Cauchy sorunu - Cauchy problem

Bir Cauchy sorunu matematikte a'nın çözümünü ister kısmi diferansiyel denklem bir üzerinde verilen belirli koşulları sağlayan hiper yüzey etki alanında.^[1] Bir Cauchy problemi bir başlangıç ​​değeri problemi veya a sınır değer problemi (bu durum için ayrıca bakınız Cauchy sınır koşulu ). Adını almıştır Augustin Louis Cauchy.

Resmi açıklama

Kısmi diferansiyel denklem için R^{n + 1} ve bir pürüzsüz manifold S ⊂ R^{n + 1} boyut n (S denir Cauchy yüzeyi ), Cauchy problemi bilinmeyen işlevleri bulmaktan ibarettir ${ displaystyle u_ {1}, noktalar, u_ {N}}$ bağımsız değişkenlere göre diferansiyel denklemin ${ displaystyle t, x_ {1}, noktalar, x_ {n}}$ bu tatmin edici^[2]

${ displaystyle { begin {align} & { frac { kısmi ^ {n_ {i}} u_ {i}} { kısmi t ^ {n_ {i}}}} = F_ {i} sol (t , x_ {1}, dots, x_ {n}, u_ {1}, dots, u_ {N}, dots, { frac { kısmi ^ {k} u_ {j}} { kısmi t ^ {k_ {0}} kısmi x_ {1} ^ {k_ {1}} dots kısmi x_ {n} ^ {k_ {n}}}, dots right) & { text {için }} i, j = 1,2, dots, N; , k_ {0} + k_ {1} + dots + k_ {n} = k leq n_ {j}; , k_ {0} < n_ {j} end {hizalı}}}$

bir değer için koşula tabi ${ displaystyle t = t_ {0}}$,

${ displaystyle { frac { kısmi ^ {k} u_ {i}} { kısmi t ^ {k}}} = phi _ {i} ^ {(k)} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) quad { text {for}} k = 0,1,2, dots, n_ {i} -1}$

nerede ${ displaystyle phi _ {i} ^ {(k)} (x_ {1}, noktalar, x_ {n})}$ yüzeyde tanımlanan fonksiyonlar verilmiştir ${ displaystyle S}$ (topluca olarak bilinir Cauchy verileri problemin). Sıfır derecesinin türevi, fonksiyonun kendisinin belirtildiği anlamına gelir.

Cauchy-Kowalevski teoremi

Cauchy-Kowalevski teoremi şunu belirtir Tüm fonksiyonlar ${ displaystyle F_ {i}}$ vardır analitik bazı mahallelerde ${ displaystyle (t ^ {0}, x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, dots, phi _ {j, k_ {0}, k_ {1}, noktalar, k_ {n}} ^ {0}, noktalar)}$ve eğer tüm fonksiyonlar ${ displaystyle phi _ {j} ^ {(k)}}$ bazı mahallelerde analitiktirler ${ displaystyle (x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, noktalar, x_ {n} ^ {0})}$, o zaman Cauchy probleminin noktanın bazı mahallelerinde benzersiz bir analitik çözümü ${ displaystyle (t ^ {0}, x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0}, dots, x_ {n} ^ {0})}$.

Ayrıca bakınız

• Cauchy sınır koşulu

Referanslar

Dış bağlantılar

• Cauchy sorunu -de MathWorld.