Cauchys yakınsama testi - Cauchys convergence test - Wikipedia

Cauchy yakınsama testi test etmek için kullanılan bir yöntemdir sonsuz seriler için yakınsama. Serideki sınırlayıcı terim toplamlarına dayanır. Bu yakınsama kriterinin adı Augustin-Louis Cauchy ders kitabında kim yayınladı Cours d'Analyse 1821.^[1]

Beyan

Bir dizi

${ displaystyle toplam _ {i = 0} ^ { infty} a_ {i}}$ yakınsak, ancak ve ancak her biri için ${ displaystyle varepsilon> 0}$ var doğal sayı N öyle ki

${ displaystyle | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + cdots + a_ {n + p} | < varepsilon}$

herkes için geçerli n > N ve tüm p ≥ 1.^[2]

Açıklama

(a) Bir Cauchy'nin konusu sıra ${ displaystyle (x_ {n}),}$ mavi olarak gösterilir ${ displaystyle x_ {n}}$ e karşı ${ displaystyle n}$ Sırayı içeren alan tamamlanmışsa, bu dizinin "nihai hedefi" (yani sınır) mevcuttur.

(b) Cauchy olmayan bir dizi. elementler sekans ilerledikçe, sekansın hiçbiri birbirine keyfi olarak yaklaşamaz.

Test işe yarıyor çünkü alan R gerçek sayılar ve boşluk C karmaşık sayıların (mutlak değer tarafından verilen metrik) her ikisi de tamamlayınız. Sonra dizi yakınsak ancak ve ancak kısmi toplam

${ displaystyle s_ {n}: = toplam _ {i = 0} ^ {n} a_ {i}}$

bir Cauchy dizisi.

Bir sıra gerçek veya karmaşık sayıların ${ displaystyle s_ {n}}$ bir Cauchy dizisidir ancak ve ancak ${ displaystyle s_ {n}}$ yakınlaşır (bir noktaya kadar R veya C).^[3] Resmi tanım, her biri için ${ displaystyle varepsilon> 0}$ bir numara var Nöyle ki herkes için n, m > N tutar

${ displaystyle | s_ {m} -s_ {n} | < varepsilon.}$

Varsayacağız m > n ve böylece ayarla p = m − n.

${ displaystyle | s_ {n + p} -s_ {n} | = | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + cdots + a_ {n + p} | < varepsilon.}$

Bir dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek, söz konusu dizinin sınırını bilmemiz gerekmediğinden yararlıdır. Cauchy'nin yakınsama testi yalnızca tam metrik uzaylar (gibi R ve C), tüm Cauchy dizilerinin birleştiği boşluklardır. Dizideki sonlu bir ilerlemeden sonra elemanlarının birbirine keyfi olarak yakın hale geldiğini göstermemiz yeterlidir. Cauchy dizisinin bilgisayar uygulamaları vardır; yinelemeli süreç, bu tür dizileri oluşturmak için ayarlanabilir.

Kanıt

Sonsuz serinin kısmi toplamlarının dizisinin yakınsamasıyla ilgili sonuçları kullanabilir ve bunları sonsuz dizinin yakınsamasına uygulayabiliriz. Cauchy Criterion testi böyle bir uygulamadır. ${ displaystyle a_ {k}}$yakınsama ile ilgili yukarıdaki sonuçlar, sonsuz seriler

${ displaystyle toplamı _ {k = 1} ^ { infty} a_ {k}}$

yakınsak ancak ve ancak her biri için ${ displaystyle varepsilon> 0}$ bir numara var N, öyle ki

m ≥ n ≥ N demek

${ displaystyle | s_ {m} -s_ {n} | = sol | toplamı _ {k = n + 1} ^ {m} a_ {k} sağ | < varepsilon}$^[4]

Muhtemelen [bu teoremin] en ilginç kısmı, Cauchy koşulunun sınırın varlığını ima etmesidir: bu aslında gerçek çizginin tamlığı ile ilgilidir. Cauchy kriteri, tümü olabilen çeşitli durumlar için genelleştirilebilir gevşek bir şekilde "kaybolan bir salınım koşulu yakınsamaya eşdeğerdir" şeklinde özetlenir.^[5]

Bu makale, yakınsama için Cauchy kriterinden materyal içermektedir. PlanetMath altında lisanslı olan Creative Commons Atıf / Benzer Paylaşım Lisansı.

Referanslar