Çok fazlı akış için Darcys yasası - Darcys law for multiphase flow - Wikipedia

Morris Muskat et al.[1][2] geliştirdi yönetim denklemleri çok fazlı akış için (bir vektör her sıvı için denklem evre ) içinde gözenekli ortam Darcy denkleminin bir genellemesi olarak (veya Darcy yasası ) gözenekli ortamda su akışı için. Gözenekli ortam genellikle tortul kayaçlar gibi kırıntılı kayalar (çoğunlukla kumtaşı ) veya karbonat kayalar.

İsimlendirme
SembolAçıklamaSI Birimleri
alt simge: faz a, vektör bileşeni
vektör bileşeni iki ızgara hücresi arasındaki yönlü temas yüzeyininm2
yönlü temas yüzeyi iki (genellikle komşu) ızgara hücresi arasındam2
3. eksen boyunca birim vektör (z burada bir hatırlatmadır: 3, z-yönüdür)1
yerçekimi ivmesiHanım2
yerçekimi ivmesi yön ileHanım2
mutlak geçirgenlik 3x3 olarak tensörm2
fazın bağıl geçirgenliği a = w, o, gkesir
yönlü bağıl geçirgenlik (yani 3x3 tensör)kesir
basınçBaba
ızgara hücresi temas yüzeyinden hacimsel akı (Darcy hızı)Hanım
ızgara hücresi temas yüzeyinden hacimsel akış hızım3/ s
gözenek (sıvı) akış hızıHanım
Eksen boyunca Darcy (sıvı) hızı Hanım
Darcy (sıvı) hızıHanım
gradyan Şebekem−1
dinamik viskoziteBaba s
kitle yoğunlukkg / m3
 nerede a = w, o, g

Mevcut akışkan fazları su, yağ ve gazdır ve sırasıyla a = w, o, g alt simge ile temsil edilir. Yön ile yerçekimi ivmesi şu şekilde temsil edilir: veya veya . Petrol mühendisliğinde uzamsal koordinat sisteminin z ekseni aşağıya bakacak şekilde sağa dönük olduğuna dikkat edin. Üç sıvı fazın akış denklemlerini birbirine bağlayan fiziksel özellik, bağıl geçirgenlik her sıvı fazı ve basıncı. Akışkan-kaya sisteminin (yani su-yağ-gaz-kaya sisteminin) bu özelliği, esas olarak akışkanın bir fonksiyonudur. doygunluk ve bağlantılıdır kılcal basınç ve akan süreç, tabi olduğunu ima eder histerezis etki.

1940 yılında M.C. Leverett[3] dahil etmek için kılcal basınç akış denklemindeki etkiler, basınç faza bağlı olmalıdır. Akış denklemi daha sonra olur

 nerede a = w, o, g

Leverett ayrıca kılcal basıncın önemli olduğunu belirtti. histerezis Etkileri. Bu, bir drenaj işlemi için kılcal basıncın, bir kapiler basıncından farklı olduğu anlamına gelir. imbibisyon aynı akışkan fazlarla işlem. Histerez, yöneten akış denkleminin şeklini değiştirmez, ancak histerezise dahil olan özellikler için kurucu denklemlerin sayısını artırır (genellikle iki katına çıkarır).

1951-1970 yılları arasında ticari bilgisayarlar bilimsel ve mühendislik hesaplamaları ve model simülasyonları sahnesine girdi. Bilgisayar simülasyonu Petrol rezervuarlarının dinamik davranışı kısa sürede petrol endüstrisi için bir hedef haline geldi, ancak o zamanlar hesaplama gücü çok zayıftı.

Zayıf bilgi işlem gücüyle, rezervuar modelleri buna bağlı olarak kabaydı, ancak ölçek büyütme statik parametreleri oldukça basitti ve kabalık kısmen telafi edildi. Göbek tıpa ölçeğinde (genellikle mikro ölçekte gösterilir) elde edilen kaya eğrilerinden rezervuar modellerinin kaba ızgara hücrelerine (genellikle makro ölçek olarak adlandırılır) göreceli geçirgenlik eğrilerinin ölçeklendirilmesi sorunu çok daha zordur ve bu halen devam eden önemli bir araştırma alanı haline geldi. Ancak ölçek büyütmedeki ilerleme yavaştı ve 1990-2000'e kadar göreceli geçirgenliğin yönlü bağımlılığı ve tensör temsiline olan ihtiyaç açıkça gösterildi.[4][5] en az bir yetenekli yöntem olmasına rağmen[6] Bu tür bir ölçek büyütme durumu, yatay harekete ek olarak, suyun (ve gazın) petrole göre dikey olarak ayrıldığı eğimli bir rezervuardır. Bir ızgara hücresinin dikey boyutu da genellikle bir ızgara hücresinin yatay boyutundan çok daha küçüktür ve sırasıyla küçük ve büyük akı alanları oluşturur. Tüm bunlar, x ve z yönleri için farklı göreceli geçirgenlik eğrileri gerektirir. Jeolojik heterojenlikler rezervuarlarda laminalar veya çapraz tabakalı geçirgenlik yapıları kayada da yönsel göreceli geçirgenliklere neden olur. Bu bize göreceli geçirgenliğin en genel durumda bir tensörle temsil edilmesi gerektiğini söyler. Akış denklemleri daha sonra

 nerede a = w, o, g

Yukarıda belirtilen durum yansıtıldı aşağı dalış su enjeksiyonu (veya güncelleme gazı enjeksiyonu) veya basınç azalması ile üretim. Bir süre boyunca su yukarı çekme (veya gaz aşağı çekme) enjekte ederseniz, x + ve x- yönlerinde farklı göreceli geçirgenlik eğrileri ortaya çıkar. Bu geleneksel anlamda bir histerezis süreci değildir ve geleneksel bir tensörle temsil edilemez. Yazılım kodunda bir IF ifadesi ile temsil edilebilir ve bazı ticari rezervuar simülatörlerinde meydana gelir. Süreç (veya daha doğrusu süreçler dizisi), sahadan kurtarma için bir yedekleme planından kaynaklanıyor olabilir veya enjekte edilen sıvı, bir alanın beklenmedik bir açık kısmı nedeniyle başka bir rezervuar kaya oluşumuna akabilir. hata veya a kasa arkasındaki sızdırmaz çimento Enjeksiyonun kuyusu. Göreceli geçirgenlik seçeneği nadiren kullanılır ve sadece yönetim denklemini değiştirmediğini (analitik şeklini), ancak sayısını arttırdığını (genellikle ikiye katladığını) not ediyoruz. kurucu denklemler ilgili özellikler için.

Yukarıdaki denklem, gözenekli ortamdaki sıvı akışı için en genel denklemin bir vektör formudur ve okuyucuya ilgili terimler ve miktarlar hakkında iyi bir genel bakış sağlar. Devam etmeden ve dönüştürmeden önce diferansiyel denklem içine fark denklemleri, bilgisayarların kullanması için akış denklemini bileşen biçiminde yazmalısınız. Bileşen formundaki akış denklemi (kullanarak toplama kuralı ) dır-dir

 nerede a = w, o, g  nerede = 1,2,3

Darcy hızı bir akışkan parçacığının hızı değil, hacimsel akıdır (sıklıkla sembol ile temsil edilir) ). Gözeneklerdeki sıvı hızı (veya kısa ama yanlış bir şekilde gözenek hızı olarak adlandırılır), Darcy hızıyla ilişkiye göre ilişkilidir.

 nerede a = w, o, g

Hacimsel akı yoğun bir miktardır, bu nedenle her seferinde ne kadar sıvı geldiğini açıklamada iyi değildir. Bunu anlamak için tercih edilen değişken, hacimsel akış hızı adı verilen ve bize belirli bir alandan her seferinde ne kadar sıvının geldiğini (veya içine girdiğini) söyleyen geniş miktardır ve bu ilişki ile Darcy hızıyla ilgilidir.

 nerede a = w, o, g

Hacimsel akış hızının skaler bir niceliktir ve yön, yüzeyin (alan) normal vektörü ve hacimsel akı (Darcy hızı) tarafından ele alınır.

Bir rezervuar modelinde geometrik hacim ızgara hücrelerine bölünmüştür ve şimdi ilgilenilen alan, iki bitişik hücre arasındaki kesişme alanıdır. Bunlar gerçek komşu hücreler ise, alan ortak yan yüzeydir ve iki hücreyi bölen bir arıza varsa, kesişme alanı genellikle bitişik her iki hücrenin tam yan yüzeyinden daha azdır. Böylelikle, çok fazlı akış denkleminin ayrıklaştırılmadan ve rezervuar simülatörlerinde kullanılmadan önceki bir versiyonu,

 nerede a = w, o, g

Genişletilmiş (bileşen) formda,

 nerede a = w, o, g

İlk) hidrostatik basınç bir derinlikte (veya seviyede) z bir referans derinliğin üstünde (veya altında) z0 tarafından hesaplanır

 nerede a = w, o, g

Hidrostatik basınç hesaplamaları yürütüldüğünde, normalde bir faz alt simgesi uygulanmaz, ancak formül / miktarı gerçek derinlikte hangi fazın gözlemlendiğine göre değiştirir, ancak açıklık ve tutarlılık için buraya faz alt simgesini dahil ettik. Ancak, hidrostatik basınç hesaplamaları yapıldığında, doğruluğu artırmak için derinlikle değişen bir yerçekimi ivmesi kullanılabilir. Bu kadar yüksek doğruluk gerekmiyorsa, yerçekiminin ivmesi sabit tutulur ve hesaplanan basınç olarak adlandırılır. aşırı yük basıncı. Rezervuar simülasyonlarında bu kadar yüksek doğruluk gerekli değildir, bu nedenle yerçekiminin ivmesi bu tartışmada bir sabit olarak ele alınmaktadır. Rezervuar modelindeki başlangıç ​​basıncı, (başlangıç) formülü kullanılarak hesaplanır. aşırı yük basıncı hangisi

 nerede a = w, o, g

Akış denkleminin parantezi içindeki terimleri basitleştirmek için, -potansiyel, belirgin psi-potansiyeli ile tanımlanan

 nerede a = w, o, g

Mutlak basınç ve yerçekimi yüksekliği olmak üzere iki terimden oluşur. Hesaplama süresinden tasarruf etmek için integral başlangıçta hesaplanabilir ve hesaplama açısından daha ucuz tablo aramasında kullanılmak üzere bir tablo olarak saklanabilir. Giriş -potansiyel şunu ima eder:

 nerede a = w, o, g

Fonksiyon, referans düzlemine / derinliğine aktarıldıktan sonra rezervuardaki herhangi bir noktadaki basıncı temsil ettiğinden, psi potansiyeli sıklıkla "referans basıncı" olarak da adlandırılır.0. Pratik mühendislik çalışmasında, kuyularda ölçülen basınçları bir referans seviyesine yönlendirmek veya rezervuar boyunca referans basınçlarının dağılımını haritalamak çok yararlıdır. Bu şekilde rezervuardaki sıvı hareketinin yönü bir bakışta görülebilir çünkü referans basınç dağılımı potansiyel dağılıma eşdeğerdir. İki basit örnek bunu açıklığa kavuşturacaktır. Bir rezervuar, sıkı şeyl katmanları ile ayrılan birkaç akış biriminden oluşabilir. Bir rezervuardan veya akış ünitesinden gelen akışkan, bir derinlikte bir arızaya girebilir ve başka bir derinlikte başka bir rezervuarda veya akış ünitesinde arızadan çıkabilir. Aynı şekilde akışkan, bir akış biriminde bir üretim kuyusuna girebilir ve başka bir akış biriminde veya rezervuarda üretim kuyusundan çıkabilir.

Gözenekli ortam için çok fazlı akış denklemi artık

 nerede a = w, o, g

Bu çok fazlı akış denklemi, petrol endüstrisinde kullanılacak bir rezervuar simülatörü için bir program kodu yazmak amacıyla denklemi diferansiyel denklemden fark denklemine dönüştürmeye başladığında yazılım programcısının geleneksel olarak başlangıç ​​noktası olmuştur. Bilinmeyen bağımlı değişkenler geleneksel olarak yağ basıncı (petrol sahaları için) ve ilgili sıvılar için hacimsel miktarlardır, ancak yağ basıncı için çözülecek toplam model denklemleri ve ilgili sıvı bileşenleri için kütle veya mol miktarları yeniden yazılabilir.[7]

Yukarıdaki denklemler SI birimlerinde yazılmıştır ve tüm malzeme özelliklerinin SI birimleri içinde de tanımlandığını varsayıyoruz. Bunun bir sonucu, denklemlerin yukarıdaki versiyonlarının herhangi bir birim dönüştürme sabitine ihtiyaç duymamasıdır. Petrol endüstrisi, en az ikisinin belli bir yaygınlığa sahip olduğu çeşitli birimler uygulamaktadır. SI birimleri dışındaki birimleri uygulamak istiyorsanız, çok fazlı akış denklemleri için doğru birim dönüştürme sabitleri oluşturmalısınız.

Birimlerin dönüşümü

Yukarıdaki denklemler şu şekilde yazılmıştır SI birimleri (kısa SI) birim D (darcy) için mutlak geçirgenlik SI olmayan birimlerde tanımlanır. Bu nedenle birimle ilgili sabitler yoktur. Petrol endüstrisi SI birimlerini kullanmaz. Bunun yerine, Uygulamalı SI birimleri olarak adlandıracağımız SI birimlerinin özel bir sürümünü kullanıyorlar veya ABD ve İngiltere'den gelen, Alan birimleri adı verilen başka bir birim kümesi kullanıyorlar. Denklemlere sıcaklık dahil edilmediğinden, faktör etiketi yöntemi H birimine sahip bir değişkenimiz / parametremiz varsa, bu değişkeni / parametreyi bir dönüşüm sabiti C ile çarptığımızı ve değişkenin istediğimiz G birimini aldığını söyleyen (birim faktör yöntemi de denir). Bu, H * C = G dönüşümünü uyguladığımız ve geçirgenlik tanımının SI olmayan etkisinin geçirgenlik için dönüşüm faktörü C'ye dahil edildiği anlamına gelir. H * C = G dönüşümü her uzamsal boyut için geçerlidir, bu nedenle ana terimlere konsantre olur, işaretleri ihmal ederiz ve ardından parantezi yerçekimi terimiyle tamamlarız. Dönüşüme başlamadan önce, hem orijinal (tek fazlı) Darcy akış denkleminin hem de Muskat ve diğerlerinin genelleştirilmiş (veya genişletilmiş) çok fazlı akış denklemlerinin olduğunu fark ettik. rezervuar hızı (hacimsel akı), hacim hızı ve yoğunlukları kullanıyor. Bu miktarların birimlerine, standart yüzey koşullarında s (veya S) ön eki alan emsallerinden ayırmak için bir r (veya R) öneki verilir. Bu özellikle denklemleri Alan birimlerine dönüştürdüğümüzde önemlidir. Görünüşte basit olan birim dönüştürme konusunda ayrıntılara girmenin nedeni, birçok insanın birim dönüştürme yaparken hata yapmasıdır.

Şimdi dönüştürme işine başlamaya hazırız. İlk olarak, denklemin akı versiyonunu alıp şu şekilde yeniden yazıyoruz:

 nerede a = w, o, g

Kompozit dönüşüm faktörünü geçirgenlik parametresi ile birlikte yerleştirmek istiyoruz. Burada denklemimizin SI birimlerinde yazıldığını ve sağ taraftaki değişkenler / parametreler grubunun (bundan sonra kısaca parametreler olarak anılacaktır) boyutsuz bir grup oluşturduğunu not ediyoruz. Şimdi her parametreyi dönüştürüyoruz ve bu dönüşümleri tek bir dönüşüm sabitinde topluyoruz. Şimdi, dönüşüm sabitleri (C'ler) içeren listemizin uygulanan birimlerden SI birimlerine gittiğini ve bunun bu tür dönüştürme listeleri için çok yaygın olduğunu not ediyoruz. Bu nedenle, parametrelerimizin uygulanan birimlere girildiğini ve bunları (geri) SI birimlerine dönüştürdüğünü varsayıyoruz.

 nerede a = w, o, g

Boyutsuz bir parametre olan göreli geçirgenliği kaldırdığımıza dikkat edin. Bu bileşik dönüştürme faktörüne Darcy'nin formüle edilmiş denklem için sabiti denir ve

Parametre grubumuz temel SI birimlerinde boyutsuz olduğundan, ikinci tabloda görebileceğiniz gibi bileşik dönüştürme faktörümüz için birimlere SI birimlerini dahil etmemize gerek yoktur. Ardından, denklemin oran versiyonunu alıp şu şekilde yeniden yazıyoruz:

 nerede a = w, o, g

Şimdi her parametreyi dönüştürüyoruz ve bu dönüşümleri tek bir dönüşüm sabitinde topluyoruz.

 nerede a = w, o, g

Boyutsuz bir parametre olan göreli geçirgenliği kaldırdığımıza dikkat edin. Bu bileşik dönüştürme faktörüne Darcy'nin formüle edilmiş denklem için sabiti denir ve

Basınç gradyanı ve yerçekimi terimi, akı ve hız denklemleri için aynıdır ve bu nedenle yalnızca bir kez tartışılacaktır. Buradaki görev, basınç gradyanı için uygulanan birimlerle ("H-birimleri") tutarlı bir yerçekimi terimine sahip olmaktır. Bu nedenle, dönüşüm faktörümüzü yerçekimi parametreleriyle birlikte yerleştirmeliyiz. SI birimlerinde "parantez" yazıyoruz:

 nerede a = w, o, g

ve yeniden yaz

 nerede a = w, o, g

Şimdi her parametreyi dönüştürüyoruz ve bu dönüşümleri tek bir dönüşüm sabitinde topluyoruz. İlk olarak, denklemimizin SI birimlerinde yazıldığını ve sağ taraftaki parametreler grubunun boyutsuz bir grup oluşturduğunu not ediyoruz. Bu nedenle, parametrelerimizin uygulanan birimlere girildiğini ve bunları (geri) SI birimlerine dönüştürdüğünü varsayıyoruz.

 nerede a = w, o, g

Bu, tutarlılık-dönüştürme için bileşik dönüştürme faktörünü verir.

Parametre grubumuz SI birimlerinde boyutsuz olduğundan, ikinci tabloda görebileceğiniz gibi bileşik dönüştürme faktörümüz için birimlere SI birimlerini dahil etmemize gerek yoktur.

Bu analitik denklemler içindir, ancak programcı akış denklemini sonlu bir fark denklemine ve ayrıca sayısal bir algoritmaya dönüştürdüğünde, hesaplama işlemlerinin sayısını en aza indirmeye isteklidir. İşte füzyon ile bire indirgenebilen iki sabitli bir örnek

Endüstri birimlerini kullanarak, akış denkleminin vektör formundaki akı versiyonu olur

 nerede a = w, o, g

ve bileşen biçiminde olur

 nerede a = w, o, g  nerede = 1,2,3

Endüstri birimlerini kullanarak, vektör formundaki akış denkleminin hız versiyonu olur

 nerede a = w, o, g

ve bileşen biçiminde olur

 nerede a = w, o, g

Birimlerin dönüştürülmesi, teknik profesyoneller için bile oldukça nadir bir faaliyettir, ancak aynı zamanda insanların bunu nasıl doğru bir şekilde yapmayı unutmasının da nedeni budur.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Muskat M. ve Meres M.W. 1936. Heterojen Sıvıların Gözenekli Ortamdan Akışı. J. Appl. Phys. 1936, 7, s. 346–363. https://dx.doi.org/10.1063/1.1745403
  2. ^ Muskat M. ve Wyckoff R.D. ve Botset H.G. ve Meres M.W. 1937. Kumlardan Gaz-Sıvı Karışımlarının Akışı. AIME 1937, 123, s. 69–96 İşlemlerinde yayınlandı. SPE belge kimliği SPE-937069-G'dir. https://dx.doi.org/10.2118/937069-G
  3. ^ Leverett M.C. 1941. Gözenekli katılarda kılcal davranış. AIME Ekim 1940'ın Tulsa toplantısında sunulan bildiri. İşlemler AIME 1941, 142, s. 159-172'de yayınlandı. SPE belge kimliği SPE-941152-G'dir. https://dx.doi.org/10.2118/941152-G
  4. ^ Pickup G.E ve Sorbie K.S. 1996. Faz Geçirgenlik Tensörleri Kullanılarak Gözenekli Ortamda İki Fazlı Akışın Ölçeklendirilmesi. Belge SPE-28586 ilk olarak 25–28 Eylül 1994'te New Orleans, ABD'de düzenlenen SPE Yıllık Teknik Konferansı ve Sergisinde sunulmuştur. SPE-28586-PA, SPEJ Aralık 1996'da yayınlanmıştır. https://dx.doi.org/10.2118/28586-PA
  5. ^ Kumar A.T.A. ve Jerauld G.R. 1996. Ölçek Artışının Rezervuar Kayasında Tapadan Izgara Blok Ölçeğine Sıvı Akışı Üzerindeki Etkileri. SPE / DOE 35452 sayılı belge, 21-24 Nisan 1996'da Tulsa, Oklahoma, ABD'de düzenlenen 1996 SPE / DOE 10. İyileştirilmiş Petrol Geri Kazanımı Sempozyumunda sunulmuştur. SPE-35452-MS, SPE 1996 tarafından yayınlanmıştır. https://dx.doi.org/10.2118/35452-MS
  6. ^ Kyte J.R. ve Berry D.W. 1975. Sayısal Dağılımı Kontrol Etmek İçin Yeni Sözde İşlevler. SPE 5105 belgesi ilk olarak 6–9 Ekim 1974 tarihinde Houston'da düzenlenen SPE-AIME 49. Yıllık Güz Toplantısında sunulmuştur. SPEJ Ağustos 1975 tarafından yayınlanan makale SPE-5105-PA, s. https://dx.doi.org/10.2118/5105-PA
  7. ^ Genç L.C. ve Stephenson R.E. 1983. Rezervuar Simülasyonu için Genelleştirilmiş Bileşimsel Yaklaşım. Belge SPE 10516 ilk olarak 31 Ocak - 3 Şubat 1982'de New Orleans'ta düzenlenen SPE Rezervuar Sempozyumunda sunulmuştur. SPE-10516-PA belgesi ilk olarak SPEJ Ekim 1983, cilt 23, sayı 05, s. 727-742; İşlem AIME 275; şimdi ResearchGate tarafından; https://www.researchgate.net/publication/244956766 ve tarafından https://dx.doi.org/10.2118/10516-PA