Sürekli endojen açıklayıcı değişkenlerle ikili yanıt modeli - Binary response model with continuous endogenous explanatory variables

Verilen bir probit modeli ^[1] y = 1 [y *> 0] nerede y * = x₁ β + zδ + u ve u ~ N (0,1)genelliği kaybetmeden, z olarak temsil edilebilir z = x₁ θ₁ + x₂ θ₂ + v. Ne zaman sen ile ilişkili vbir sorun olacak içsellik. Bunun nedeni atlanmış değişkenler olabilir ve ölçüm hataları.^[2] Ayrıca birçok durum var z kısmen belirlendi y ve içsellik sorunu ortaya çıkar. Örneğin, farklı hasta özelliklerinin hastaneye gidip gitmeme seçimine etkisini değerlendiren bir modelde, y seçimdir ve z bir katılımcının aldığı ilaç miktarı ise, yanıtlayıcının hastaneye daha sık gitmesi çok sezgiseldir, daha fazla ilaç almış olması daha olasıdır, dolayısıyla içsellik sorunu ortaya çıkar.^[3] İçsel açıklayıcı değişkenler olduğunda, olağan tahmin prosedürü tarafından üretilen tahminci tutarsız olacaktır, ardından karşılık gelen tahmini Ortalama Kısmi Etki (APE) ^[4] da tutarsız olacak.

Bu sorunu ele almak için, genellikle üretilecek iki farklı tahmin prosedürü vardır. tutarlı tahmin ediciler. Normallik varsayımı altında v ~ N (0, σ²), u = ρv + ε tutmalı, nerede ρ = cov (u, v) / σ² ve ε ~ N (0,1-ρ² σ²). Sonra denklem y^* olarak yeniden yazılabilir y^* = x₁ β + zδ + ρv + ε.

Bu model tutarlı bir şekilde tahmin edilebilir 2 Aşamalı En Küçük Kare (2SLS):

1) Gerileme z açık (x₁, x₂) ve tutarlı tahmin ediciyi elde edin ${ displaystyle { widehat { theta}}}$ ve artık ${ displaystyle { şapka {v}}}$ ;

2) İkili yanıt modelini tahmin edin (x₁, z, ${ displaystyle { şapka {v}}}$ ) ve ölçeklendirilmiş katsayılar için tutarlı tahmin ediciyi edinin (β_ρσ, δ_ρσ, ρ_ρσ) ≡ (β, δ, ρ) /√1 - ρ² σ²;

Sonra (y = 1│x, z) = Φ (x₁ ${ displaystyle { hat { beta}}}$ _ρσ + z ${ displaystyle { hat { delta}}}$ _ρσ + ${ displaystyle { şapka { rho}}}$ _ρσ ${ displaystyle { şapka {v}}}$ ). Değişkenin APE'sinden beri ${ displaystyle { tilde {w}}}$ ( ${ displaystyle { tilde {x}}}$ , ${ displaystyle { tilde {z}}}$ ) tarafından verilir

E_v ${ displaystyle [{ frac { kısmi phi (x_ {1} beta _ { rho sigma} + z delta _ { rho sigma} + rho _ { rho sigma} v)} { kısmi { tilde {w}}}} | _ {(} { tilde {x}}}$ , ${ displaystyle { tilde {z}}}$ )]

Büyük Sayı Kanununa göre, tutarlı bir tahminci şu şekilde verilmiştir:

${ displaystyle { frac {1} {N}}}$ ${ displaystyle toplamı _ {i = 1} ^ {n}}$ ${ displaystyle { frac { kısmi phi (x_ {1} { hat { beta}} _ { rho sigma} + z { hat { delta}} _ { rho sigma} + { hat { rho}} _ { rho sigma} { hat {v}} _ {i})} { kısmi { tilde {w}}}} | _ {(} { tilde {x} }}$ , ${ displaystyle { tilde {z}}}$ )

Bu model ayrıca koşullu olarak tutarlı bir şekilde tahmin edilebilir Maksimum Olabilirlik Yöntemi.^[5] Çünkü P (y, z│x) = P (y│z, x) P (z | x) nerede P (y│x, z) tarafından verilir

${ displaystyle [ phi ({ frac {x_ {1} ( beta - rho theta _ {1}) - x_ {2} rho theta _ {2} + z ( delta + rho) } { sqrt {(1- rho ^ {2} sigma ^ {2}}}})] ^ {y}}$ ${ displaystyle [1- phi ({ frac {x_ {1} ( beta - rho theta _ {1}) - x_ {2} rho theta _ {2} + z ( delta + rho)} { sqrt {(1- rho ^ {2} sigma ^ {2}}}})] ^ {1-y}}$

ve P (z│x) tarafından verilir ${ displaystyle phi ({ frac {z-x_ {1} theta _ {1} -x_ {2} theta _ {2}} { sigma}})}$

Daha sonra maksimizasyon için log-olabilirlik fonksiyonu şu şekilde verilir:

${ displaystyle toplamı _ {i = 1} ^ {n}}$ ${ displaystyle y_ {i} log [ phi ({ frac {x_ {1} i ( beta - rho theta _ {1}) - x_ {2} i rho theta _ {2} + z_ {i} ( delta + rho)} { sqrt {(1- rho ^ {2} sigma ^ {2}}}})]}$

${ displaystyle + (1-y_ {i}) log [1- phi ({ frac {x_ {1} i ( beta - rho theta _ {1}) - x_ {2} i rho theta _ {2} + z_ {i} ( delta + rho)} { sqrt {(1- rho ^ {2} sigma ^ {2}}}})]}$

${ displaystyle + log [ phi ({ frac {z-x_ {1} theta _ {1} -x_ {2} theta _ {2}} { sigma}})]}$

Bir kere tutarlı tahmin ediciler APE, yukarıda verilen prosedürün aynısı izlenerek hesaplanabilir. Yukarıdaki tüm tartışma esas olarak probit modeli. Dağıtım varsayımı değiştirildiğinde, aynı mantık hala geçerlidir.

Referanslar

^ Greene, W.H. (2003), Econometric Analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ.
^ Fuller, Wayne A. (1987), Ölçüm hata modelleri, John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-86187-1
^ Bruce A. Rayton. (2006): "İş tatmini ve örgütsel bağlılığın karşılıklı bağlantısını incelemek: iki değişkenli probit modelinin bir uygulaması", The International Journal of Human Resource Management, Cilt. 17, Sayı. 1.
^ Wooldridge, J. (2002): Kesit ve Panel Verilerinin Ekonometrik Analizi, MIT Press, Cambridge, Mass, s. 22.
^ Bu konu, daha fazla ayrıntı için Semiparametrik ayar altında da ele alınabilir, hakem: Richard W. Blundell; James L. Powell. (2004): "Yarı Parametrik İkili Tepki Modellerinde İçsellik", Ekonomik Çalışmaların İncelenmesi 71 (3), s: 655-679

[1] Greene, W.H. (2003), Econometric Analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ.

[2] Fuller, Wayne A. (1987), Ölçüm hata modelleri, John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-86187-1

[3] Bruce A. Rayton. (2006): "İş tatmini ve örgütsel bağlılığın karşılıklı bağlantısını incelemek: iki değişkenli probit modelinin bir uygulaması", The International Journal of Human Resource Management, Cilt. 17, Sayı. 1.

[4] Wooldridge, J. (2002): Kesit ve Panel Verilerinin Ekonometrik Analizi, MIT Press, Cambridge, Mass, s. 22.

[5] Bu konu, daha fazla ayrıntı için Semiparametrik ayar altında da ele alınabilir, hakem: Richard W. Blundell; James L. Powell. (2004): "Yarı Parametrik İkili Tepki Modellerinde İçsellik", Ekonomik Çalışmaların İncelenmesi 71 (3), s: 655-679

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]