapraz olmayan terimler, hermitisiteyi sağlamak için otomatik olarak kaybolur. Bu, denklemden kurtulmamızı sağlar ${ displaystyle W = 0}$ . Şimdi, yukarıda ortaya konulan benzer argümanlardan, asimetrik bir Hamiltoniyen için, enerji yüzeylerinin kesişiminin bir çok boyutta gerçekleştiği açıktır. ${ displaystyle k-1}$ .^[8]

Çok atomlu moleküllerde

Bir N atomlu çok atomlu molekülde, elektronik Hamiltoniyene parametre olarak giren 3N-6 titreşim koordinatları (doğrusal bir molekül için 3N-5) vardır. İki atomlu bir molekül için böyle bir koordinat vardır, bağ uzunluğu r. Bu nedenle, kaçınılmış çaprazlama teoremi nedeniyle, bir diatomik molekülde aynı simetrinin elektronik durumları arasında seviye geçişlerine sahip olamayız.^[9] Bununla birlikte, çok atomlu bir molekül için, elektronik Hamiltoniyende birden fazla geometri parametresi vardır ve aynı simetriye sahip elektronik durumlar arasındaki seviye geçişlerinden kaçınılmaz.^[10]

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ daha az matematiksel bir açıklama için bkz. Nič, Miloslav; Jirát, Jiří; Košata, Bedřich; Jenkins, Aubrey; McNaught, Alan (2009). potansiyel enerji yüzeylerinin geçişinden kaçınıldı. IUPAC Kimyasal Terminoloji Özeti. doi:10.1351 / goldbook.A00544. ISBN 978-0-9678550-9-7.
^ Landau, Lifshitz (1981), Kuantum Mekaniği, s. 305
^ Cohen-Tannaoudji, Claude ve diğerleri (1992), Quantum Mechanics (Cilt 1), s.409
^ Cohen-Tannaoudji, Claude ve diğerleri (1992), Quantum Mechanics (Cilt 1), s. 410
^ Cohen-Tannaoudji, Claude ve diğerleri (1992), Quantum Mechanics (Cilt 1), s.411
^ Landau, Lifshitz (1981), Kuantum Mekaniği, s.304
^ Landau, Lifshitz (1981), Kuantum Mekaniği, s. 305
^ Landau, Lifshitz (1981), Kuantum Mekaniği, s. 305
^ von Neumann, J.; Wigner, E.P. (1929). Über merkwürdige diskrete Eigenwerte. Physikalische Zeitschrift. 30. sayfa 465–467. doi:10.1007/978-3-662-02781-3_19. ISBN 978-3-642-08154-5.
^ Longuet-Higgins, H. C. (24 Haziran 1975). "Polyatomik Moleküllerde Potansiyel Enerji Yüzeylerinin Kesişimi". Royal Society A: Matematik, Fizik ve Mühendislik Bilimleri Bildirileri. Kraliyet Cemiyeti. 344 (1637): 147–156. Bibcode:1975RSPSA.344..147L. doi:10.1098 / rspa.1975.0095. ISSN 1364-5021. S2CID 98014536.

[1] z matematiksel bir açıklama için bkz. Nič, Miloslav; Jirát, Jiří; Košata, Bedřich; Jenkins, Aubrey; McNaught, Alan (2009). potansiyel enerji yüzeylerinin geçişinden kaçınıldı. IUPAC Kimyasal Terminoloji Özeti. doi:10.1351 / goldbook.A00544. ISBN 978-0-9678550-9-7.

[2] Landau, Lifshitz (1981), Kuantum Mekaniği, s. 305

[3] Cohen-Tannaoudji, Claude ve diğerleri (1992), Quantum Mechanics (Cilt 1), s.409

[4] Cohen-Tannaoudji, Claude ve diğerleri (1992), Quantum Mechanics (Cilt 1), s. 410

[5] Cohen-Tannaoudji, Claude ve diğerleri (1992), Quantum Mechanics (Cilt 1), s.411

[6] Landau, Lifshitz (1981), Kuantum Mekaniği, s.304

[7] Landau, Lifshitz (1981), Kuantum Mekaniği, s. 305

[8] Landau, Lifshitz (1981), Kuantum Mekaniği, s. 305

[9] von Neumann, J.; Wigner, E.P. (1929). Über merkwürdige diskrete Eigenwerte. Physikalische Zeitschrift. 30. sayfa 465–467. doi:10.1007/978-3-662-02781-3_19. ISBN 978-3-642-08154-5.

[10] Longuet-Higgins, H. C. (24 Haziran 1975). "Polyatomik Moleküllerde Potansiyel Enerji Yüzeylerinin Kesişimi". Royal Society A: Matematik, Fizik ve Mühendislik Bilimleri Bildirileri. Kraliyet Cemiyeti. 344 (1637): 147–156. Bibcode:1975RSPSA.344..147L. doi:10.1098 / rspa.1975.0095. ISSN 1364-5021. S2CID 98014536.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]