Bousfield yerelleştirmesi - Bousfield localization

İçinde kategori teorisi, bir matematik dalı, a (solda) Bousfield yerelleştirmesi bir model kategorisi model yapısını, aynı kofibrasyonlara sahip ancak daha zayıf eşdeğerlere sahip başka bir model yapısıyla değiştirir.

Bousfield yerelleştirmesinin adı Aldridge Bousfield, bu tekniği ilk kez yerelleştirme bağlamında sunan topolojik uzaylar ve spektrumlar.^[1]^[2]

Bousfield yerelleştirmesinin model kategori yapısı

Verilen bir sınıf C morfizmlerin bir model kategorisi M sol Bousfield yerelleştirmesi, önceki ile aynı kategoride yer alan yeni bir model yapısıdır. Eşdeğerleri, kofibrasyonlar ve fibrasyonlar sırasıyla

C-yerel eşdeğerler
orijinal kofibrasyonları M

ve (kofibrasyonlar ve zayıf eşdeğerlikler fibrilasyonları belirlediği için zorunlu olarak)

sahip olan haritalar doğru kaldırma özelliği kofibrasyonlar ile ilgili olarak M bunlar da C-yerel eşdeğerler.

Bu tanımda bir C-yerel eşdeğerlik bir haritadır ${ displaystyle f iki nokta üst üste X ila Y}$ bu, kabaca konuşursak, bir ile eşleme yaparken bir fark yaratmaz C-yerel nesne. Daha kesin, ${ displaystyle f ^ {*} iki nokta üst üste operatöradı {harita} (Y, W) ila operatöradı {harita} (X, W)}$ zayıf bir eşdeğer olması gerekir ( basit setler ) herhangi C-yerel nesne W. Bir obje W denir C-fibrant ise yerel ( M) ve

{ displaystyle s ^ {*} iki nokta üst üste operatöradı {harita} (B, W) ila operatöradı {harita} (A, W)}

zayıf bir denkliktir herşey haritalar ${ displaystyle f iki nokta üst üste A ila B}$ içinde C. Gösterim ${ displaystyle operatöradı {harita} (-, -)}$ genel bir model kategorisi için (mutlaka zenginleştirilmiş basit kümeler üzerinde) belirli bir basit küme yol bileşenleri morfizmalara katılıyor homotopi kategorisi nın-nin M:

{ displaystyle pi _ {0} ( operatöradı {harita} (X, Y)) = operatöradı {Hom} _ {Ho (M)} (X, Y).}

Eğer M basit bir model kategorisidir (örneğin, basit kümeler veya topolojik uzaylar), daha sonra yukarıdaki "harita", aşağıdakilerin türetilmiş basit eşleme alanı olarak alınabilir M.

Bu açıklama, aşağıya bakınız bu model yapısının varlığı hakkında herhangi bir iddiada bulunmaz.

İkili olarak, bir fikir var sağ Bousfield yerelleştirmesi, tanımı, kofibrasyonları fibrasyonlar ile değiştirerek (ve tüm okların yönlerini tersine çevirerek) elde edilir.

Varoluş

Sol Bousfield yerelleştirme modeli yapısının, yukarıda açıklandığı gibi, çeşitli durumlarda var olduğu bilinmektedir. C bir kümedir:

M uygun bırakılır (yani, bir kofibrasyon boyunca zayıf bir eşdeğerliğin itilmesi yine zayıf bir eşdeğerdir) ve kombinatoryal
M uygun ve hücresel bırakılır.

Bir model kategorisinin kombinatoryallığı ve hücreselliği, özellikle kofibrasyonlar üzerinde güçlü bir kontrolü garanti eder. M.

Benzer şekilde, doğru Bousfield yerelleştirmesi mevcutsa M doğru ve hücresel veya kombinasyoneldir ve C bir kümedir.

Evrensel mülkiyet

yerelleştirme ${ displaystyle C [W ^ {- 1}]}$ (sıradan) bir kategorinin C bir sınıfa göre W Morfizmler aşağıdaki evrensel özelliği karşılar:

Var functor ${ displaystyle C - C [W ^ {- 1}]}$ tüm morfizmaları gönderen W izomorfizmlere.
Herhangi bir işleç ${ displaystyle C - D}$ o gönderir W izomorfizmlere D daha önce bahsedilen işlevin üzerindeki benzersiz faktörler.

Bousfield yerelleştirmesi, sıradan kategori teorisindeki izomorfizmlerin yerini zayıf eşdeğerliklerle değiştirdiğini akılda tutarak, model kategorileri için uygun benzer bir kavramdır. Yani (solda) Bousfield yerelleştirmesi ${ displaystyle L_ {C} M}$ şekildedir

Var sol Quillen functor ${ displaystyle M - L_ {C} M}$ sol türetilmiş funktoru tüm morfizmaları gönderiyor C zayıf eşdeğerlere.
Sol herhangi bir Quillen functor ${ displaystyle M - N}$ sol türetilmiş functor gönderen C zayıf eşdeğer faktörlere benzersiz şekilde ${ displaystyle M - L_ {C} M}$ .

Örnekler

Spektrumun yerelleştirilmesi ve tamamlanması

Bir spektrumun asal sayıda yerelleştirilmesi ve tamamlanması p Bousfield yerelleştirmesinin her ikisi de bir yerel spektrum. Örneğin, yerelleştirme küre spektrumu S -de p, bir elde edilir yerel küre ${ displaystyle S _ {(p)}}$ .

Spektrumlarda kararlı model yapısı

kararlı homotopi kategorisi kararlı model yapısına sahip spektrumların homotopi kategorisidir (model kategorileri anlamında). Kararlı model yapısı, zayıf eşdeğerleri (fibrasyonları) tüm seviyelerde zayıf eşdeğerler olan (sırasıyla fibrilasyonlar) olan spektrumlarda seviye (veya projektif) model yapısının sol Bousfield lokalizasyonu olarak elde edilir.^[3]

Dg kategorilerinde Morita model yapısı

Küçük dg kategorileri kategorisindeki Morita model yapısı, standart model yapısının Bousfield yerelleştirmesidir ( zayıf eşdeğerler yarı eşdeğerlerdir).

Ayrıca bakınız

Bir topolojik uzayın yerelleştirilmesi

Referanslar

^ Aldridge Bousfield, Homolojiye göre spektrumların lokalizasyonu Topoloji cilt 18 (1979)
^ Aldridge Bousfield, Homolojiye göre mekanların yerelleştirilmesi, Topoloji cilt. 14 (1975)
^ Hovey, Mark (2001). "Genel model kategorilerinde spektrum ve simetrik spektrumlar". Journal of Pure and Applied Cebir. Bölüm 3. 165 (1): 63–127. arXiv:matematik / 0004051. doi:10.1016 / s0022-4049 (00) 00172-9. BAY 1860878.CS1 Maint: konum (bağlantı)

Hirschhorn, Model Kategorileri ve Yerelleştirmeleri, AMS 2002
P-yerel ve q-yerel spektrumlar Arasında Haritaların Yokluğu

Dış bağlantılar

Nlab'de Bousfield yerelleştirmesi.
J. Lurie, Ders 20 Kromatik Homotopi Teorisinde (252x).

[1] Aldridge Bousfield, Homolojiye göre spektrumların lokalizasyonu Topoloji cilt 18 (1979)

[2] Aldridge Bousfield, Homolojiye göre mekanların yerelleştirilmesi, Topoloji cilt. 14 (1975)

[3] Hovey, Mark (2001). "Genel model kategorilerinde spektrum ve simetrik spektrumlar". Journal of Pure and Applied Cebir. Bölüm 3. 165 (1): 63–127. arXiv:matematik / 0004051. doi:10.1016 / s0022-4049 (00) 00172-9. BAY 1860878.CS1 Maint: konum (bağlantı)

[1]

[2]

[3]