Katalanlar sabiti - Catalans constant - Wikipedia

İçinde matematik, Katalan sabiti G, görünen kombinatorik, tarafından tanımlanır

nerede β ... Dirichlet beta işlevi. Sayısal değeri[1] yaklaşık (dizi A006752 içinde OEIS )

G = 0.915965594177219015054603514932384110774
Soru, Web Fundamentals.svgMatematikte çözülmemiş problem:
Katalanca sürekli mantıksız mı? Eğer öyleyse, aşkın mı?
(matematikte daha fazla çözülmemiş problem)

Bilinmemektedir G dır-dir irrasyonel yalnız bırak transandantal.[2]

Katalan sabiti adını almıştır Eugène Charles Katalanca.

Benzer ama görünüşe göre daha karmaşık diziler

tam olarak değerlendirilebilir ve eşittir π3/32.

İntegral kimlikler

İçeren bazı kimlikler belirli integraller Dahil etmek

burada son üç formül Malmsten'in integralleri ile ilişkilidir.[3]

Eğer K (k) ... birinci türden tam eliptik integral, eliptik modülün bir fonksiyonu olarak k, sonra

İle gama işlevi Γ (x + 1) = x!

İntegral

bilinen özel bir işlevdir, adı ters tanjant integral tarafından kapsamlı bir şekilde çalışıldı Srinivasa Ramanujan.

Kullanımlar

G görünür kombinatorik yanı sıra ikincinin değerlerinde poligamma işlevi, aynı zamanda trigamma işlevi, kesirli argümanlarda:

Simon Plouffe trigamma işlevi arasında sonsuz bir kimlik koleksiyonu verir, π2 ve Katalan sabiti; bunlar bir grafikteki yollar olarak ifade edilebilir.

İçinde düşük boyutlu topoloji Katalan sabiti, ideal bir hiperbolik hacminin rasyonel bir katıdır. sekiz yüzlü ve bu nedenle hiperbolik hacim tamamlayıcısının Whitehead bağlantısı.[4]

Ayrıca, hiperbolik sekant dağılımı.

Diğer özel işlevlerle ilişkisi

Katalan sabiti, Clausen işlevi, ters tanjant integral, ters sinüs integrali, Barnes G-işlev yukarıda belirtilen fonksiyonlar açısından integraller ve seriler gibi.

Belirli bir örnek olarak, önce şunu ifade ederek ters tanjant integral kapalı haliyle - Clausen işlevleri açısından - ve daha sonra bu Clausen işlevlerini Barnes G-fonksiyon, aşağıdaki ifade elde edilir (bkz. Clausen işlevi daha fazlası için):

.

Biri tanımlarsa Lerch aşkın Φ (z,s,α) (ilişkili Lerch zeta işlevi ) tarafından

sonra

Hızla yakınsayan seriler

Aşağıdaki iki formül hızla yakınsayan seriler içerir ve bu nedenle sayısal hesaplama için uygundur:

ve

Bu tür dizilerin teorik temelleri, ilk formül için Broadhurst tarafından verilmiştir.[5] ve ikinci formül için Ramanujan.[6] Katalan sabitinin hızlı değerlendirilmesi için algoritmalar E. Karatsuba tarafından oluşturulmuştur.[7][8]

Bilinen rakamlar

Katalan sabitinin bilinen basamaklarının sayısı G son on yılda önemli ölçüde artmıştır. Bunun nedeni hem bilgisayarların performansının artması hem de algoritmik iyileştirmelerdir.[9]

Katalan sabitinin bilinen ondalık basamaklarının sayısı G
TarihOndalık basamakTarafından gerçekleştirilen hesaplama
183216Thomas Clausen
185819Carl Johan Danielsson Tepesi
186414Eugène Charles Katalanca
187720James W. L. Glaisher
191332James W. L. Glaisher
199020000Greg J. Ücreti
199650000Greg J. Ücreti
14 Ağustos 1996100000Greg J. Ücreti ve Simon Plouffe
29 Eylül 1996300000Thomas Papanikolaou
19961500000Thomas Papanikolaou
19973379957Patrick Demichel
4 Ocak 199812500000Xavier Gourdon
2001100000500Xavier Gourdon ve Pascal Sebah
2002201000000Xavier Gourdon ve Pascal Sebah
Ekim 20065000000000Shigeru Kondo ve Steve Pagliarulo[10]
Ağustos 200810000000000Shigeru Kondo ve Steve Pagliarulo[11]
31 Ocak 200915510000000Alexander J. Yee ve Raymond Chan[12]
16 Nisan 200931026000000Alexander J. Yee ve Raymond Chan[12]
7 Haziran 2015200000001100Robert J. Setti[13]
Nisan 12, 2016250000000000Ron Watkins[13]
16 Şubat 2019300000000000Tizian Hanselmann[13]
29 Mart 2019500000000000Mike A ve Ian Cutress[13]
16 Temmuz 2019600000000100Seungmin Kim[14][15]

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Papanikolaou, Thomas (Mart 1997). "Katalan Sabiti 1.500.000 Yere". Gutenberg.org.
  2. ^ Nesterenko, Yu. V. (Ocak 2016), "Katalan sabiti üzerine", Steklov Matematik Enstitüsü Bildirileri, 292 (1): 153–170, doi:10.1134 / s0081543816010107, S2CID  124903059.
  3. ^ Blagouchine, Iaroslav (2014). "Malmsten'in integrallerinin yeniden keşfi, kontur entegrasyon yöntemleriyle değerlendirilmesi ve bazı ilgili sonuçlar" (PDF). Ramanujan Dergisi. 35: 21–110. doi:10.1007 / s11139-013-9528-5. S2CID  120943474. Arşivlenen orijinal (PDF) 2018-10-02 tarihinde. Alındı 2018-10-01.
  4. ^ Agol, Ian (2010), "Minimum hacim yönlendirilebilir hiperbolik 2 uçlu 3-manifoldlar", American Mathematical Society'nin Bildirileri, 138 (10): 3723–3732, arXiv:0804.0043, doi:10.1090 / S0002-9939-10-10364-5, BAY  2661571, S2CID  2016662.
  5. ^ Broadhurst, D. J. (1998). "Polilogaritmik merdivenler, hipergeometrik seriler ve on milyonuncu basamağı ζ(3) ve ζ(5)". arXiv:math.CA/9803067.
  6. ^ Berndt, B.C. (1985). Ramanujan Not Defteri, Bölüm I. Springer Verlag. s. 289.[ISBN eksik ]
  7. ^ Karatsuba, E.A. (1991). "Aşkın işlevlerin hızlı değerlendirilmesi". Probl. Inf. Transm. 27 (4): 339–360. BAY  1156939. Zbl  0754.65021.
  8. ^ Karatsuba, E.A. (2001). "Matematiksel fiziğin bazı özel integrallerinin hızlı hesaplanması". Krämer, W .; von Gudenberg, J. W. (editörler). Bilimsel Hesaplama, Doğrulanmış Sayısal, Aralık Yöntemleri. pp.29 –41.[ISBN eksik ]
  9. ^ Gourdon, X .; Sebah, P. "Sabitler ve Hesaplama Kayıtları".
  10. ^ "Shigeru Kondo'nun web sitesi". Arşivlenen orijinal 2008-02-11 tarihinde. Alındı 2008-01-31.
  11. ^ Sabitler ve Hesaplama Kayıtları
  12. ^ a b Büyük Hesaplamalar
  13. ^ a b c d Katalan'ın YMP kullanarak sabit kayıtları
  14. ^ Katalan'ın YMP kullanarak sabit kayıtları
  15. ^ Seungmin Kim'den Katalan'ın sabit dünya rekoru

Dış bağlantılar