Capellis kimliği - Capellis identity - Wikipedia

İçinde matematik, Capelli'nin kimliği, adını Alfredo Capelli  (1887 ), det formülünün bir analogudur (AB) = det (Bir) det (B), değişmeyen girişlere sahip belirli matrisler için, Lie cebirinin temsil teorisi . Bir değişmezi ilişkilendirmek için kullanılabilir ƒ değişmez Ωƒ, nerede Ω Cayley'in Ω süreci.

Beyan

Farz et ki xij için ben,j = 1,...,n değişkenler değişiyor. Yazmak Eij polarizasyon operatörü için

Capelli kimliği, belirleyici olarak ifade edilen aşağıdaki diferansiyel operatörlerin eşit olduğunu belirtir:

Her iki taraf da diferansiyel operatörlerdir. Soldaki determinant, değişmeyen girişlere sahiptir ve "soldan sağa" sıralarını koruyan tüm terimlerle genişletilir. Böyle bir belirleyiciye genellikle sütun belirleyiciÇünkü determinantın ilk sütundan başlayarak sütun genişlemesi ile elde edilebilir. Resmi olarak şu şekilde yazılabilir:

üründe ilk önce ilk sütundan, sonra ikinci sütundan vb. En sağdaki belirleyici Cayley'nin omega süreci ve soldaki Capelli belirleyicisidir.

Operatörler Eij bir matris biçiminde yazılabilir:

nerede elemanlı matrislerdir Eij, xij, sırasıyla. Bu matrislerdeki tüm elemanlar değişmeli ise o zaman açıkça . Capelli kimliği, değişmezliğe rağmen yukarıdaki formülün bir "nicelemesinin" var olduğunu gösterir. Değişmezliğin tek bedeli küçük bir düzeltmedir: sol tarafta. Genel değişmez matrisler için formüller gibi

yoktur ve "determinant" kavramının kendisi, genel değişmez matrisler için bir anlam ifade etmez. Bu nedenle, Capelli kimliği, kendisine sunulan birçok kanıta rağmen hala bir gizem barındırmaktadır. Çok kısa bir kanıt yok gibi görünüyor. İfadenin doğrudan doğrulanması için bir egzersiz olarak verilebilir. n = 2, ancak zaten uzun n = 3.

Temsil teorisi ile ilişkiler

Aşağıdaki biraz daha genel bağlamı düşünün. Farz et ki ve iki tam sayıdır ve için , değişkenler değişiyor olabilir. Yeniden Tanımla neredeyse aynı formülle:

tek farkla toplama indeksi aralıkları -e . Bu tür operatörlerin komutasyon ilişkilerini sağladığını kolayca görebiliriz:

Buraya gösterir komütatör . Bunlar, matrisler tarafından sağlanan aynı komutasyon ilişkileridir. konumu dışında her yerde sıfır olan , 1'in bulunduğu yerde. ( bazen aranır matris birimleri). Dolayısıyla yazışmaların tanımlar Lie cebirinin temsili polinomlarının vektör uzayında .

Durum m = 1 ve gösterim Sk Cn

Özel durumu dikkate almak özellikle öğreticidir m = 1; bu durumda bizde xi1olarak kısaltılır xben:

Özellikle, birinci dereceden polinomlar için şu görülür:

Dolayısıyla eylemi birinci dereceden polinomların uzayıyla sınırlı olan, eylemi ile tamamen aynıdır matris birimleri içindeki vektörlerde . Dolayısıyla, temsil teorisi bakış açısından, birinci dereceden polinomların alt uzayı bir alt temsil Lie cebirinin standart gösterimle tanımladığımız . Daha da ileri gidildiğinde, diferansiyel operatörlerin polinomların derecesini koruyun ve dolayısıyla her sabit derecenin polinomları bir alt temsil Lie cebirinin . Homojen polinomların uzayının derece k simetrik tensör gücü ile tanımlanabilir standart temsilin .

Ayrıca kolayca tanımlanabilir en yüksek ağırlık bu temsillerin yapısı. Tek terimli bir en yüksek ağırlık vektörü, aslında: için ben < j. En yüksek ağırlığı (k, 0, ..., 0), aslında: .

Böyle bir temsile bazen bozonik temsili denir. . Benzer formüller burada sözde fermiyonik gösterimi tanımlayın değişme önleyici değişkenlerdir. Yine polinomlar k-th derece, izomorfik olan indirgenemez bir alt temsil oluşturur yani anti-simetrik tensör gücü . Bu tür bir temsilin en yüksek ağırlığı (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) 'dır. Bu temsiller k = 1, ..., n vardır temel temsiller nın-nin .

İçin Capelli kimliği m = 1

Capelli kimliğine dönelim. Aşağıdakiler kanıtlanabilir:

bu eşitliğin motivasyonu şudur: bazı işe gidip gelme değişkenleri için . Matris birinci derecededir ve dolayısıyla belirleyicisi sıfıra eşittir. Matrisin elemanları benzer formüllerle tanımlanır, ancak öğeleri gidip gelmez. Capelli kimliği, değişmeli kimliğin: düzeltme matrisinin küçük fiyatı için korunabilir tarafından .

Benzer bir özdeşliğin karakteristik polinom için verilebileceğini de belirtelim:

nerede . Bunun değişmeli karşılığı, rank = 1 matrisleri için karakteristik polinomun yalnızca birinci ve ikinci katsayıları içerdiği basit bir gerçektir.

Bir örnek düşünün n = 2.

Kullanma

bunun şuna eşit olduğunu görüyoruz:

Evrensel zarflama cebiri ve merkezi

Capelli determinantının ilginç bir özelliği, tüm operatörlerle gidip gelmesidir. Eijyani komütatör sıfıra eşittir. Genelleştirilebilir:

Herhangi bir unsuru düşünün Eij herhangi bir halkada, komütasyon ilişkisini tatmin edecek şekilde , (böylece yukarıdaki diferansiyel operatörler olabilirler, matris birimleri eij veya diğer öğeler) öğeleri tanımlar Ck aşağıdaki gibi:

nerede

sonra:

  • elementler Ck tüm unsurlarla işe gidip gelmek Eij
  • elementler Ck değişmeli duruma benzer formüllerle verilebilir:

yani matrisin ana küçüklerinin toplamıdır E, modulo the Capelli düzeltmesi . Özellikle eleman C0 yukarıda ele alınan Capelli belirleyicisidir.

Bu ifadeler, aşağıda tartışılacağı gibi Capelli kimliğiyle birbiriyle ilişkilidir ve buna benzer şekilde, formülasyonun basitliğine rağmen, doğrudan birkaç satırlık kısa ispat mevcut görünmemektedir.

evrensel zarflama cebiri

tarafından üretilen bir cebir olarak tanımlanabilir

Eij

ilişkilere tabi

tek başına. Yukarıdaki önerme, öğelerin Cke ait olmak merkez nın-nin . Bunların gerçekte merkezin özgür üreticileri oldukları gösterilebilir. . Bazen çağrılırlar Capelli jeneratörleri. Bunlar için Capelli kimlikleri aşağıda tartışılacaktır.

Bir örnek düşünün n = 2.

Bu öğeyi kontrol etmek hemen ile işe gidip gelmek . (Birim matrisinin diğer tüm matrislerle değiştiği açık bir gerçeğe karşılık gelir). Daha öğretici, ikinci elemanın değişebilirliğini kontrol etmektir. . Bunun için yapalım :

Saf belirleyicinin ile işe gidip gelmeyecek ve Capelli'nin düzeltmesi merkeziliği sağlamak için esastır.

Genel m ve çift çiftler

Genel duruma dönelim:

keyfi için n ve m. Operatörlerin tanımı Eij bir matris biçiminde yazılabilir: , nerede dır-dir elemanlı matris ; dır-dir elemanlı matris ; dır-dir elemanlı matris .

Capelli – Cauchy – Binet kimlikleri

Genel olarak m matris E iki dikdörtgen matrisin çarpımı olarak verilir: X ve devrik D. Bu matrislerin tüm elemanları değişecek olsaydı, o zaman kişi bilir ki E sözde ile ifade edilebilir Cauchy – Binet formülü üzerinden küçükler nın-nin X ve D. Bu formülün bir analogu matris için de mevcuttur E yine düzeltmenin aynı ılımlı fiyatı için :

,

Özellikle (değişmeli duruma benzer): eğer m , sonra ; Eğer m = n yukarıdaki kimliğe dönüyoruz.

Değişmeli duruma benzer bir durumdan da bahsedelim (bkz. Küçükler için Cauchy – Binet ), kişi sadece determinantı ifade edemez E, ama aynı zamanda küçükleri X ve D:

,

Buraya K = (k1 < k2 < ... < ks), L = (l1 < l2 < ... < ls), rastgele çoklu dizinler; genellikle olduğu gibi bir alt matrisi gösterir M elementlerin oluşturduğu M kalb. Capelli düzeltmesinin şimdi içerdiğine dikkat edin s, değil n önceki formüldeki gibi. İçin unutmayın s = 1, düzeltme (s − ben) kaybolur ve sadece tanımını alırız E ürünü olarak X ve devrik D. Ayrıca jenerik için bundan bahsedelim K, L karşılık gelen küçükler tüm unsurlarla gidip gelmez Eijdolayısıyla Capelli kimliği sadece merkezi unsurlar için mevcut değildir.

Bu formülün ve önceki bölümdeki karakteristik polinomun bir sonucu olarak aşağıdakilerden bahsedelim:

nerede . Bu formül, değişmeli duruma benzer, modül sol tarafta ve t[n] onun yerine tn sağ tarafta.

İkili çiftlerle ilişki

Bu kimliklere yönelik modern ilgi, Roger Howe onları teorisinde düşünen indirgeyici ikili çiftler (Howe dualitesi olarak da bilinir). Bu fikirlerle ilk teması kurmak için operatörlere daha kesin bakalım . Bu tür operatörler polinomların derecesini korur. 1. derecenin polinomlarına bakalım: , bu dizini görüyoruz l Korundu. Temsil teorisi açısından bakıldığında, birinci dereceden polinomların temsillerin doğrudan toplamı ile tanımlanabileceği görülebilir. , İşte l-th altuzay (l = 1 ... m) tarafından kapsanıyor , ben = 1, ..., n. Bu vektör uzayına bir göz atalım:

Böyle bir bakış açısı, aralarındaki ilk simetri ipucunu verir. m ve n. Bu fikri derinleştirmek için şunları düşünün:

Bu operatörler, aynı formüllerle verilir modül yenileme aynı argümanlarla bunu çıkarabiliriz oluşturmak Lie cebirinin temsili polinomlarının vektör uzayında xij. Daha ileri gitmeden önce şu özellikten bahsedebiliriz: diferansiyel operatörler farklı operatörlerle gidip gelmek .

Lie grubu vektör uzayına etki eder doğal bir şekilde. Lie cebirinin karşılık gelen eyleminin diferansiyel operatörler tarafından verilir ve sırasıyla. Bu, bu operatörlerin değişme özelliğini açıklar.

Aşağıdaki daha derin özellikler aslında doğrudur:

  • İle gidip gelen tek diferansiyel operatörler polinomlar ve tam tersi.
  • Polinomların vektör uzayının indirgenemez temsillerinin tensör ürünlerinin doğrudan toplamına ayrıştırılması ve şu şekilde verilebilir:

Zirveler tarafından indekslenir Genç diyagramlar Dve temsiller karşılıklı olarak izomorfik değildir. Ve diyagram belirlemek ve tam tersi.

  • Özellikle büyük grubun temsili çokluk içermez, yani her indirgenemez temsil yalnızca bir kez gerçekleşir.

Güçlü benzerliği kolayca gözlemleyebilirsiniz. Schur-Weyl ikiliği.

Genellemeler

Kimlik ve genellemeleri üzerine çok çalışma yapıldı. Birkaçını saymak gerekirse, yaklaşık iki düzine matematikçi ve fizikçi konuya katkıda bulundu: R. Howe, B. Kostant[1][2] Fields madalyası A. Okounkov[3][4] A. Sokal,[5] D. Zeilberger.[6]

Tarihsel olarak ilk genellemeler şu şekilde elde edilmiş gibi görünüyor: Herbert Westren Turnbull 1948'de[7] simetrik matrisler durumu için genellemeyi bulan (bkz.[5][6] modern tedaviler için).

Diğer genellemeler birkaç modele ayrılabilir. Çoğu, Lie cebiri bakış açısına dayanmaktadır. Bu tür genellemeler Lie cebirini değiştirmekten oluşur -e basit Lie cebirleri [8] ve onların Süper[9][10] (q),[11][12] ve güncel versiyonlar.[13] Yanı sıra kimlik farklı için genelleştirilebilir indirgeyici ikili çiftler.[14][15] Ve son olarak, sadece E matrisinin determinantı değil, kalıcılığı da düşünülebilir.[16] güçlerinin ve içkinlerinin izi.[3][4][17][18] Birkaç makaleden daha bahsedelim;[19][20][21] [22] [23] [24] [25] yine de referans listesi eksik. Uzun süredir özdeşliğin yarı basit Lie cebirleri ile yakından ilişkili olduğuna inanılıyordu. Şaşırtıcı bir şekilde 2008'de kimliğin tamamen cebirsel olarak yeni bir genellemesi bulundu.[5] Herhangi bir Lie cebiriyle ilgisi olmayan S. Caracciolo, A. Sportiello, A. D. Sokal tarafından.

Simetrik matrisler için Turnbull kimliği

Düşünmek simetrik matrisler

Herbert Westren Turnbull[7] 1948'de şu kimliği keşfetti:

Makalede kombinatoryal kanıt bulunabilir,[6] gazetede başka bir kanıt ve eğlenceli genellemeler,[5] ayrıca aşağıdaki tartışmaya bakın.

Antisimetrik matrisler için Howe – Umeda – Kostant – Sahi özdeşliği

Düşünmek antisimetrik matrisler

Sonra

Manin matrisleri için Caracciolo – Sportiello – Sokal özdeşliği

İki matrisi düşünün M ve Y Aşağıdaki koşulu karşılayan bazı çağrışımsal halka üzerinden

bazı unsurlar için Qil. Veya "kelimelerle": içindeki öğeler j-nci sütun M içindeki öğelerle işe gidip gelmek k- Y'nin inci satırı j = kve bu durumda elemanların komütatörü Mik ve Ykl sadece bağlıdır ben, lama buna bağlı değil k.

Varsayalım ki M bir Manin matrisi (en basit örnek, değişme elemanlarına sahip matristir).

Sonra kare matris durumu için

Buraya Q elemanlı bir matristir Qilve diag (n − 1, n - 2, ..., 1, 0) elemanları ile köşegen matris anlamına gelir n − 1, n - 2, ..., 1, 0 çapraz olarak.

Görmek [5] önerme 1.2 'formül (1.15) sayfa 4, bizim Y onlarınB.

Açıkçası orijinal Cappeli kimliği, bu kimliğin özel durumu. Dahası, bu kimlikten, orijinal Capelli'nin kimliğinde bazı unsurların dikkate alınabileceği görülebilir.

keyfi işlevler için fij ve kimlik yine de gerçek olacak.

Mukhin-Tarasov-Varchenko kimliği ve Gaudin modeli

Beyan

Matrisleri düşünün X ve D Capelli'nin kimliğinde olduğu gibi, yani öğelerle ve pozisyonda (ij).

İzin Vermek z başka bir biçimsel değişken olmak (ile gidip gelmek x). İzin Vermek Bir ve B hangi elemanların karmaşık sayılar olduğu bazı matrisler olabilir.

Burada ilk determinant (her zaman olduğu gibi) değişmeli olmayan girişlere sahip bir matrisin sütun belirleyicisi olarak anlaşılır. Sağdaki belirleyici, tüm öğeler gidip geliyormuş gibi hesaplanır ve x ve z solda, türevler ise sağda. (Böyle bir tarife a Fitil siparişi içinde Kuantum mekaniği ).

Gaudin kuantum integrallenebilir sistemi ve Talalaev teoremi

Matris

bir Gevşek matris Gaudin kuantum entegre edilebilir spin zinciri sistemi için. D. Talalaev, Gaudin modeli için kuantum değiş tokuşu koruma yasalarının tam seti için uzun süredir var olan açık çözüm sorununu çözdü ve aşağıdaki teoremi keşfetti.

Düşünmek

Sonra hepsi için ben, j, z, w

yani Hben(z) içinde işlevler üretiyorlar z diferansiyel operatörler için x tüm işe gidip gelme. Böylece Gaudin modeli için kuantum gidip gelme koruma yasaları sağlarlar.

Kalıcı, içkin, izler - "daha yüksek Capelli kimlikleri"

Orijinal Capelli kimliği, belirleyiciler hakkında bir ifadedir. Daha sonra benzer kimlikler bulundu kalıcılar, kalıcı S.G. Williamson'ın kombinatoryal yaklaşım makalesine dayanmaktadır. [26]bu yöndeki ilk sonuçlardan biriydi.

Turnbull'un antisimetrik matrislerin kalıcıları için kimliği

Antisimetrik matrisleri düşünün X ve D elementlerle xij ve yukarıdaki HUKS kimliği durumunda olduğu gibi ilgili türevler.

Sonra

Alıntı yapalım:[6] "... Turnbull’un makalesinin sonunda kanıt olmadan belirtilmiştir". Yazarlar Turnbull'u takip ediyorlar - makalelerinin en sonunda yazıyorlar:

"Bu son kimliğin kanıtı, Turnbull’un simetrik analoğunun ispatına çok benzediğinden (hafif bir bükülme ile), okuyucu için öğretici ve keyifli bir egzersiz olarak bırakıyoruz."

Kimlik, kağıt üzerinde derinlemesine analiz edilir.[27]

Referanslar

  1. ^ Kostant, B.; Sahi, S. (1991), "Capelli Kimliği, tüp etki alanları ve genelleştirilmiş Laplace dönüşümü", Matematikteki Gelişmeler, 87: 71–92, doi:10.1016 / 0001-8708 (91) 90062-C
  2. ^ Kostant, B.; Sahi, S. (1993), "Jordan cebirleri ve Capelli kimlikleri", Buluşlar Mathematicae, 112 (1): 71–92, Bibcode:1993InMat.112..657K, doi:10.1007 / BF01232451
  3. ^ a b Okounkov, A. (1996), Kuantum Immanantları ve Daha Yüksek Capelli Kimlikleri, arXiv:q-alg / 9602028, Bibcode:1996q.alg ..... 2028O
  4. ^ a b Okounkov, A. (1996), Genç Temel, Wick Formülü ve Daha Yüksek Capelli Kimlikleri, arXiv:q-alg / 9602027, Bibcode:1996q.alg ..... 2027O
  5. ^ a b c d e Caracciolo, S .; Sportiello, A .; Sokal, A. (2008), Değişmez belirleyiciler, Cauchy – Binet formülleri ve Capelli tipi kimlikler. I. Capelli ve Turnbull kimliklerinin genelleştirmeleri, arXiv:0809.3516, Bibcode:2008arXiv0809.3516C
  6. ^ a b c d Foata, D .; Zeilberger, D. (1993), Klasik Değişmez Teoriden Capelli ve Turnbull Kimliklerinin Kombinatoryal Kanıtları, arXiv:math / 9309212, Bibcode:1993math ...... 9212F
  7. ^ a b Turnbull, Herbert Westren (1948), "Simetrik belirleyiciler ve Cayley ve Capelli operatörleri", Proc. Edinburgh Math. Soc., 8 (2): 76–86, doi:10.1017 / S0013091500024822
  8. ^ Molev, A.; Nazarov, M. (1999), "Klasik Yalan Cebirleri için Capelli Kimlikleri", Matematik. Ann., 313 (2): 315–357, arXiv:q-alg / 9712021, Bibcode:1997q.alg .... 12021M, doi:10.1007 / s002080050263
  9. ^ Molev, A. (1996), Faktöriyel süpersimetrik Schur fonksiyonları ve süper Capelli kimlikleri, arXiv:q-alg / 9606008, Bibcode:1996q.alg ..... 6008M
  10. ^ Nazarov, M. (1997), "Lie superalgebras için Capelli kimlikleri", Ann. Scient. Ec. Norm. Sup, 30 (6): 847–872, arXiv:q-alg / 9610032, Bibcode:1996q.alg .... 10032N, doi:10.1016 / S0012-9593 (97) 89941-7
  11. ^ Noumi, M .; Umeda, T .; Wakayma, M. (1994), "Capelli kimliğinin bir kuantum analoğu ve GLq (n) üzerinde temel bir diferansiyel hesaplama", Duke Matematiksel Dergisi, 76 (2): 567–594, doi:10.1215 / S0012-7094-94-07620-5
  12. ^ Noumi, M .; Umeda, T .; Wakayma, M. (1996), "İkili çiftler, küresel harmonikler ve kuantum grup teorisinde bir Capelli kimliği", Compositio Mathematica, 104 (2): 227–277
  13. ^ Mukhin, E .; Tarasov, V .; Varchenko, A. (2006), Capelli kimliğinin bir genellemesi, arXiv:math.QA/0610799
  14. ^ Itoh, M. (2004), "İndirgeyici ikili çiftler için Capelli kimlikleri", Matematikteki Gelişmeler, 194 (2): 345–397, doi:10.1016 / j.aim.2004.06.010
  15. ^ Itoh, M. (2005), "İkili çift için Capelli Kimlikleri (O M, Sp N)", Mathematische Zeitschrift, 246 (1–2): 125–154, doi:10.1007 / s00209-003-0591-2
  16. ^ Nazarov, M. (1991), "Kuantum Berezinian ve klasik Capelli kimliği", Matematiksel Fizikte Harfler, 21 (2): 123–131, Bibcode:1991LMaPh..21..123N, doi:10.1007 / BF00401646
  17. ^ Nazarov, M. (1998), "Yangians ve Capelli kimlikleri", Amer. Matematik. Soc. Çeviri, 181: 139–163, arXiv:q-alg / 9601027, Bibcode:1996q.alg ..... 1027N
  18. ^ Molev, A. (1996), Daha Yüksek Capelli Kimlikleri Üzerine Bir Yorum, arXiv:q-alg / 9603007, Bibcode:1996q.alg ..... 3007M
  19. ^ Kinoshita, K .; Wakayama, M. (2002), "Çarpık simetrik matrisler için açık Capelli özdeşlikleri", Edinburgh Matematik Derneği Bildirileri, 45 (2): 449–465, doi:10.1017 / S0013091500001176
  20. ^ Hashimoto, T. (2008), GL için işlev oluşturman- çarpık Capelli kimliğinde değişken diferansiyel operatörler, arXiv:0803.1339, Bibcode:2008arXiv0803.1339H
  21. ^ Nishiyama, K .; Wachi, A. (2008), Hermit tip simetrik çiftler için Capelli kimlikleri hakkında bir not, arXiv:0808.0607, Bibcode:2008arXiv0808.0607N
  22. ^ Umeda, Toru (2008), "Capelli kimliklerinin kanıtı üzerine", Funkcialaj Ekvacioj, 51 (1): 1–15, doi:10.1619 / fesi.51.1
  23. ^ Brini, A; Teolis, A (1993), "Capelli'nin teorisi, Koszul haritaları ve süpergebralar", PNAS, 90 (21): 10245–10249, Bibcode:1993PNAS ... 9010245B, doi:10.1073 / pnas.90.21.10245, PMC  47751, PMID  11607438
  24. ^ Koszul, J (1981), "Les algebres de Lie graduées de type sl (n, 1) et l'opérateur de A. Capelli", C. R. Acad. Sci. Paris (292): 139–141
  25. ^ Orsted, B; Zhang, G (2001), Capelli kimliği ve tüp alanları üzerinde göreceli ayrık hat demetleri serisi (PDF)
  26. ^ Williamson, S. (1981), "Simetri operatörleri, polarizasyonlar ve genelleştirilmiş bir Capelli kimliği", Doğrusal ve Çok Doğrusal Cebir, 10 (2): 93–102, doi:10.1080/03081088108817399
  27. ^ Umeda, Toru (2000), "Çarpık simetrik matrisler için Turnbull kimliği üzerine", Proc. Edinburgh Math. Soc., 43 (2): 379–393, doi:10.1017 / S0013091500020988

daha fazla okuma