Blochs yüksek Chow grubu - Blochs higher Chow group - Wikipedia

Cebirsel geometride, Bloch'un yüksek Chow gruplarıbir genelleme Chow grubu, bir öncü ve temel bir örnektir motive edici kohomoloji (pürüzsüz çeşitler için). Tarafından tanıtıldı Spencer Bloch (Bloch 1986 ) harv hatası: hedef yok: CITEREFBloch1986 (Yardım) ve temel teori Bloch tarafından geliştirilmiştir ve Marc Levine.

Daha kesin bir ifadeyle, bir Voevodsky teoremi^[1] ima eder: for a pürüzsüz şema X bir alan ve tam sayılar üzerinden p, qdoğal bir izomorfizm var

${ displaystyle operatorname {H} ^ {p} (X; mathbb {Z} (q)) simeq operatorname {CH} ^ {q} (X, 2q-p)}$

motivik kohomoloji grupları ve daha yüksek Chow grupları arasında.

Motivasyon

Daha yüksek Chow grupları için motivasyonlardan biri homotopi teorisinden geliyor. Özellikle, eğer ${ displaystyle alpha, beta in Z _ {*} (X)}$ cebirsel döngülerdir ${ displaystyle X}$ bir döngü yoluyla rasyonel olarak eşdeğer olan ${ displaystyle gamma in Z _ {*} (X times Delta ^ {1})}$, sonra ${ displaystyle gamma}$ arasında bir yol olarak düşünülebilir ${ displaystyle alpha}$ ve ${ displaystyle beta}$ve daha yüksek Chow gruplarının, daha yüksek homotopi tutarlılığı bilgisini kodlaması amaçlanmıştır. Örneğin,

${ displaystyle { text {CH}} ^ {*} (X, 0)}$

döngülerin homotopi sınıfları olarak düşünülebilir.

${ displaystyle { text {CH}} ^ {*} (X, 1)}$

döngülerin homotopi sınıfları olarak düşünülebilir.

Tanım

İzin Vermek X bir alan üzerinde yarı yansıtmalı bir cebirsel şema olabilir (“cebirsel”, ayrılmış ve sonlu tip anlamına gelir).

Her tam sayı için ${ displaystyle q geq 0}$, tanımlamak

${ displaystyle Delta ^ {q} = operatorname {Spec} ( mathbb {Z} [t_ {0}, dots, t_ {q}] / (t_ {0} + dots + t_ {q} - 1)),}$

bir standardın cebirsel analoğu olan q-basit. Her sıra için ${ displaystyle 0 leq i_ {1}$kapalı alt şema ${ displaystyle t_ {i_ {1}} = t_ {i_ {2}} = cdots = t_ {i_ {r}} = 0}$izomorfik olan ${ displaystyle Delta ^ {q-r}}$, yüzü denir ${ displaystyle Delta ^ {q}}$.

Her biri için bengömme var

${ displaystyle kısmi _ {q, i}: Delta ^ {q-1} { taşma { sim} { to}} {t_ {i} = 0 } alt küme Delta ^ {q} .}$

Biz yazarız ${ displaystyle Z_ {i} (X)}$ grubu için cebirsel bendöngüleri açık X ve ${ displaystyle z_ {r} (X, q) alt küme Z_ {r + q} (X times Delta ^ {q})}$ kapalı alt çeşitler tarafından oluşturulan alt grup için düzgün bir şekilde kesişir ile ${ displaystyle X times F}$ her yüz için F nın-nin ${ displaystyle Delta ^ {q}}$.

Dan beri ${ displaystyle kısmi _ {X, q, i} = operatör adı {id} _ {X} times kısmi _ {q, i}: X times Delta ^ {q-1} hookrightarrow X times Delta ^ {q}}$ etkili bir Cartier bölenidir, Gysin homomorfizmi:

${ displaystyle kısmi _ {X, q, i} ^ {*}: z_ {r} (X, q) ila z_ {r} (X, q-1)}$,

(tanım gereği) bir alt çeşitliliği eşler V için kavşak ${ displaystyle (X times {t_ {i} = 0 }) cap V.}$

Sınır operatörünü tanımlayın ${ displaystyle d_ {q} = toplam _ {i = 0} ^ {q} (- 1) ^ {i} kısmi _ {X, q, i} ^ {*}}$ zincir kompleksini veren

${ displaystyle cdots - z_ {r} (X, q) { taşma {d_ {q}} { -}} z_ {r} (X, q-1) { taşma {d_ {q-1 }} { to}} cdots { taşması {d_ {1}} { to}} z_ {r} (X, 0).}$

Son olarak q- daha yüksek Chow grubu X olarak tanımlanır qYukarıdaki kompleksin homolojisi:

${ displaystyle operatorname {CH} _ {r} (X, q): = operatorname {H} _ {q} (z_ {r} (X, cdot)).}$

(Daha basit, çünkü ${ displaystyle z_ {r} (X, cdot)}$ doğal olarak basit bir değişmeli gruptur. Dold-Kan yazışmaları, daha yüksek Chow grupları, homotopi grupları olarak da tanımlanabilir ${ displaystyle operatorname {CH} _ {r} (X, q): = pi _ {q} z_ {r} (X, cdot)}$.)

Örneğin, eğer ${ displaystyle V subset X times triangle ^ {1}}$^[2] kapalı bir alt çeşitliliktir öyle ki kesişimler ${ displaystyle V (0), V ( infty)}$ yüzlerle ${ displaystyle 0, infty}$ uygun, o zaman${ displaystyle d_ {1} (V) = V (0) -V ( infty)}$ ve bu, Önerme 1.6 ile anlamına gelir. Fulton’ın kesişim teorisine göre, ${ displaystyle d_ {1}}$ tam olarak rasyonel olarak sıfıra eşdeğer döngü grubudur; yani,

${ displaystyle operatorname {CH} _ {r} (X, 0) =}$ r-nci Chow grubu nın-nin X.

Özellikleri

İşlevsellik

Uygun haritalar ${ displaystyle f: X - Y}$ yüksek yiyecek grupları arasında kovaryantken, düz haritalar çelişkilidir. Ayrıca, her zaman ${ displaystyle X}$ düzgün, herhangi bir harita ${ displaystyle X}$ kovaryanttır.

Homotopi değişmezliği

Eğer ${ displaystyle E ila X}$ bir cebirsel vektör demetidir, bu durumda homotopi denkliği vardır

${ displaystyle { text {CH}} ^ {*} (X, n) cong { text {CH}} ^ {*} (E, n)}$

Yerelleştirme

Kapalı bir eşit boyutlu alt şema verildiğinde ${ displaystyle Y alt küme X}$ yerelleştirme uzun kesin bir dizi var

${ displaystyle { başla {hizalı} cdots { text {CH}} ^ {* - d} (Y, 2) - { text {CH}} ^ {*} (X, 2) { text {CH}} ^ {*} (U, 2) ila & { text {CH}} ^ {* - d} (Y, 1) ila { text {CH}} ^ {*} (X, 1) - { text {CH}} ^ {*} (U, 1) - & { text {CH}} ^ {* - d} (Y, 0) { text {CH}} ^ {*} (X, 0) - { text {CH}} ^ {*} (U, 0) - & { text {}} 0 end {hizalı} }}$

nerede ${ displaystyle U = X-Y}$. Özellikle bu, daha yüksek yemek gruplarının doğal olarak yemek gruplarının tam sırasını genişlettiğini gösterir.

Yerelleştirme teoremi

(Bloch 1994 ) harv hatası: hedef yok: CITEREFBloch1994 (Yardım) açık bir alt küme verildiğinde ${ displaystyle U alt küme X}$, için ${ displaystyle Y = X-U}$,

${ displaystyle z (X, cdot) / z (Y, cdot) ila z (U, cdot)}$

bir homotopi eşdeğeridir. Özellikle, eğer ${ displaystyle Y}$ saf ortak boyuta sahiptir, daha sonra daha yüksek Chow grupları için uzun tam sırayı verir (lokalizasyon dizisi olarak adlandırılır).

Referanslar

• S. Bloch, "Cebirsel çevrimler ve daha yüksek K-teorisi, ”Adv. Matematik. 61 (1986), 267–304.
• S. Bloch, "Daha yüksek Chow grupları için hareketli lemma", J. Algebraic Geom. 3, 537–568 (1994)
• Peter Haine, Motivik Kohomolojiye Genel Bir Bakış
• Vladmir Voevodsky, "Motivik kohomoloji grupları, herhangi bir özellikte daha yüksek Chow gruplarına izomorfiktir", International Mathematics Research Notices 7 (2002), 351-355.