Dışbükey kombinasyon - Convex combination

Üç puan verildi

{ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}

şekilde gösterildiği gibi bir düzlemde, nokta

{ displaystyle P}

dır-dir üç noktanın dışbükey kombinasyonu

{ displaystyle Q}

dır-dir değil.

(

{ displaystyle Q}

ancak, üç noktanın afin bir birleşimidir. afin gövde tüm uçaktır.)

İçinde dışbükey geometri, bir dışbükey kombinasyon bir doğrusal kombinasyon nın-nin puan (hangisi olabilir vektörler, skaler veya daha genel olarak bir afin boşluk ) hepsi nerede katsayılar vardır negatif olmayan ve toplamı 1.^[1]

Daha resmi olarak, sınırlı sayıda puan verildiğinde ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, noktalar, x_ {n}}$ içinde gerçek vektör uzayı, bu noktaların dışbükey bir kombinasyonu, formun bir noktasıdır

{ displaystyle alpha _ {1} x_ {1} + alpha _ {2} x_ {2} + cdots + alpha _ {n} x_ {n}}

gerçek sayılar nerede ${ displaystyle alpha _ {i}}$ tatmin etmek ${ displaystyle alpha _ {i} geq 0}$ ve ${ displaystyle alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {n} = 1.}$ ^[1]

Belirli bir örnek olarak, iki noktanın her dışbükey kombinasyonu çizgi segmenti noktalar arasında.^[1]

Bir set dışbükey noktalarının tüm dışbükey kombinasyonlarını içeriyorsa. dışbükey örtü belirli bir nokta kümesi, tüm dışbükey kombinasyonlarının kümesiyle aynıdır.^[1]

Doğrusal kombinasyonlar altında kapatılmayan ancak dışbükey kombinasyonlar altında kapalı olan bir vektör uzayının alt kümeleri vardır. Örneğin, aralık ${ displaystyle [0,1]}$ dışbükeydir ancak doğrusal kombinasyonlar altında gerçek sayı doğrusunu üretir. Başka bir örnek, dışbükey kümesidir olasılık dağılımları Doğrusal kombinasyonlar ne nonnegativite ne de afiniteyi (yani toplam integral bire sahip olma) korumadığından.

Diğer nesneler

Benzer şekilde, dışbükey bir kombinasyon ${ displaystyle X}$ nın-nin rastgele değişkenler ${ displaystyle Y_ {i}}$ ağırlıklı bir toplamdır (nerede ${ displaystyle alpha _ {i}}$ Bileşen olasılık dağılımlarının yukarıdaki gibi aynı kısıtlamaları karşılamaları, genellikle a sonlu karışım dağılımı, ile olasılık yoğunluk fonksiyonu:

{ displaystyle f_ {X} (x) = toplamı _ {i = 1} ^ {n} alpha _ {i} f_ {Y_ {i}} (x)}

İlgili yapılar

Bir konik kombinasyon negatif olmayan katsayılarla doğrusal bir kombinasyondur. Bir nokta ${ displaystyle x}$ tanımlamak için referans kaynağı olarak kullanılacaktır. deplasman vektörleri, sonra ${ displaystyle x}$ dışbükey bir kombinasyondur ${ displaystyle n}$ puan ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, noktalar, x_ {n}}$ ancak ve ancak sıfır yer değiştirme önemsiz değildir konik kombinasyon onların ${ displaystyle n}$ ilgili yer değiştirme vektörleri ${ displaystyle x}$ .
Ağırlıklı araçlar işlevsel olarak dışbükey kombinasyonlarla aynıdır, ancak farklı bir gösterim kullanırlar. Katsayılar (ağırlıklar ) ağırlıklı ortalamada toplamının 1 olması gerekmez; bunun yerine ağırlıklı doğrusal kombinasyon açıkça ağırlıkların sayısına bölünür.
Afin kombinasyonları dışbükey kombinasyonlar gibidir, ancak katsayıların negatif olmaması gerekmez. Bu nedenle afin kombinasyonlar, vektör uzaylarında herhangi bir alan.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ ^a ^b ^c ^d Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Konveks Analiz, Princeton Matematiksel Serisi 28, Princeton University Press, Princeton, N.J., s. 11–12, BAY 0274683

[rock-1] Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Konveks Analiz, Princeton Matematiksel Serisi 28, Princeton University Press, Princeton, N.J., s. 11–12, BAY 0274683

[1]