Control-Lyapunov işlevi - Control-Lyapunov function

İçinde kontrol teorisi, bir kontrol-Lyapunov işlevi^[1] bir Lyapunov işlevi ${displaystyle V (x)}$ kontrol girişli bir sistem için. Sıradan Lyapunov işlevi, bir dinamik sistem dır-dir kararlı (daha kısıtlayıcı bir şekilde, asimptotik olarak kararlı). Yani, sistemin bir durumda başlayıp ${displaystyle xeq 0}$ bazı alanlarda D içinde kalacak D, yada ... için asimptotik kararlılık sonunda geri dönecek ${displaystyle x = 0}$ . Control-Lyapunov işlevi, bir sistemin olup olmadığını test etmek için kullanılır. geri bildirim stabilize edilebilirbu herhangi bir eyalet için x bir kontrol var ${displaystyle u (x, t)}$ öyle ki kontrol uygulanarak sistem sıfır durumuna getirilebilir sen.

Daha resmi olarak, otonom bir dinamik sistem verildiğini varsayalım.

{displaystyle {nokta {x}} = f (x, u)}

nerede ${displaystyle xin mathbb {R} ^ {n}}$ durum vektörü ve ${displaystyle uin mathbb {R} ^ {m}}$ kontrol vektörüdür ve geri bildirimde bulunmak istiyoruz. ${displaystyle x = 0}$ bazı alanlarda ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^ {n}}$ .

Tanım. Bir kontrol-Lyapunov işlevi bir işlevdir ${displaystyle V: Dightarrow mathbb {R}}$ sürekli türevlenebilir, pozitif tanımlı (yani ${displaystyle V (x)}$ dışında pozitif ${displaystyle x = 0}$ sıfır olduğu yerde) ve öyle ki

{displaystyle forall xeq 0, uqquad var {nokta {V}} (x, u) = abla V (x) cdot f (x, u) <0.}

Son koşul, anahtar koşuldur; kelimelerle diyor ki her durum için x bir kontrol bulabiliriz sen "enerji" yi azaltacak V. Sezgisel olarak, eğer her durumda enerjiyi azaltmanın bir yolunu her zaman bulabilirsek, sonunda enerjiyi sıfıra getirebilmeliyiz, yani sistemi durdurabiliriz. Bu, aşağıdaki sonuçla titiz bir şekilde yapılır:

Artstein teoremi. Dinamik sistem, farklılaştırılabilir bir kontrol-Lyapunov işlevine sahiptir, ancak ve ancak düzenli bir stabilize edici geri bildirim varsa sen(x).

Belirli bir sistem için bir kontrol-Lyapunov fonksiyonu bulmak kolay olmayabilir, ancak biraz marifet ve şans sayesinde bir tane bulabilirsek, geri besleme stabilizasyon problemi önemli ölçüde basitleşir, aslında doğrusal olmayan statik bir çözüme indirgenir. programlama problemi

{displaystyle u ^ {*} (x) = {underet {u} {operatorname {arg, min}}} abla V (x) cdot f (x, u)}

her eyalet için x.

Kontrol-Lyapunov fonksiyonlarının teorisi ve uygulaması Z. Artstein tarafından geliştirilmiştir ve E. D. Sontag 1980'lerde ve 1990'larda.

Misal

İşte bir Lyapunov aday fonksiyonunu bir kontrol problemine uygulamanın karakteristik bir örneği.

Yay sertleşmesine ve pozisyona bağlı kütleye sahip bir kütle yay sönümleyici sistemi olan doğrusal olmayan sistemi düşünün.

{displaystyle m (1 + q ^ {2}) {ddot {q}} + b {nokta {q}} + K_ {0} q + K_ {1} q ^ {3} = u}

Şimdi istenen durum verildiğinde, ${displaystyle q_ {d}}$ ve gerçek durum, ${displaystyle q}$ hata ile ${displaystyle e = q_ {d} -q}$ , bir işlev tanımla ${displaystyle r}$ gibi

{displaystyle r = {nokta {e}} + alfa e}

O zaman bir Control-Lyapunov adayı

{displaystyle V = {frac {1} {2}} r ^ {2}}

bu herkes için pozitif tanımlı ${displaystyle qeq 0}$ , ${displaystyle {dot {q}} eq 0}$ .

Şimdi zaman türevini alıyoruz ${displaystyle V}$

{displaystyle {dot {V}} = r {nokta {r}}}

{displaystyle {nokta {V}} = ({nokta {e}} + alfa e) ({ddot {e}} + alfa {nokta {e}})}

Amaç, zaman türevini elde etmektir.

{displaystyle {dot {V}} = - kappa V}

küresel olarak üssel olarak kararlı olan ${displaystyle V}$ küresel olarak pozitif tanımlıdır (ki öyle).

Bu nedenle en sağdaki parantezi istiyoruz ${displaystyle {dot {V}}}$ ,

{displaystyle ({ddot {e}} + alfa {nokta {e}}) = ({ddot {q}} _ {d} - {ddot {q}} + alfa {nokta {e}})}

gereksinimi karşılamak için

{displaystyle ({ddot {q}} _ {d} - {ddot {q}} + alfa {nokta {e}}) = - {frac {kappa} {2}} ({nokta {e}} + alfa e )}

dinamiklerin ikame edilmesi üzerine, ${displaystyle {ddot {q}}}$ verir

{displaystyle sol ({ddot {q}} _ {d} - {frac {u-K_ {0} q-K_ {1} q ^ {3} -b {nokta {q}}} {m (1 + q ^ {2})}} + alfa {nokta {e}} ışık) = - {frac {kappa} {2}} ({nokta {e}} + alfa e)}

İçin çözme ${displaystyle u}$ kontrol yasasını verir

{displaystyle u = m (1 + q ^ {2}) sol ({ddot {q}} _ {d} + alfa {nokta {e}} + {frac {kappa} {2}} sağ) + K_ {0 } q + K_ {1} q ^ {3} + b {nokta {q}}}

ile ${displaystyle kappa}$ ve ${displaystyle alpha}$ ayarlanabilir parametreler olarak her ikisi de sıfırdan büyük

Bu kontrol yasası, beklendiği gibi zaman türevi getirilerine ikame edildikten sonra küresel üstel istikrarı garanti edecektir.

{displaystyle {dot {V}} = - kappa V}

Çözümü olan lineer birinci dereceden diferansiyel denklem olan

{displaystyle V = V (0) exp (-kappa t)}

Ve dolayısıyla hata ve hata oranı, bunu hatırlayarak ${displaystyle V = {frac {1} {2}} ({nokta {e}} + alfa e) ^ {2}}$ , üstel olarak sıfıra bozunur.

Bundan belirli bir yanıtı ayarlamak isterseniz, elde ettiğimiz çözüme geri dönmek gerekir. ${displaystyle V}$ ve çöz ${displaystyle e}$ . Bu, okuyucu için bir alıştırma olarak bırakılmıştır, ancak çözümdeki ilk birkaç adım şunlardır:

{displaystyle r {nokta {r}} = - {frac {kappa} {2}} r ^ {2}}

{displaystyle {dot {r}} = - {frac {kappa} {2}} r}

{displaystyle r = r (0) exp left (- {frac {kappa} {2}} sıkı)}

{displaystyle {dot {e}} + alpha e = ({dot {e}} (0) + alpha e (0)) exp left (- {frac {kappa} {2}} sıkı)}

bu daha sonra herhangi bir doğrusal diferansiyel denklem yöntemi kullanılarak çözülebilir.

Notlar

^ Freeman (46)

Referanslar

Freeman, Randy A .; Petar V. Kokotović (2008). Sağlam Doğrusal Olmayan Kontrol Tasarımı (resimli, yeniden basılmıştır). Birkhäuser. s. 257. ISBN 0-8176-4758-9. Alındı 2009-03-04.

Ayrıca bakınız

[1] Freeman (46)

[1]