Sınırlandırılmış en küçük kareler - Constrained least squares - Wikipedia

İçinde kısıtlanmış en küçük kareler Biri çözer doğrusal en küçük kareler çözüm üzerinde ek bir kısıtlama ile sorun.^[1] Yani, kısıtlanmamış denklem ${ displaystyle mathbf {X} { boldsymbol { beta}} = mathbf {y}}$ Mümkün olduğunca yakın (en küçük kareler anlamında) uydurulmalı ve aynı zamanda ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ korunur.

Bu tür problemleri verimli bir şekilde çözmek için genellikle özel amaçlı algoritmalar vardır. Bazı kısıtlama örnekleri aşağıda verilmiştir:

Eşitlik kısıtlı en küçük kareler: öğeleri ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ tam olarak tatmin etmeli ${ displaystyle mathbf {L} { boldsymbol { beta}} = mathbf {d}}$ (görmek Sıradan en küçük kareler ).
Düzenlenmiş en küçük kareler: öğeleri ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ tatmin etmeli ${ displaystyle | mathbf {L} { boldsymbol { beta}} - mathbf {y} | leq alpha}$ (seçme ${ displaystyle alpha}$ gürültü standart sapması ile orantılı olarak y aşırı oturmayı önler).
Negatif olmayan en küçük kareler (NNLS): Vektör ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ tatmin etmeli vektör eşitsizliği ${ displaystyle { boldsymbol { beta}} geq { boldsymbol {0}}}$ bileşen olarak tanımlanır — yani, her bileşen pozitif veya sıfır olmalıdır.
Kutu kısıtlamalı en küçük kareler: Vektör ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ tatmin etmeli vektör eşitsizlikleri ${ displaystyle { boldsymbol {b}} _ { ell} leq { boldsymbol { beta}} leq { boldsymbol {b}} _ {u}}$ , her biri bileşen olarak tanımlanmıştır.
Tamsayı kısıtlamalı en küçük kareler: tüm öğeleri ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ olmalıdır tamsayılar (onun yerine gerçek sayılar ).
Faz kısıtlamalı en küçük kareler: tüm öğeleri ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ Hepsi aynı karmaşık sayıdaki birim modül ile çarpılan gerçek sayılar olmalıdır.

Kısıtlama sadece bazı değişkenlere uygulandığında, karışık problem şu şekilde çözülebilir: ayrılabilir en küçük kareler izin vererek ${ displaystyle mathbf {X} = [ mathbf {X_ {1}} mathbf {X_ {2}}]}$ ve ${ displaystyle mathbf { beta} ^ { rm {T}} = [ mathbf { beta _ {1}} ^ { rm {T}} mathbf { beta _ {2}} ^ { rm {T}}]}$ kısıtlanmamış (1) ve kısıtlı (2) bileşenleri temsil eder. Daha sonra en küçük kareler çözümünü yerine koyarak ${ displaystyle mathbf { beta _ {1}}}$ yani

{ displaystyle { hat { boldsymbol { beta}}} _ {1} = mathbf {X} _ {1} ^ {+} ( mathbf {y} - mathbf {X} _ {2} { boldsymbol { beta}} _ {2})}

(nerede ⁺ gösterir Moore – Penrose sözde ters ) orijinal ifadeye geri dönün (bazı yeniden düzenlemeleri takiben), tamamen kısıtlanmış bir problem olarak çözülebilecek bir denklem verir. ${ displaystyle mathbf { beta} _ {2}}$ .

{ displaystyle mathbf {P} mathbf {X} _ {2} { boldsymbol { beta}} _ {2} = mathbf {P} mathbf {y},}

nerede ${ displaystyle mathbf {P}: = mathbf {I} - mathbf {X} _ {1} mathbf {X} _ {1} ^ {+}}$ bir izdüşüm matrisi. Kısıtlı tahmini takiben ${ displaystyle { hat { boldsymbol { beta}}} _ {2}}$ vektör ${ displaystyle { hat { boldsymbol { beta}}} _ {1}}$ yukarıdaki ifadeden elde edilir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Stephen Boyd; Lieven Vandenberghe (7 Haziran 2018). Uygulamalı Doğrusal Cebire Giriş: Vektörler, Matrisler ve En Küçük Kareler. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-51896-0.

[BoydVandenberghe2018-1] Stephen Boyd; Lieven Vandenberghe (7 Haziran 2018). Uygulamalı Doğrusal Cebire Giriş: Vektörler, Matrisler ve En Küçük Kareler. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-51896-0.

[1]