Eksenellik (geometri) - Axiality (geometry)

Geometrisinde Öklid düzlemi, eksenellik ne kadar olduğunun bir ölçüsüdür eksenel simetri bir şekle sahiptir. Şeklin eksenel olarak simetrik en büyük alt kümesinin alanlarının tüm şekle oranı olarak tanımlanır. Aynı şekilde, şeklin ayna yansıması ile (herhangi bir yönelimle) kaplanabilen, şekil alanının en büyük kısmıdır.

Eksenel olarak simetrik olan bir şekil, örneğin bir ikizkenar üçgen, tam olarak bir eksenelliğe sahip olurken, asimetrik bir şekle sahip olacak eşkenar olmayan üçgen birden az eksenelliğe sahip olacaktır.

Üst ve alt sınırlar

Lassak (2002) gösterdi ki her dışbükey küme eksenelliği en az 2/3.^[1] Bu sonuç, önceki 5/8 alt sınırını iyileştirdi: Krakowski (1963).^[2] Bilinen en iyi üst sınır, belirli bir dışbükey tarafından verilir dörtgen, eksenelliği 0,816'dan az olan bir bilgisayar aramasıyla bulundu.^[3]

İçin üçgenler ve için merkezi simetrik dışbükey cisimler, eksenellik her zaman biraz daha yüksektir: her üçgen ve her merkezi simetrik dışbükey cisim, en azından eksenelliğe sahiptir. ${ displaystyle 2 ({ sqrt {2}} - 1) yaklaşık 0,828}$. Köşeleri olan geniş üçgenler kümesinde ${ displaystyle x}$koordinatlar ${ displaystyle 0}$, ${ displaystyle { sqrt {2}}}$, ve ${ displaystyle 1}$eksenellik yaklaşımları ${ displaystyle 2 ({ sqrt {2}} - 1)}$ olarak sınırda ${ displaystyle y}$- Koordinatlar sıfıra yaklaşır ve alt sınırın mümkün olduğu kadar büyük olduğunu gösterir. Merkezi olarak simetrik bir dizi oluşturmak da mümkündür. paralelkenarlar eksenelliği aynı limite sahip olan, yine alt sınırın sıkı olduğunu gösterir.^[4][5]

Algoritmalar

Belirli bir dışbükey şeklin eksenelliği, belirli bir yönde uç noktayı bulmak ve şeklin bir çizgiyle kesişme noktasını bulmak için kehanet yoluyla şekle erişim sağlanarak, doğrusal olmayan zamanda keyfi olarak yakın bir şekilde yaklaşık olarak tahmin edilebilir.^[6]

Barequet ve Rogol (2007) Hem dışbükey hem de dışbükey olmayan çokgenler için eksenelliği tam olarak hesaplama problemini düşünün. Düzlemdeki tüm olası yansıma simetri çizgilerinin kümesi ( yansıtmalı ikilik ) Çokgenin yansıması ile kesişme modelinin sabitlendiği, eksenelliğin her hücre içinde yumuşak bir şekilde değişmesine neden olan hücrelere bölündükleri iki boyutlu bir uzay. Böylelikle, problemi, açık bir şekilde çözmedikleri her hücre içinde sayısal bir hesaplamaya indirgiyorlar. Düzlemin hücrelere bölünmesi, ${ displaystyle O (n ^ {4})}$ genel durumda hücreler ve ${ displaystyle O (n ^ {3})}$ dışbükey çokgenler için hücreler; logaritmik bir faktörle bu sınırlardan daha büyük bir zaman miktarı içinde inşa edilebilir. Barequet ve Rogol, pratikte tek bir hücrede alan maksimizasyonu sorununun çözülebileceğini iddia ediyor. ${ displaystyle O (n)}$ zaman, genel zaman sınırlarını (titiz olmayan) vererek ${ displaystyle O (n ^ {4})}$ dışbükey durum için ve ${ displaystyle O (n ^ {5})}$ genel durum için.^[7]

Ilgili kavramlar

de Valcourt (1966) Burada açıklanan üç numaralı eksenel simetri ölçüsünün 11 farklı ölçüsünü listeler.^[8] Bu türden her bir önlemin değişmez olmasını gerektirir. benzerlik dönüşümleri simetrik şekiller için bir değerini almak ve diğer şekiller için sıfır ile bir arasında bir değer almak. Bu özelliklere sahip diğer simetri ölçüleri, şeklin alanının en küçük çevreleyen simetrik üst kümesine oranını ve benzer çevre oranlarını içerir.

Lassak (2002) Eksenelliği incelemenin yanı sıra, amacın dışbükey bir şekle sahip kesişimi geniş bir alana sahip olan bir yarı uzay bulmak olan, tamamen yarı uzay sınırındaki şeklin yansıması içinde yer alan sınırlı bir eksenellik versiyonunu inceler. Böyle bir kesişme noktasının her zaman tüm şeklin en az 1 / 8'i kadar bir alana sahip olabileceğini gösterir.^[1]

Çalışmasında Bilgisayar görüşü, Marola (1989) simetrisini ölçmek için önerilen Dijital görüntü (bir işlev olarak görüldü ${ displaystyle w}$ uçaktaki noktalardan gri tonlamalı aralıktaki yoğunluk değerleri ${ displaystyle 0 leq w (p) leq 1}$) bir yansıma bularak ${ displaystyle sigma}$ alan integralini maksimize eden^[9]

${ displaystyle { frac { int int w (p) w ( sigma (p)) dx , dy} { int int w (p) ^ {2} dx , dy}}.}$

Ne zaman ${ displaystyle w}$ ... gösterge işlevi belirli bir şeklin, bu eksenellik ile aynıdır.

Referanslar