Barycentric alt bölümü - Barycentric subdivision

İçinde geometri, barycentric altbölüm keyfi bölmenin standart bir yoludur dışbükey Poligon içine üçgenler, dışbükey çokyüzlü içine dörtyüzlü veya genel olarak bir dışbükey politop içine basitler aynısı ile boyut bağlayarak bariyerler onların yüzler belirli bir şekilde.

İsim ayrıca topoloji benzer bir işlem için hücre kompleksleri. Sonuç topolojik olarak eşdeğer geometrik işleminki, ancak parçalar keyfi şekil ve boyuta sahiptir. Bu bir örnektir sonlu alt bölüm kuralı.

Her iki işlemin de bir dizi uygulaması vardır matematik ve geometrik modelleme özellikle ne zaman işlevi veya şeklin yaklaştırılması gerekiyor parça parça, Örneğin. tarafından eğri.

Bir simpleksin bariyantrik alt bölümü

2-simpleks veya üçgenin Barycentric alt bölümü

Bariyantrik alt bölüm (bundan böyle BCS) bir ${ displaystyle n}$ -boyutlu basit ${ displaystyle S}$ içerir (n + 1)! ${ displaystyle n}$ boyutlu basitlikler. Köşeli her parça ${ displaystyle v_ {0}, v_ {1}, noktalar, v_ {n}}$ , bir ile ilişkilendirilebilir permütasyon ${ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, noktalar, p_ {n}}$ köşelerinin ${ displaystyle S}$ öyle bir şekilde, her köşe ${ displaystyle v_ {i}}$ ... barycenter puanların ${ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, noktalar, p_ {i}}$ .

Barycentric alt bölümün 4 aşaması

Özellikle, tek bir noktanın (0 boyutlu bir simpleks) BCS'si bu noktanın kendisinden oluşur. Bir çizgi parçasının BCS'si (1-simpleks) ${ displaystyle S}$ her biri bir uç noktayı (0 boyutlu yüz) birbirine bağlayan iki küçük segmentten oluşur. ${ displaystyle S}$ ortasına ${ displaystyle S}$ kendisi (1 boyutlu yüz).

Bir üçgenin BCS'si ${ displaystyle S}$ onu altı üçgene böler; her bölümün bir tepe noktası vardır ${ displaystyle v_ {2}}$ merkezde ${ displaystyle S}$ , bir diğeri ${ displaystyle v_ {1}}$ bir tarafın orta noktasında ve sonuncusu ${ displaystyle v_ {0}}$ orijinal köşelerden birinde.

Bir tetrahedronun BCS'si ${ displaystyle S}$ 24 tetrahedraya böler; her parçanın merkezinde bir tepe noktası vardır ${ displaystyle S}$ , biri bazı yüzlerde, biri bazı kenarlarda ve sonuncusu bir köşede ${ displaystyle S}$ .

BCS'nin önemli bir özelliği, bir cismin maksimum çapının ${ displaystyle n}$ boyutsal simpleks en azından faktör tarafından küçülür ${ displaystyle { frac {n} {n + 1}}}$ .^[1]

Dışbükey bir politopun bariyantrik alt bölümü

Bir simpleksin BCS'sini tanımlamanın başka bir yolu ${ displaystyle S}$ her bir parçayı bir diziyle ilişkilendirmektir ${ displaystyle F_ {0}, F_ {1}, noktalar, F_ {n}}$ nın-nin yüzler nın-nin ${ displaystyle S}$ artan boyutlarla, öyle ki ${ displaystyle F_ {i}}$ bir faset nın-nin ${ displaystyle F_ {i + 1}}$ , için ${ displaystyle i}$ 0'dan ${ displaystyle n-1}$ . Sonra her köşe ${ displaystyle v_ {i}}$ Karşılık gelen parçanın yüzün merkezidir ${ displaystyle F_ {i}}$ .

Bu alternatif tanım, keyfi bir kişinin BCS'sine genişletilebilir. ${ displaystyle n}$ bir dizi boyutsal dışbükey politop ${ displaystyle n}$ - basitler. Böylece, bir Pentagon ${ displaystyle P}$ örneğin, 10 üçgen vardır: her üçgen üç öğeyle ilişkilendirilir ${ displaystyle F_ {0}, F_ {1}, F_ {2}}$ nın-nin ${ displaystyle P}$ - sırasıyla, bir köşesi ${ displaystyle P}$ , Kenara ${ displaystyle P}$ olay o köşede ve ${ displaystyle P}$ kendisi.

Benzer şekilde, bir küp 48 tetrahedradan oluşur, her biri bir diziyle ilişkilendirilmiştir ${ displaystyle F_ {0}, F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}}$ iç içe elemanlar - bir tepe noktası, bir kenar, bir yüz ve tüm küp. İçin 8 seçenek olduğunu unutmayın. ${ displaystyle F_ {0}}$ , 3 için ${ displaystyle F_ {1}}$ (verilen ${ displaystyle F_ {0}}$ ) ve 2 için ${ displaystyle F_ {2}}$ (verilen ${ displaystyle F_ {0}, F_ {1}}$ ).

Topolojide Barycentric alt bölüm

Barycentric alt bölüm, önemli bir araçtır. basit homoloji daha ince basit kompleksler elde etmenin bir yolu olarak kullanıldığı teori (orijinalleri içeren, yani daha basitlerle). Bu da sırayla basit yaklaşım teoremi, kabaca çokyüzlüler arasındaki herhangi bir sürekli fonksiyona bir (sonlu) ile yaklaşılabileceğini belirtir. basit harita, gerçekleştirdikleri ilgili basit komplekslerin yeterli miktarda alt bölümü verildiğinde. Sonuç olarak, bu yaklaşım tekniği, kanıtın standart bir bileşenidir. basit homoloji grupları topolojik değişmezlerdir.^[1]^[2]

Barycentric altbölümün bir genellemesi de bir hücre kompleksi. Gayri resmi olarak, böyle bir nesne bir veya daha fazla kauçuk parçasının bir araya getirilmesi olarak düşünülebilir (hücreler), her biri dışbükey bir politop gibi şekillenmiştir ve bunlar, yüzleri ile birbirine yapıştırılmıştır - muhtemelen çok fazla esneme ve bükülme ile.

BCS'nin topolojik versiyonu, her bir hücrenin, aynı şekilde yüzleri ile birbirine yapıştırılmış ve muhtemelen deforme olmuş bir kauçuk basitlikler topluluğu ile değiştirir. Prosedür, (1) her hücre için seçin a deformasyon haritası insidansını ve topolojik bağlantılarını koruyarak onu geometrik bir dışbükey politopa dönüştüren; (2) geometrik BCS'yi bu politop üzerinde gerçekleştirin; ve sonra (3) ortaya çıkan alt bölümü orijinal hücrelere geri eşleyin.

Barycentric altbölümün sonucu, bir soyut basit kompleks bir örnektir bayrak kompleksi. Orijinal hücre kompleksinin her hücresi için bir tepe noktasına ve her hücre için bir maksimal boyutlu hücreye sahiptir. bayrak orijinal hücre kompleksinin (hepsi dahil edilerek birbiriyle ilişkili farklı boyutlardaki hücrelerin bir koleksiyonu).

Başvurular

Barisantrik altbölüm, esas olarak, tümü sınırlı karmaşıklığa sahip olan bir parça topluluğu ile rastgele karmaşık bir dışbükey politop veya topolojik hücre kompleksini değiştirmek için kullanılır (basitler, aslında). Tipik bir uygulama modelleme bir şekli araba vücut tarafından eğri - bir parçalı tanımlı polinom işlevi. Bu tür fonksiyonların cebiri, her "parça" bir "topolojik üçgen" ise, yani tam olarak diğer üç parçaya iliştirilmişse, çok daha basit ve programlanması daha kolay hale gelir. Bununla birlikte, bir insan kullanıcı, yamaları daha liberal şekiller ve topolojilerle birleştirerek şekli tasarlamayı daha doğal bulabilir. Barycentric altbölüm, bu "kullanıcı dostu" modeli "bilgisayar dostu" bir modele dönüştürmenin uygun bir yoludur.

Tekrarlanan barycentric alt bölüm

Bir matematiksel fonksiyona veya bir yüzeye bir spline ile yaklaşırken, yaklaşımın doğruluğu genellikle parça boyutuna göre belirlenir - parçalar ne kadar büyükse, hata o kadar büyük olur. Bu nedenle, önceden belirlenmiş bir doğruluk elde etmek için genellikle büyük parçaları daha küçük parçalara ayırmak gerekir.

Teoride, BCS, herhangi bir parçanın en uzun kenarının orijinal politopun en uzun kenarından daha küçük bir faktörle daha küçük olması özelliğine sahip olduğundan, bu amaç için kullanılabilir. ${ displaystyle n / (n + 1)}$ . Bu nedenle, BCS'yi yeterince çok kez uygulayarak, en büyük kenar istenildiği kadar küçük yapılabilir.

Bununla birlikte, uygulamada BCS bu amaç için pek uygun değildir. Birincisi, ilk uygulamadan sonraki her uygulama, basitlerin sayısını şununla çarpar: ${ displaystyle (n + 1)!}$ . BCS ayrıca derece her orijinal tepe noktasının ${ displaystyle n!}$ ve her kenarın derecesi ${ displaystyle (n-1)!}$ . Dahası, BCS, zaten yeterince küçük olanlar da dahil olmak üzere tüm basitleri böler. Son olarak, her BCS aşaması, sadeleştirmeleri yalnızca küçültmekle kalmaz, aynı zamanda "daha ince" yapar, yani en boy oranı (en uzun ve en kısa kenar arasındaki oran). Tüm bu nedenlerden dolayı, pratikte nadiren birden fazla BCS turu uygulanır ve bunun yerine diğer alt bölüm şemaları kullanılır.

Göreceli barycentric alt bölüm

Basit kompleksler için ${ displaystyle L alt küme K}$ göreceli barycentric altbölümü tanımlar ${ displaystyle K ^ {*}}$ nın-nin ${ displaystyle K}$ modulo ${ displaystyle L}$ köşeli simplekslerden oluşan ${ displaystyle v_ {0} noktalar v_ {k} B (S '_ {1}) noktalar B (S' _ {l})}$ bir dizi ile ilişkili ${ displaystyle S_ {0} < cdots$ uygun yüzlerin ${ displaystyle L}$ ve bariyerler ${ displaystyle B (S '_ {i})}$ tek yönlü ${ displaystyle K setminus L}$ .

Açıkça, ${ displaystyle L}$ alt kompleksi olarak kalır ${ displaystyle K ^ {*}}$ . Sadece simpleksler uzakta ${ displaystyle L}$ küçültmek.

İlgili kavramlar

Yanlış barycentric alt bölüm

Bazen "barycentric subdivision" terimi, bir politopun herhangi bir alt bölümü için uygunsuz şekilde kullanılır ${ displaystyle P}$ merkez noktasında tek tepe noktası olan basitlere ${ displaystyle P}$ ve sınırındaki zıt yön ${ displaystyle P}$ . Bu özellik gerçek barycentric alt bölüm için geçerliyken, BCS olmayan diğer alt bölümler için de geçerlidir.

Örneğin, bir üçgenin merkez noktasından üç köşesinin her birine düz bir kesim yapılırsa, üç üçgene bölünmüş bir alt bölüm elde edilir. Bu fikir genelleştirildiğinde, bir kişi bir alt bölüme ayırmak için bir şema elde eder. ${ displaystyle n}$ boyutsal tek yönlü ${ displaystyle n + 1}$ basitler. Ancak, bu alt bölüm BCS değildir.

Basit setler

Barisantrik bölme ayrıca şunlar için de tanımlanabilir: basit setler, yukarıdaki sadeleştirme bölümüyle uyumlu bir şekilde (topolojik gerçekleştirme işlevine göre).^[3]

Grafik teorisi

Barisantrik bölme terimi ayrıca grafik teorisinde de kullanılır (Barycentric_Subdivision (Çizge Teorisi) ).

Notlar

^ ^a ^b Munkres, James R .: Cebirsel Topolojinin Elemanları
^ Giblin, P.J .: Grafikler, Yüzeyler ve Homoloji
^ Goerss, P. G .; Jardine, J.F. (1999), Basit Homotopi Teorisi, Matematikte İlerleme, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, s. 182

Ayrıca bakınız

[Munkres-1] Munkres, James R .: Cebirsel Topolojinin Elemanları

[2] Giblin, P.J .: Grafikler, Yüzeyler ve Homoloji

[3] Goerss, P. G .; Jardine, J.F. (1999), Basit Homotopi Teorisi, Matematikte İlerleme, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, s. 182

[1]

[2]

[3]