Bratteli diyagramı - Bratteli diagram

Matematikte bir Bratteli diyagramı kombinatoryal bir yapıdır: a grafik pozitif tamsayılarla ("seviye") etiketlenmiş köşelerden ve bir farklı seviyelere sahip köşeler arasındaki yönlendirilmemiş kenarlardan oluşur. Fikir, Ola Bratteli^[1] 1972'de teorisinde operatör cebirleri sonlu boyutlu cebirlerin yönlendirilmiş dizilerini tanımlamak için: Elliott'un sınıflandırmasında önemli bir rol oynadı AF cebirleri ve teorisi alt faktörler. Daha sonra Anatoly Vershik ilişkili dinamik sistemler bu tür grafiklerde sonsuz yollarla.^[2]

Tanım

Bratteli diyagramı aşağıdaki nesnelerle verilir:

• Bir dizi set V_n ('seviyedeki köşeler n ') pozitif tamsayı kümesiyle etiketlenir N. Bazı literatürde her bir v öğesi V_n pozitif bir tamsayı eşlik eder b_v > 0.
• Bir dizi set E_n ('seviyeden kenarlar n -e n + 1 ') tarafından etiketlendi N, haritalarla donatılmışs: E_n → V_n ve r: E_n → V_n+1, öyle ki:
  • Her biri için v içinde V_n, elemanların sayısı e içinde E_n ile s(e) = v sonludur.
  • Sayısı da öyle e ∈ E_n−1 ile r(e) = v.
  • Köşeler pozitif tam sayılarla işaretlendiğinde b_v, numara a_v, v ' ile kenarların s(e) = v ve r(e) = v 'için v ∈ V_n ve v '∈V_n+1 tatmin eder b_v a_{v, v '} ≤ b_{v '}.

Bratteli diyagramlarını resimsel olarak temsil etmenin alışılmış bir yolu, köşeleri seviyelerine göre hizalamak ve numarayı koymaktır. b_v tepe noktasının yanında vveya bu numarayı yerine kullanın v, de olduğu gibi

1 = 2 − 3 − 4 ...

\ 1 ∠ 1 ∠ 1 ... .

Bir sıralı Bratteli diyagramı üzerinde kısmi bir sıralama ile birlikte bir Bratteli diyagramıdır E_n öyle ki herhangi biri için v ∈ V_n set {e ∈ E_n−1 : r(e) = v } tamamen sıralanmıştır. Ortak bir aralık tepe noktasını paylaşmayan kenarlar kıyaslanamaz. Bu kısmi sıralama, tüm maksimal kenarlar kümesini tanımlamamıza izin verir E_max ve tüm minimal kenarların kümesi E_min. İçinde benzersiz sonsuz uzunlukta bir yol olan bir Bratteli diyagramı E_max ve E_min denir esasen basit.^[3]

Sonlu boyutlu cebir dizisi

Hiç yarı basit cebir üzerinde Karışık sayılar C Sonlu boyutun bir doğrudan toplam ⊕_k M_nk(C) nın-nin matris cebirleri, ve C-Her iki taraftaki iç otomorfizmalara kadar bu tür iki cebir arasındaki cebir homomorfizmleri, tamamen 'matris cebiri' bileşenleri arasındaki çokluk sayısı ile belirlenir. Böylece, ⊕'nın enjekte edici bir homomorfizmi_k=1^ben M_nk(C) içine into_l=1^j M_ml(C) pozitif sayılardan oluşan bir koleksiyonla temsil edilebilir a_{k, l} tatmin edici ∑n_k a_{k, ben} ≤ m_l. (Eşitlik, ancak ve ancak homomorfizm ünital ise geçerlidir; enjekte edici olmayan homomorfizmlere bazılarına izin vererek izin verebiliriz. a_k,l sıfır olacaktır.) Bu, köşeleri sayılarla işaretlenmiş iki taraflı bir grafik olarak gösterilebilir (n_k)_k bir yandan ve işaretli olanlar (m_l)_l Öte yandan ve sahip olmak a_k, l tepe arasındaki kenarlar n_k ve tepem_l.

Böylece, sonlu boyutlu yarı basit cebirler dizisine sahip olduğumuzda Bir_n ve enjekte edici homomorfizmler φ_n : Bir_{n '} → Bir_n+1: aralarında, koyarak bir Bratteli diyagramı elde ederiz

V_n = basit bileşenler kümesi Bir_n

(her bir matris cebirine izomorfik), matrislerin boyutuyla işaretlenmiştir.

(E_n, r, s): aradaki kenarların sayısı M_nk(C) ⊂ Bir_n ve M_ml(C) ⊂ Bir_n+1 çokluğuna eşittir M_nk(C) içine M_ml(C) altında φ_n.

Bölünmüş yarı basit cebir dizisi

Hiç yarı basit cebir (muhtemelen sonsuz boyutta), modüller tamamen indirgenebilir, yani doğrudan toplamına ayrışırlar basit modüller. İzin Vermek ${ displaystyle A_ {0} subseteq A_ {1} subseteq A_ {2} subseteq cdots}$ bölünmüş yarı basit cebirlerden oluşan bir zincir olun ve ${ displaystyle { şapka {A}} _ {i}}$ indirgenemez temsilleri için indeksleme seti olun ${ displaystyle A_ {i}}$. Gösteren ${ displaystyle A_ {i} ^ { lambda}}$ tarafından indekslenen indirgenemez modül ${ displaystyle lambda { şapka {A}} _ {i}}$. Dahil etme nedeniyle ${ displaystyle A_ {i} subseteq A_ {i + 1}}$, hiç ${ displaystyle A_ {i + 1}}$-modül ${ displaystyle M}$ bir ile sınırlı ${ displaystyle A_ {i}}$-modül. İzin Vermek ${ displaystyle g _ { lambda, mu}}$ ayrışma sayılarını gösterir

${ displaystyle A_ {i + 1} ^ { mu} downarrow _ {A_ {i}} ^ {A_ {i + 1}} = bigoplus _ { lambda { hat {A}} _ { i}} g _ { lambda, mu} A_ {i} ^ { lambda}.}$

Bratteli diyagramı zincir için ${ displaystyle A_ {0} subseteq A_ {1} subseteq A_ {2} subseteq cdots}$ her eleman için bir köşe yerleştirilerek elde edilir ${ displaystyle { şapka {A}} _ {i}}$ Seviyesinde ${ displaystyle i}$ ve bir tepe noktası bağlamak ${ displaystyle lambda}$ Seviyesinde ${ displaystyle i}$ bir tepe noktasına ${ displaystyle mu}$ Seviyesinde ${ displaystyle i + 1}$ ile ${ displaystyle g _ { lambda, mu}}$ kenarlar.

Örnekler

Brauer ve BMW cebirleri için i = 0,1,2,3 ve 4 iplikçikli Bratteli diyagramı.

(1) Eğer ${ displaystyle A_ {i} = S_ {i}}$, i. simetrik grup karşılık gelen Bratteli diyagramı ile aynıdır Young kafesi.^{[kaynak belirtilmeli ]}

(2) Eğer ${ displaystyle A_ {i}}$ ... Brauer cebiri ya da Birman-Wenzl cebiri açık ben daha sonra ortaya çıkan Bratteli diyagramının bölümleri vardır. ben–2k (için ${ displaystyle k = 0,1,2, ldots, lfloor i / 2 rfloor}$) Tek bir parçadan 1 ekleyerek veya çıkararak biri diğerinden elde edilebiliyorsa, bitişik seviyelerdeki bölümler arasında bir kenar ile.

(3) Eğer ${ displaystyle A_ {i}}$ ... Temperley-Lieb cebiri açık ben iplikçikler, sonuçta ortaya çıkan Bratteli tam sayılara sahiptir ben–2k (için ${ displaystyle k = 0,1,2, ldots, lfloor i / 2 rfloor}$) biri diğerinden 1 ekleyerek veya çıkararak elde edilebiliyorsa, bitişik düzeylerdeki tamsayılar arasında bir kenar ile.

Ayrıca bakınız

• Bratteli – Vershik diyagramı

Referanslar