Tamamlanmış kafes - Complemented lattice

Hasse diyagramı tamamlanmış bir kafesin
Bir nokta ve bir çizgi Fano uçağı tamamlayıcıdır, ne zaman

İçinde matematiksel disiplin sipariş teorisi, bir tamamlanmış kafes sınırlıdır kafes (ile en az eleman 0 ve en büyük unsur 1), içinde her element a var Tamamlayıcıyani bir öğe b doyurucu a ∨ b = 1 ve a ∧ b = 0. Gıdaların benzersiz olması gerekmez.

Bir nispeten tamamlanmış kafes öyle bir kafes ki her Aralık [c, d], kendi başına sınırlı bir kafes olarak görülen, tamamlanmış bir kafestir.

Bir orto tamamlama tamamlanmış bir kafes üzerinde bir evrim hangisi sipariş tersine çevirme ve her bir öğeyi bir tamamlayıcıyla eşler. Zayıf bir formunu tatmin eden orto-tamamlanmış bir kafes modüler hukuk denir ortomodüler kafes.

İçinde dağıtım kafesleri tamamlayıcılar benzersizdir. Her tamamlanmış dağıtım kafesi benzersiz bir orto tamamlamaya sahiptir ve aslında bir Boole cebri.

Tanım ve temel özellikler

Bir tamamlanmış kafes sınırlı bir kafestir ( en az eleman 0 ve en büyük unsur 1), içinde her element a var Tamamlayıcıyani bir öğe b öyle ki

a ∨ b = 1 vea ∧ b = 0.

Genel olarak, bir eleman birden fazla tamamlayıcıya sahip olabilir. Ancak, bir (sınırlı) dağıtıcı kafes her elemanın en fazla bir tamamlayıcısı olacaktır.[1] Her elemanın tam olarak bir tamamlayıcıya sahip olduğu bir kafese a benzersiz bir şekilde tamamlanmış kafes[2]

Her aralığın (bir alt örgü olarak görüldüğü gibi) tamamlandığı özelliğe sahip bir kafes, nispeten tamamlanmış kafes. Başka bir deyişle, nispeten tamamlanmış bir kafes, her eleman için özelliğiyle karakterize edilir. a aralıklarla [c, d] bir unsur var b öyle ki

a ∨ b = d vea ∧ b = c.

Böyle bir unsur b tamamlayıcısı denir a aralığa göre.

Dağıtıcı bir kafes, ancak ve ancak sınırlı ve nispeten tamamlanmışsa tamamlanır.[3][4] Bir vektör uzayının alt uzaylarının kafesi, genel olarak dağınık olmayan tamamlanmış bir kafesin bir örneğini sağlar.

Orto tamamlama

Ayrıca bakınız: De Morgan cebiri

Bir orto tamamlama sınırlı bir kafes üzerinde her bir öğeyi eşleyen bir işlev a bir "ortocomplement" e a⊥ aşağıdaki aksiyomlar karşılanacak şekilde:[5]

Tamamlayıcı hukuk
a⊥ ∨ a = 1 ve a⊥ ∧ a = 0.
İnvolüsyon kanunu
a⊥⊥ = a.
Sipariş tersine çevirme
Eğer a ≤ b sonra b⊥ ≤ a⊥.

Bir ortocomplemented kafes veya ortholattice bir orto tamamlama ile donatılmış sınırlı bir kafestir. Bir alt uzay kafesi iç çarpım alanı, ve ortogonal tamamlayıcı işlem, genel olarak dağıtıcı olmayan orto-tamamlanmış bir kafesin bir örneğini sağlar.[6]

  • Bazı tamamlanmış kafesler

  • Pentagon kafes içinde N5sağ taraftaki düğümün iki tamamlayıcısı vardır.

  • Elmas kafes M3 hiçbir orto tamamlama kabul etmemektedir.

  • Kafes M4 3 orto tamamlama kabul ediyor.

  • Altıgen kafes benzersiz bir orto tamamlamayı kabul eder, ancak benzersiz bir şekilde tamamlanmaz.

Boole cebirleri sırayla tamamlanmış kafeslerin (ekstra yapıya sahip) özel bir durumu olan orto-tamamlanmış kafeslerin özel bir durumudur. Ortholattices en sık kullanılan kuantum mantığı, nerede kapalı alt uzaylar bir ayrılabilir Hilbert uzayı kuantum önermelerini temsil eder ve orto-tamamlanmış bir kafes gibi davranır.

Boole cebirleri gibi orto-tamamlanmış kafesler, de Morgan yasaları:

  • (a ∨ b)⊥ = a⊥ ∧ b⊥
  • (a ∧ b)⊥ = a⊥ ∨ b⊥.

Ortomodüler kafesler

Kafes denir modüler eğer tüm unsurlar için a, b ve c içerme

Eğer a ≤ c, sonra a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c

tutar. Bu, dağıtımdan daha zayıftır; Örneğin. yukarıda gösterilen kafes M3 modülerdir, ancak dağıtıcı değildir. Kuantum mantığındaki uygulamalar için gerekli olan orto-tamamlanmış kafesler için bu koşulun doğal olarak daha da zayıflatılması, yalnızca özel durumda gerektirmesidir. b = a⊥. Bir ortomodüler kafes bu nedenle orto-tamamlanmış bir kafes olarak tanımlanır, öyle ki herhangi iki eleman için çıkarım

Eğer a ≤ c, sonra a ∨ (a⊥ ∧ c) = c

tutar.

Bu formdaki kafesler, çalışma için çok önemlidir. kuantum mantığı, çünkü bunlar aksiyomlaştırmanın parçası olduklarından Hilbert uzayı formülasyon nın-nin Kuantum mekaniği. Garrett Birkhoff ve John von Neumann kuantum mantığındaki önerme hesabının, "set çarpımlarına, doğrusal toplamlara ve ortogonal tamamlayıcılara göre [bir Hilbert uzayının] doğrusal alt uzaylarının hesabından resmi olarak ayırt edilemez" olduğu gözlemlenmiştir. ve, veya ve değil Boolean kafeslerde. Bu açıklama, ortomodüler bir kafes oluşturan bir Hilbert uzayının kapalı alt uzaylarına olan ilgiyi artırdı.[7]

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Grätzer (1971), Lemma I.6.1, s. 47. Rutherford (1965), Teorem 9.3 s. 25.
  2. ^ Stern, Manfred (1999), Yarı-modüler Kafesler: Teori ve Uygulamalar, Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları, Cambridge University Press, s. 29, ISBN  9780521461054.
  3. ^ Grätzer (1971), Lemma I.6.2, s. 48. Bu sonuç daha genel olarak modüler kafesler için geçerlidir, bkz. Alıştırma 4, s. 50.
  4. ^ Birkhoff (1961), Sonuç IX.1, s. 134
  5. ^ Stern (1999), s. 11.
  6. ^ Unapologetic Matematikçi: Ortogonal Tamamlayıcılar ve Alt Uzayların Kafesi.
  7. ^ Ranganathan Padmanabhan; Sergiu Rudeanu (2008). Kafesler ve boole cebirleri için aksiyomlar. World Scientific. s. 128. ISBN  978-981-283-454-6.

Referanslar

  • Birkhoff, Garrett (1961). Kafes Teorisi. Amerikan Matematik Derneği.
  • Grätzer, George (1971). Kafes Teorisi: İlk Kavramlar ve Dağıtıcı Kafesler. W. H. Freeman ve Şirketi. ISBN  978-0-7167-0442-3.
  • Grätzer, George (1978). Genel Kafes Teorisi. Basel, İsviçre: Birkhäuser. ISBN  978-0-12-295750-5.
  • Rutherford, Daniel Edwin (1965). Kafes Teorisine Giriş. Oliver ve Boyd.

Dış bağlantılar

Cebirsel yapılar