Babuška – Lax – Milgram teoremi - Babuška–Lax–Milgram theorem

İçinde matematik, Babuška – Lax – Milgram teoremi ünlü bir genellemedir Lax – Milgram teoremi, hangi koşullar altında bir iki doğrusal form varlığını ve benzersizliğini göstermek için "tersine çevrilebilir" zayıf çözüm verilene sınır değer problemi. Sonuç, matematikçiler Ivo Babuška, Peter Lax ve Arthur Milgram.

Arka fon

Modern olarak işlevsel-analitik Çalışmaya yaklaşım kısmi diferansiyel denklemler, belirli bir kısmi diferansiyel denklemi doğrudan çözmeye çalışmaz, bunun yapısını kullanarak vektör alanı olası çözümler, ör. a Sobolev alanı W^k,p. Soyut olarak, ikiyi düşünün gerçek normlu uzaylar U ve V onların sürekli ikili uzaylar U^∗ ve V^∗ sırasıyla. Birçok uygulamada, U olası çözümlerin alanıdır; biraz verildi kısmi diferansiyel operatör Λ:U → V^∗ ve belirli bir öğe f ∈ V^∗amaç, bir sen ∈ U öyle ki

{displaystyle Lambda u = f.}

Ancak, zayıf formülasyon, bu denklemin yalnızca diğer tüm olası unsurlara karşı "test edildiğinde" tutulması gerekir. V. Bu "test", bir çift doğrusal fonksiyon aracılığıyla gerçekleştirilir B : U × V → R diferansiyel operatörü kodlayan Λ; a zayıf çözüm sorun, bulmaktır sen ∈ U öyle ki

{displaystyle B (u, v) = langle f, vangle {mbox {for all}} vin V.}

Lax ve Milgram'ın 1954 sonuçlarındaki başarısı, bu zayıf formülasyonun bağımlı olan benzersiz bir çözüme sahip olması için yeterli koşulları belirlemekti. devamlı olarak belirtilen referans noktasında f ∈ V^∗: yeter ki U = V bir Hilbert uzayı, bu B süreklidir ve bu B şiddetle zorlayıcı yani

{ekran stili | B (u, u) | geq c | u | ^ {2}}

bazı sabitler için c > 0 ve tümü sen ∈ U.

Örneğin, çözümünde Poisson denklemi bir sınırlı, açık etki alanı Ω ⊂Rⁿ,

{displaystyle {egin {durumlar} -Delta u (x) = f (x), & xin Omega; u (x) = 0, & xin kısmi Omega; uç {durum}}}

boşluk U Sobolev alanı olarak alınabilir H₀¹(Ω) ikili H⁻¹(Ω); ilki, bir alt uzayıdır L^p Uzay V = L²(Ω); çift doğrusal form B −Δ ile ilişkili L²(Ω) iç ürün Türevlerin:

{displaystyle B (u, v) = int _ {Omega} abla u (x) cdot abla v (x), mathrm {d} x.}

Bu nedenle, verilen Poisson denkleminin zayıf formülasyonu f ∈ L²(Ω), bulmak sen_f öyle ki

{displaystyle int _ {Omega} abla u_ {f} (x) cdot abla v (x), mathrm {d} x = int _ {Omega} f (x) v (x), mathrm {d} x {mbox { tümü için}} vin H_ {0} ^ {1} (Omega).}

Teoremin ifadesi

1971'de Babuška, Lax ve Milgram'ın daha önceki sonucunun aşağıdaki genellemesini sağladı; U ve V aynı alan ol. İzin Vermek U ve V iki gerçek Hilbert alanı olalım ve B : U × V → R sürekli bir çift doğrusal işlevsel olabilir. Ayrıca varsayalım ki B zayıf bir şekilde zorlayıcıdır: bir kısmı için c > 0 ve tümü sen ∈ U,