Geriye doğru farklılaşma formülü - Backward differentiation formula - Wikipedia

geriye doğru farklılaşma formülü (BDF), örtük yöntemler ailesidir. adi diferansiyel denklemlerin sayısal entegrasyonu. Onlar doğrusal çok adımlı yöntemler belirli bir fonksiyon ve zaman için, önceden hesaplanmış zaman noktalarından gelen bilgileri kullanarak bu fonksiyonun türevini yaklaşık olarak tahmin eder, böylece yaklaşımın doğruluğunu artırır. Bu yöntemler özellikle aşağıdakilerin çözümü için kullanılmaktadır. katı diferansiyel denklemler. Yöntemler ilk olarak Charles F. Curtiss ve Joseph O. Hirschfelder 1952'de.[1]

Genel formül

BDF, sorunu çözmek için kullanılır. başlangıç ​​değeri problemi

BDF'nin genel formülü şu şekilde yazılabilir: [2]

nerede adım boyutunu belirtir ve . Dan beri bilinmeyen için değerlendirilir BDF yöntemleri örtük ve muhtemelen her adımda doğrusal olmayan denklemlerin çözümünü gerektirir. Katsayılar ve yöntem sıraya ulaşacak şekilde seçilir , bu mümkün olan maksimum değerdir.

Katsayıların türetilmesi

Formülden başlayarak yaklaşık bir ve , nerede ... Lagrange interpolasyon polinomu puanlar için . Bunu kullanarak ve ile çarparak BDF sipariş yöntemine ulaşılır .

Özel formüller

sile adım BDF'ler s <7 şunlardır:[3]

  • BDF1: (bu geriye dönük Euler yöntemi )
  • BDF2:
  • BDF3:
  • BDF4:
  • BDF5:
  • BDF6:

Yöntemler s > 6 değil sıfır kararlı bu yüzden kullanılamazlar.[4]

istikrar

Çözme için sayısal yöntemlerin kararlılığı katı denklemler mutlak kararlılık bölgeleri ile gösterilir. BDF yöntemleri için bu bölgeler aşağıdaki grafiklerde gösterilmiştir.

İdeal olarak, bölge karmaşık düzlemin sol yarısını içerir, bu durumda yöntemin A-kararlı olduğu söylenir. Ancak, doğrusal çok adımlı yöntemler 2'den büyük bir siparişle A kararlı. Üst düzey BDF yöntemlerinin kararlılık bölgesi, sol yarı düzlemin büyük bir bölümünü ve özellikle negatif gerçek eksenin tamamını içerir. BDF yöntemleri, bu türden en verimli doğrusal çok adımlı yöntemlerdir.[4]

Referanslar

Alıntılar

  1. ^ Curtiss, C. F. ve Hirschfelder, J. O. (1952). Katı denklemlerin entegrasyonu. Ulusal Bilimler Akademisi Bildirileri, 38 (3), 235-243.
  2. ^ Ascher ve Petzold 1998, §5.1.2, s. 129
  3. ^ Iserles 1996, s. 27 (için s = 1, 2, 3); Süli ve Mayers 2003, s. 349 (tümü için s)
  4. ^ a b Süli ve Mayers 2003, s. 349

Referans eserler

  • Ascher, U. M .; Petzold, L.R. (1998), Sıradan Diferansiyel Denklemler ve Diferansiyel-Cebirsel Denklemler için Bilgisayar Yöntemleri, SIAM, Philadelphia, ISBN  0-89871-412-5.
  • Iserles, Arieh (1996), Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Analizinde İlk Kurs, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-55655-2.
  • Süli, Endre; Mayers, David (2003), Sayısal Analize Giriş, Cambridge University Press, ISBN  0-521-00794-1.

daha fazla okuma

  • BDF Yöntemleri SUNDIALS wiki'de (SUNDIALS, BDF yöntemlerini ve benzer algoritmaları uygulayan bir kütüphanedir).