Cartan-Ambrose-Hicks teoremi - Cartan–Ambrose–Hicks theorem - Wikipedia

İçinde matematik, Cartan-Ambrose-Hicks teoremi bir teoremidir Riemann geometrisi buna göre Riemann metriği tarafından yerel olarak belirlenir Riemann eğrilik tensörü veya başka bir deyişle, paralel öteleme altında eğrilik tensörünün davranışı ölçüyü belirler.

Teorem ismini almıştır Élie Cartan, Warren Ambrose ve doktora öğrencisi Noel Hicks.[1] Cartan yerel versiyonu kanıtladı. Ambrose, genel arasındaki izometrilere izin veren küresel bir versiyon olduğunu kanıtladı. Riemann manifoldları 1956'da değişen eğriliğe sahip.[2] Bu, Hicks tarafından genel manifoldlara daha da genelleştirilmiştir. afin bağlantılar onların içinde teğet demetler, 1959'da.[3]

Teoremin bir ifadesi ve kanıtı şurada bulunabilir: [4]

Giriş

İzin Vermek bağlanın, Riemann manifoldlarını tamamlayın. İzin Vermek ve izin ver

doğrusal ol izometri. Yeterince küçük için , üstel haritalar

yerel diffeomorfizmlerdir. Buraya, top ortalanmış mı yarıçap Daha sonra biri diffeomorfizmi tanımlar tarafından

Bir jeodezik ile , jeodezik ile eşler ile ,. İzin Vermek paralel taşıma olmak (tarafından tanımlanan Levi-Civita bağlantısı ), ve paralel taşıma olmak . Sonra tanımlarız

için .

Cartan teoremi

Orijinal teorem kanıtlanmış Cartan Cartan-Ambrose-Hicks teoreminin yerel versiyonudur. Şu hususları belirtmektedir tüm jeodezikler için bir (yerel) izometridir ile ve tüm , sahibiz , nerede Riemann eğrilik tensörleri .

Bunu not et genellikle bir diffeomorfizm olmak zorunda değildir, ancak yalnızca yerel olarak izometrik kapsayan harita. Ancak, global bir izometri olmalıdır eğer basitçe bağlantılıdır.

Cartan-Ambrose-Hicks teoremi

Teoremi: Riemann eğrilik tensörleri için ve tüm kırık jeodezikler (kırık bir jeodezik, parçalı jeodezik bir eğridir) ile ,

hepsi için .

Sonra, iki kırık jeodezik, aynı uç noktaya, ardından karşılık gelen kırık jeodeziklere ( ) içinde aynı zamanda bitiş noktasına sahiptir. Yani bir harita var

kırık jeodezik uç noktaları haritalayarak karşılık gelen jeodezik uç noktalara .

Harita yerel olarak izometrik bir kaplama haritasıdır.

Eğer aynı zamanda basitçe bağlanırsa bir izometridir.

Yerel olarak simetrik uzaylar

Bir Riemann manifoldu denir yerel olarak simetrik Riemann eğrilik tensörü paralel taşıma altında değişmez ise:

Basit bir şekilde bağlanmış bir Riemann manifoldu, eğer bir simetrik uzay.

Cartan-Ambrose-Hicks teoreminden, elimizde:

Teoremi: İzin Vermek bağlanabilir, tamamlanabilir, yerel olarak simetrik Riemann manifoldları ve basitçe bağlanın. Riemann eğrilik tensörleri . İzin Vermek ve

ile doğrusal bir izometri olmak . Sonra yerel olarak izometrik bir kaplama haritası var

ile ve .

Sonuç: Herhangi bir tam yerel olarak simetrik alan formdadır simetrik bir alan için ve bir ayrık alt grup izometrilerinin .

Sınıflandırılması uzay formları

Cartan – Ambrose – Hicks teoreminin bir uygulaması olarak, herhangi bir basit bağlı, sabit Riemann manifoldu kesit eğriliği sırasıyla izometriktir nküre , nÖklid alanı , ve n- hiperbolik boşluk .

Referanslar

  1. ^ Matematik Şecere Projesi, Noel Justin Hicks girişi
  2. ^ Ambrose, W. (1956). "Riemann Eğriliğinin Paralel Çevirisi". Matematik Yıllıkları. JSTOR. 64 (2): 337. doi:10.2307/1969978. ISSN  0003-486X.
  3. ^ Hicks, Noel (1959). "Afin bağlantılar üzerine bir teorem". Illinois Matematik Dergisi. 3 (2): 242–254. doi:10.1215 / ijm / 1255455125. ISSN  0019-2082.
  4. ^ Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008). "Bölüm 1, Kısım 12, Cartan – Ambrose – Hicks Teoremi". Riemann geometrisinde karşılaştırma teoremleri. Providence, R.I: AMS Chelsea Pub. ISBN  0-8218-4417-2. OCLC  185095562.