Blasius sınır tabakası - Blasius boundary layer

İçinde fizik ve akışkanlar mekaniği, bir Blasius sınır tabakası (adını Paul Richard Heinrich Blasius ) sabit iki boyutlu lamineri açıklar sınır tabakası sabit tek yönlü bir akışa paralel tutulan yarı sonsuz bir plaka üzerinde oluşur. Falkner ve Skan daha sonra Blasius'un kama akışı çözümünü genelleştirdiler (Falkner-Skan sınır tabakası ), yani plakanın akışa paralel olmadığı akışlar.

Prandtl sınır tabakası denklemleri

Bir şematik Blasius akış profilinin diyagramı. Akış yönündeki hız bileşeni benzerlik değişkeninin bir fonksiyonu olarak gösterilir .

Ölçekleme argümanlarını kullanma, Ludwig Prandtl[1] terimlerin yaklaşık yarısının Navier-Stokes denklemleri sınır tabakası akışlarında önemsizdir (plakanın ön kenarına yakın küçük bir bölge hariç). Bu, olarak bilinen azaltılmış bir denklem setine yol açar sınır tabakası denklemleri. Sabit viskozite ve yoğunluğa sahip sabit sıkıştırılamaz akış için, bunlar şunları okuyun:

Süreklilik:

-İtme:

-İtme:

Burada koordinat sistemi ile seçilir akış yönünde plakaya paralel işaret ve serbest akışı gösteren koordinat, ve bunlar ve hız bileşenleri, ... basınç, ... yoğunluk ve ... kinematik viskozite.

-momentum denklemi, sınır tabakasındaki basıncın, herhangi bir verilen için serbest akışınkine eşit olması gerektiğini belirtir. koordinat. Serbest akışta hız profili tek tip olduğu için, vortisite söz konusu değildir, bu nedenle basit Bernoulli denklemi bu yükseklikte uygulanabilir Reynolds sayısı limit constantor, farklılaşmadan sonra:Buraya sıvının sınır tabakasının dışındaki hızıdır ve çözümü Euler denklemleri (akışkanlar dinamiği).

Von Kármán Momentum integrali ve Blasius profili için enerji integrali,

nerede duvar kayma gerilmesi, duvar enjeksiyon / emme hızıdır, enerji yayılma oranı, momentum kalınlığı ve enerji kalınlığıdır.

Düz plaka sınır katmanları dahil olmak üzere çeşitli akış türleri için bu denkleme bir dizi benzerlik çözümü bulunmuştur. Dönem benzerlik akıştaki farklı konumlardaki hız profillerinin ölçekleme faktöründen ayrı olarak aynı olması özelliğini ifade eder. Bu çözümler genellikle doğrusal olmayan adi diferansiyel denklemler şeklinde sunulur.

Blasius denklemi - birinci dereceden sınır tabakası

Blasius[2] serbest akış hızının sabit olduğu durum için bir benzerlik çözümü önerdi, serbest akışa paralel olarak yönlendirilen düz bir plaka üzerindeki sınır katmanına karşılık gelen. Dönüşüm altında denklemler ve sınır koşulları değişmediği için kendine benzer bir çözüm mevcuttur.

nerede herhangi bir pozitif sabittir. Kendine benzer değişkenleri tanıttı

Blasius sınır katmanının geliştirilmesi (ölçeklendirilmez). Hız profili plaka boyunca seçilen konumlarda kırmızı ile gösterilir. Mavi çizgiler yukarıdan aşağıya doğru% 99 serbest akış hızı çizgisini temsil eder (), yer değiştirme kalınlığı () ve (). Görmek Sınır tabakası kalınlığı daha ayrıntılı bir açıklama için.

nerede ... sınır tabaka kalınlığı ve ... akış işlevi yeni tanıtılan normalleştirilmiş akış işlevinin olduğu, , sadece benzerlik değişkeninin bir fonksiyonudur. Bu doğrudan hız bileşenlerine götürür

Asal, göre türetmeyi ifade ettiğinde Momentum denklemine ikame Blasius denklemini verir

Sınır koşulları, kaymaz durum duvarın sızdırmazlığı ve sınır tabakası dışındaki serbest akış hızı

Bu doğrusal olmayan üçüncü dereceden adi diferansiyel denklem sayısal olarak çözülebilir, ör. ile atış yöntemi.

Küçükler için sınırlayıcı form dır-dir

ve büyük için sınırlayıcı biçim dır-dir

Deneysel gözlemlerle karşılaştırmak için uygun parametreler yer değiştirme kalınlığıdır. , momentum kalınlığı duvar kayma gerilmesi ve sürükleme kuvveti uzun süre hareket etmek Blasius profili için verilen plakanın

Faktör sürükleme kuvveti formülünde, plakanın her iki tarafını da hesaba katmaktır.

Blasius çözümünün benzersizliği

Blasius çözümü matematiksel açıdan benzersiz değil,[3]:131 gibi Ludwig Prandtl kendisi not aldı transpozisyon teoremi ve bir dizi araştırmacı tarafından analiz edildi. Keith Stewartson, Paul A. Libby.[4] Bu çözüme, her biri doğrusal olarak bozulmuş denklemi homojen koşullar ve sonsuzda üssel bozulma ile karşılayan sonsuz ayrık özfonksiyonlar kümesinden herhangi biri eklenebilir. Bu özfonksiyonlardan ilki, Kökenin etkin yerindeki belirsizliği temsil eden birinci dereceden Blasius çözümünün türevi.

İkinci dereceden sınır tabakası

Bu sınır tabakası yaklaşımı, duvardan uzakta sıfır olmayan bir dikey hız öngörür, bu da sonraki sırada dış viskoz olmayan katmanda ve buna karşılık gelen iç sınır katmanı çözümünde hesaba katılması gerekir ve bu da yeni bir dikey hızı vb. Tahmin eder. Blasius denkleminden birinci dereceden sınır tabakası problemi için sonsuzdaki dikey hız

İkinci dereceden sınır tabakası için çözüm sıfırdır. Dış viskoz ve iç sınır tabakası için çözüm[3]:134

Yine birinci dereceden sınır probleminde olduğu gibi, bu çözüme sonsuz öz-çözümleme kümesinden herhangi biri eklenebilir. Tüm çözümde olarak düşünülebilir Reynolds sayısı.

Üçüncü dereceden sınır tabakası

İkinci dereceden iç problem sıfır olduğundan, üçüncü dereceden probleme karşılık gelen düzeltmeler boştur, yani üçüncü dereceden dış problem, ikinci dereceden dış problemle aynıdır.[3]:139 Üçüncü dereceden düzeltme için çözümün kesin bir ifadesi yoktur, ancak iç sınır tabakası genişletmesi şu şekle sahiptir:

nerede birinci dereceden sınır tabakası çözümünün ilk öz çözümüdür ( Birinci dereceden Blasius çözümünün türevi) ve çözümü benzersiz değildir ve sorun belirsiz bir sabitle kalır.

Emme ile Blasius sınır tabakası

Emme, sınır tabakası ayrımını ertelemek için yaygın yöntemlerden biridir.[5] Duvarda tekdüze bir emme hızı düşünün . Bryan Thwaites[6] bu problemin çözümünün ön kenara çok yakın mesafeler için emme olmadan Blasius çözümüyle aynı olduğunu gösterdi. Dönüşümü tanıtmak

sınır tabakası denklemlerine yol açar

sınır koşulları ile,

Von Mises dönüşümü

Iglisch, 1944'te tam sayısal çözümü elde etti.[7] Daha fazla ise von Mises dönüşüm[8] tanıtıldı

sonra denklemler olur

sınır koşulları ile,

Bu parabolik kısmi diferansiyel denklem başlayarak yürüyüş yapılabilir sayısal olarak.

Asimptotik emiş profili

Emmeden kaynaklanan konveksiyon ve katı duvardan kaynaklanan difüzyon ters yönde hareket ettiğinden, profil, sınır tabakasının süresiz olarak büyüdüğü Blasius profilinden farklı olarak, büyük mesafelerde sabit çözüme ulaşacaktır. Çözüm ilk olarak şu şekilde elde edildi: Griffith ve F.W. Meredith.[9] Plakanın ön kenarından olan mesafeler için hem sınır tabakası kalınlığı hem de çözüm, veren

Stewartson[10] tam çözümün asimptotik emme profiliyle eşleştirilmesi üzerinde çalıştı.

Sıkıştırılabilir Blasius sınır katmanı

Burada Blasius sınır katmanı belirli bir özgül entalpi duvarda incelenir. yoğunluk , viskozite ve termal iletkenlik artık burada sabit değil. Kütlenin, momentumun ve enerjinin korunumu denklemi olur

nerede ... Prandtl numarası son ek ile sonsuzda değerlendirilen özellikleri temsil eder. Sınır koşulları olur

,
.

Sıkıştırılamaz sınır katmanından farklı olarak, benzerlik çözümü yalnızca dönüşüm

tutar ve bu yalnızca mümkünse .

Howarth dönüşümü

Sıkıştırılabilir Blasius sınır katmanı

Kendine benzer değişkenleri kullanarak tanıtmak Howarth-Dorodnitsyn dönüşümü

denklemler indirgenir

nerede ... özgül ısı oranı ve ... mak sayısı, nerede ... Sesin hızı. Denklem bir kez çözülebilir belirtilmiştir. Sınır koşulları

Hava için yaygın olarak kullanılan ifadeler şunlardır: . Eğer sabittir, o zaman . Sınır tabakasının içindeki sıcaklık, plaka sıcaklığı ortam sıcaklığıyla aynı sıcaklıkta tutulsa bile, dağıtıcı ısıtma nedeniyle artacaktır ve tabii ki, bu yayılma etkileri yalnızca mak sayısı büyük.

Parabolik koordinatlarda birinci dereceden Blasius sınır katmanı

Sınır tabakası denklemleri Parabolik kısmi diferansiyel denklem, sorunun doğal koordinatları parabolik koordinatlar.[3]:142 Dan dönüşüm Kartezyen koordinatları -e parabolik koordinatlar tarafından verilir

.

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

  • [1] - Blasius'un orijinal makalesinin İngilizce çevirisi - NACA Technical Memorandum 1256.

Dipnotlar

  1. ^ Prandtl, L. (1904). "Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung". Verhandlinger 3. Int. Matematik. Kongr. Heidelberg: 484–491.
  2. ^ Blasius, H. (1908). "Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung". Z. Angew. Matematik. Phys. 56: 1–37.
  3. ^ a b c d Van Dyke, Milton (1975). Akışkanlar mekaniğinde pertürbasyon yöntemleri. Parabolik Basın. ISBN  9780915760015.
  4. ^ Libby, Paul A. ve Herbert Fox. "Laminer sınır tabakası teorisinde bazı pertürbasyon çözümleri." Akışkanlar Mekaniği Dergisi 17.3 (1963): 433-449.
  5. ^ Rosenhead, Louis, ed. Laminer sınır tabakaları. Clarendon Press, 1963.
  6. ^ Thwaites, Bryan. Sürekli yüzey emişli belirli tipte sınır tabakası akışı. HM Kırtasiye Ofisi, 1946.
  7. ^ Iglisch, Rudolf. Exakte Berechnung der laminaren Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte mit homojenleştirici Absaugung. Oldenbourg, 1944.
  8. ^ Von Mises, Richard. "Bemerkungen zur hidrodinamik." Z. Angew. Matematik. Mech 7 (1927): 425-429.
  9. ^ Griffith, A. A. ve F. W. Meredith. "Sınır tabakası emişinin kullanılması nedeniyle uçak performansındaki olası gelişme." Royal Aircraft Kuruluş Raporu No E 3501 (1936): 12.
  10. ^ Stewartson, K. "Sınır tabakaları teorisindeki asimptotik açılımlar üzerine." Uygulamalı Matematik Çalışmaları 36.1-4 (1957): 173-191.

Referanslar