Birkhoff enterpolasyonu - Birkhoff interpolation - Wikipedia

İçinde matematik, Birkhoff enterpolasyonu bir uzantısıdır polinom enterpolasyonu. Bir polinom bulma problemini ifade eder p derece d öyle ki kesin türevler belirtilen noktalarda belirlenmiş değerler var:

veri noktaları nerede ve negatif olmayan tamsayılar verilmiştir. Farklıdır Hermite enterpolasyonu türevlerini belirtmek mümkündür p alt türevleri veya polinomun kendisini belirtmeden bazı noktalarda. Adı ifade eder George David Birkhoff, problemi ilk kim inceledi? Birkhoff (1906).

Çözümlerin varlığı ve benzersizliği

Kıyasla Lagrange enterpolasyonu ve Hermite enterpolasyonu, Birkhoff interpolasyon probleminin her zaman benzersiz bir çözümü yoktur. Örneğin, ikinci dereceden bir polinom yoktur öyle ki ve . Öte yandan Birkhoff enterpolasyon problemi , ve verilen her zaman benzersiz bir çözüme sahiptir (Passow 1983 ).

Birkhoff interpolasyonu teorisindeki önemli bir problem, benzersiz bir çözüme sahip olan problemleri sınıflandırmaktır. Schoenberg (1966) problemi aşağıdaki gibi formüle eder. İzin Vermek d koşulların sayısını (yukarıdaki gibi) belirtin ve izin verin k enterpolasyon noktalarının sayısı. Verilen bir d-tarafından-k matris E, tüm girişleri 0 veya 1, öyle ki tam olarak d girişler 1, ardından ilgili sorun belirlemek p öyle ki

Matris E insidans matrisi olarak adlandırılır. Örneğin, önceki paragrafta bahsedilen interpolasyon problemleri için insidans matrisleri şunlardır:

Şimdi soru şu: belirli bir insidans matrisine sahip bir Birkhoff interpolasyon problemi, herhangi bir enterpolasyon noktası seçimi için benzersiz bir çözüme sahip mi?

İle durum k = 2 enterpolasyon noktası şu şekilde ele alındı: Pólya (1931). İzin Vermek Sm ilk sıradaki girişlerin toplamını gösterir m insidans matrisinin sütunları:

Sonra Birkhoff enterpolasyon problemi k = 2'nin benzersiz bir çözümü vardır ancak ve ancak Smm hepsi için m. Schoenberg (1966) bunun tüm değerleri için gerekli bir koşul olduğunu gösterdi k.

Referanslar

  • Birkhoff, George David (1906), "Mekanik farklılaşma ve kareleme uygulamaları ile genel ortalama değer ve kalan teoremler", Amerikan Matematik Derneği İşlemleri, Amerikan Matematik Derneği 7 (1): 107–136, doi:10.2307/1986339, ISSN  0002-9947, JSTOR  1986339.
  • Passow, Eli (1983), "Kitap İncelemesi: Birkhoff interpolasyonu, G. G. Lorentz, K. Jetter ve S. D. Riemenschneider", Amerikan Matematik Derneği. Bülten. Yeni seri, 9 (3): 348–351, doi:10.1090 / S0273-0979-1983-15204-7, ISSN  0002-9904.
  • Pólya, George (1931), "Bemerkung zur Interpolation und zur Naherungstheorie der Balkenbiegung", Uygulamalı Matematik ve Mekanik Dergisi, 11: 445–449, doi:10.1002 / zamm.19310110620, ISSN  0044-2267.
  • Schoenberg, Isaac Jacob (1966), "Hermite-Birkhoff interpolasyonu hakkında", Matematiksel Analiz ve Uygulamalar Dergisi, 16: 538–543, doi:10.1016 / 0022-247X (66) 90160-0, ISSN  0022-247X.