Calkin cebiri - Calkin algebra
İçinde fonksiyonel Analiz, Calkin cebiri, adını John Williams Calkin,[1] ... bölüm nın-nin B(H), yüzük nın-nin sınırlı doğrusal operatörler bir ayrılabilir sonsuz boyutlu Hilbert uzayı Htarafından ideal K(H) nın-nin kompakt operatörler.[2] İşte ek B(H) operatörlerin toplanması ve içindeki çarpımdır B(H) operatörlerin bileşimidir; bu işlemlerin işe yaradığını doğrulamak kolaydır. B(H) bir halkaya. Skaler çarpma da dahil edildiğinde, B(H) aslında aynı alan üzerinde bir cebir haline gelir. H bir Hilbert uzayıdır.
Özellikleri
- Dan beri K(H) bir maksimal norm-kapalı ideal B(H), Calkin cebiri basit. Aslında, K(H) içindeki tek kapalı ideal B(H).
- Bir bölüm olarak C * cebir iki taraflı ideal olarak, Calkin cebiri bir C * cebiridir ve bir kısa kesin dizi
- hangi bir altı dönemlik döngüsel kesin dizi içinde K-teorisi. Şu operatörler B(H) Calkin cebirinin ters çevrilebilir bir elemanına eşlenenler denir Fredholm operatörleri, ve onların indeks hem K-teorisi kullanılarak hem de doğrudan tanımlanabilir. Örneğin, Calkin cebirindeki üniter operatörler koleksiyonunun tamsayılar tarafından indekslenmiş homotopi sınıflarından oluştuğu sonucuna varılabilir. Z. Bu, zıttır B(H), üniter operatörlerin yol bağlandığı yer.
- Bir C * -algebra olarak, Calkin cebiri, ayrılabilir bir Hilbert uzayında operatörlerin cebirine izomorfik değildir. Gelfand-Naimark-Segal inşaatı Calkin cebirinin, ayrılamaz bir Hilbert uzayında bir operatör cebirine izomorfik olduğunu, ancak diğer birçok C * -algebrası için bu tür Hilbert uzaylarının açık tanımları varken, Calkin cebirinin açık bir temsili olmadığını ima eder.[kaynak belirtilmeli ]
- Calkin cebirinin bir dış otomorfizminin varlığının şunlardan bağımsız olduğu gösterilmiştir: ZFC, Phillips ve Weaver ve Farah'ın çalışmalarıyla.[3][4]
Genellemeler
- Herhangi bir sonsuz boyutlu karmaşık Hilbert uzayı için bir Calkin cebiri tanımlanabilir, sadece ayrılabilir olanlar değil.
- Değiştirilerek benzer bir yapı yapılabilir H Birlikte Banach alanı, buna Calkin cebiri de denir.[5]
- Calkin cebiri, Korona cebiri bir Hilbert uzayında kompakt operatörlerin cebirinin.
Referanslar
- ^ "Akademisyenler Topluluğu, İleri Araştırmalar Enstitüsü, Öğretim Üyeleri ve Üyeler 1930–1980" (PDF). ias.edu.
- ^ Calkin, J.W. (1 Ekim 1941). "Hilbert Uzayında Sınırlı Operatörlerin Halkasında İki Taraflı İdealler ve Eşlikler". Matematik Yıllıkları. 42 (4): 839. doi:10.2307/1968771.
- ^ Phillips, N. Christopher; Weaver, Nik (1 Temmuz 2007). "Calkin cebirinin dış otomorfizmaları vardır". Duke Matematiksel Dergisi. 139 (1): 185–202. arXiv:matematik / 0606594. doi:10.1215 / S0012-7094-07-13915-2.
- ^ Farah, Ilijas (1 Mart 2011). "Calkin cebirinin tüm otomorfizmaları içseldir". Matematik Yıllıkları. 173 (2): 619–661. arXiv:0705.3085. doi:10.4007 / yıllıklar.2011.173.2.1.
- ^ Appell, Jürgen (2005). "Kompakt olmama ölçüleri, yoğuşma operatörleri ve sabit noktalar: Uygulama odaklı bir anket". Sabit Nokta Teorisi. 6 (2): 157–229.