Kapalı kategori - Closed category

İçinde kategori teorisi bir dalı matematik, bir kapalı kategori özel bir tür kategori.

İçinde yerel olarak küçük kategori, harici ev (x, y) bir çift nesneyi bir Ayarlamak nın-nin morfizmler. Yani kümeler kategorisi, bu kategorinin kendisinin bir nesnesidir. Aynı şekilde, kapalı bir kategoride, bir nesneden diğerine morfizm (nesnesi) kategorinin içinde yatıyormuş gibi görülebilir. Bu iç ev [x, y].

Her kapalı kategoride bir unutkan görevli özellikle dahili hom'u harici hom'a götüren kümeler kategorisine.

Tanım

Bir kapalı kategori olarak tanımlanabilir kategori ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ sözde dahili Hom functor

${ displaystyle sol [- - sağ]: { mathcal {C}} ^ {op} times { mathcal {C}} - { mathcal {C}}}$ ,

sol ile Yoneda okları doğal içinde ${ displaystyle B}$ ve ${ displaystyle C}$ ve doğaüstü içinde ${ displaystyle A}$

${ Displaystyle L: sol [B C sağ] sol [ sol [A B sağ] sol [A C sağ] sağ]}$

ve sabit bir nesneyle ${ displaystyle I}$ nın-nin ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ öyle ki bir doğal izomorfizm

${ displaystyle i_ {A}: A cong sol [I A sağ]}$

ve bir doğal dönüşüm

${ displaystyle j_ {A}: Ben sola [A A sağa]. ,}$

Örnekler

• Kartezyen kapalı kategoriler kapalı kategorilerdir. Özellikle herhangi biri topolar kapalı. Kanonik örnek, kümeler kategorisi.
• Kompakt kapalı kategoriler kapalı kategorilerdir. Kanonik örnek, kategori FdVect sonlu boyutlu vektör uzayları nesneler olarak ve doğrusal haritalar morfizmler olarak.
• Daha genel olarak herhangi biri monoidal kapalı kategori kapalı bir kategoridir. Bu durumda nesne ${ displaystyle I}$ monoidal birimdir.

Referanslar

• Eilenberg, S. & Kelly, G.M. Kapalı kategoriler Kategorik Cebir Konferansı Bildirileri. (La Jolla, 1965) Springer. 1966. s. 421–562
• Kapalı kategori içinde nLab