Klique kapak - Clique cover

İçinde grafik teorisi, bir klik örtüsü veya kliklere bölünme verilen yönsüz grafik bir bölüm of grafiğin köşeleri içine klikler, her iki köşenin bitişik olduğu köşelerin alt kümeleri. Bir minimum klik kapsamı mümkün olduğunca az sayıda klik kullanan bir klik örtüsüdür. En az miktar k için bir klik örtüsünün var olduğu klik kapak numarası verilen grafiğin.

Renklendirmeyle ilişkisi

Bir grafiğin klik örtüsü G olarak görülebilir grafik renklendirme of tamamlayıcı grafik nın-nin G, aynı köşe kümesindeki, bitişik olmayan köşeleri arasında kenarlara sahip grafik G. Klik kapakları gibi, grafik renklendirmeleri de tepe noktaları kümesinin, ancak bitişik olmayan alt kümelerin (bağımsız kümeler ) klikler yerine. Köşelerin bir alt kümesi, G ancak ve ancak tamamlayıcısında bağımsız bir küme ise Gyani köşelerinin bir bölümü G bir klik örtüsü G eğer ve ancak tamamlayıcısının bir rengi ise G.

Hesaplama karmaşıklığı

klik örtüsü sorunu içinde hesaplama karmaşıklığı teorisi ... algoritmik asgari bir klik teminatı bulma sorunu veya ( karar problemi ) Klik sayısı belirli bir eşiğin altında olan bir klik örtüsü bulmak. Minimum klik teminatı bulmak NP-zor, ve Onun karar versiyonu dır-dir NP tamamlandı. Şunlardan biriydi Richard Karp'ın orijinal 21 problemi 1972 tarihli "Kombinatoryal Problemler Arasında İndirgenebilirlik" adlı makalesinde NP-complete gösterilmiştir.[1]

Klik örtüler ile renklendirme arasındaki eşdeğerlik bir indirgeme grafik renklendirmenin bilinen NP-tamlığından klik örtme probleminin NP-tamlığını kanıtlamak için kullanılabilir.[2]

Özel grafik sınıflarında

Mükemmel grafikler her biri için grafik olarak tanımlanır indüklenmiş alt grafik, kromatik sayı (bir renkteki minimum renk sayısı), renklendirmenin boyutuna eşittir. maksimum klik.Göre zayıf mükemmel grafik teoremi mükemmel bir grafiğin tamamlayıcısı da mükemmeldir. Bu nedenle, mükemmel grafikler aynı zamanda, indüklenen her alt grafik için klik kapak numarasının boyutunun boyutuna eşit olduğu grafiklerdir. maksimum bağımsız küme. Klik kapak numarasını mükemmel grafiklerde hesaplamak mümkündür. polinom zamanı.

Polinom zamanında minimum klik örtüsünün bulunabildiği diğer bir grafik sınıfı, üçgen içermeyen grafikler. Bu grafiklerde, her klik örtüsü bir eşleştirme (bitişik köşelerin ayrık çiftleri kümesi) ile birlikte singleton setleri kalan eşleşmeyen köşeler için. Kliklerin sayısı, köşe sayısı eksi eşleşen çiftlerin sayısına eşittir. Bu nedenle, üçgensiz grafiklerde, minimum klik kapsamı, bir algoritma kullanılarak bulunabilir. maksimum eşleşme.

Kliklere optimum bölümleme, sınırlı grafikler için polinom zamanında da bulunabilir. klik genişliği.[3] Bunlar, diğer grafiklerin yanı sıra, kograflar ve mesafe kalıtsal grafikler, her ikisi de mükemmel grafik sınıflarıdır.

Yaklaşıklık

Aynısı yaklaşım sertliği Grafik renklendirmesi için bilinen sonuçlar aynı zamanda klik örtüsü için de geçerlidir. Bu nedenle, sürece P = NP hayır olamaz polinom zamanı yaklaşım algoritması herhangi ε > 0 bu, üzerinde n-vertex grafikleri, yaklaşım oranı daha iyi n1 − ε.[4]

Her köşenin sahip olduğu grafiklerde en fazla üç komşu, klik kapağı NP-sert kalır ve sabit bir ρ > 1 Öyle ki yakınlaşması NP-zordur yaklaşım oranı ρ ya da daha iyisi. Yine de polinom zamanı 5/4 oranında bir yaklaşım bulmak mümkündür. Yani, bu yaklaşım algoritması, klik sayısı optimumun 5/4 katından fazla olmayan bir klik örtüsü bulur.[5]

İlgili sorunlar

İlgili klik kenar örtüsü sorun, köşelerden ziyade bir grafiğin kenarlarının klikler tarafından indüklenen alt grafiklere bölünmesiyle ilgilidir. Aynı zamanda NP-tamamlandı.[6]

Referanslar

  1. ^ Karp, Richard (1972), "Kombinatoryal Problemler Arasında Azaltılabilirlik" (PDF), Miller, R. E .; Thatcher, J.W. (editörler), Bilgisayar Hesaplamalarının Karmaşıklığı Üzerine Bir Sempozyum Bildirisi, Plenum Press, s. 85–103, alındı 2008-08-29
  2. ^ Garey, Michael R.; Johnson, David S. (1979), Bilgisayarlar ve İnatçılık: NP-Tamlık Teorisine Bir Kılavuz, W.H. Özgür adam, ISBN  0-7167-1045-5 A1.2: GT19, s. 194.
  3. ^ Espelage, Wolfgang; Gurski, Frank; Wanke, Egon (2001), "Çok terimli zamanda klik-genişlik sınırlı grafiklerde NP-zor grafik problemleri nasıl çözülür", Bilgisayar Bilimlerinde Grafik-Teorik Kavramlar Uluslararası Çalıştayı (WG 2001), Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, 2204, Springer, s. 117–128, doi:10.1007/3-540-45477-2_12.
  4. ^ Zuckerman, D. (2007), "Doğrusal derece çıkarıcılar ve Max Clique ve Chromatic Number'ın yakınlaşmazlığı" (PDF), Hesaplama Teorisi, 3: 103–128, doi:10.4086 / toc.2007.v003a006.
  5. ^ Cerioli, M.R .; Faria, L .; Ferreira, T.O .; Martinhon, C.A.J .; Protti, F .; Reed, B. (Haziran 2008), "Kübik grafikler için kliklere bölme: Düzlemsel durum, karmaşıklık ve yaklaşım", Ayrık Uygulamalı Matematik, 156 (12): 2270–2278, doi:10.1016 / j.dam.2007.10.015.
  6. ^ Garey ve Johnson (1979), Sorun GT59.