Dedekind toplamı - Dedekind sum - Wikipedia

İçinde matematik, Dedekind toplamları bir ürünün belirli toplamları testere dişi işlevi ve bir işlev tarafından verilir D üç tamsayı değişkeni. Dedekind onları fonksiyonel denklem of Dedekind eta işlevi. Daha sonra çok çalışıldı sayı teorisi ve bazı problemlerde meydana geldi topoloji. Dedekind toplamları çok sayıda fonksiyonel denkleme sahiptir; bu makale bunların sadece küçük bir kısmını listeler.

Dedekind toplamları tarafından tanıtıldı Richard Dedekind XXVIII parçasının yorumunda Bernhard Riemann toplanan kağıtları.

Tanım

Tanımla testere dişi işlevi gibi

Sonra izin verdik

tarafından tanımlanmak

sağdaki terimler Dedekind toplamları. Dava için a= 1, sık sık yazar

s(b,c) = D(1,b;c).

Basit formüller

Bunu not et D simetriktir a ve b, ve dolayısıyla

ve (()) tuhaflığıyla,

D(−a,b;c) = −D(a,b;c),
D(a,b;−c) = D(a,b;c).

Periyodik olarak D ilk iki argümanında, üçüncü argüman her ikisi için de periyodun uzunluğudur,

D(a,b;c)=D(a+kc,b+lc;c), tüm tam sayılar için k,l.

Eğer d pozitif bir tam sayıdır, o zaman

D(reklam,bd;CD) = dD(a,b;c),
D(reklam,bd;c) = D(a,b;c), Eğer (d,c) = 1,
D(reklam,b;CD) = D(a,b;c), Eğer (d,b) = 1.

Son eşitliğin kullanılmasının bir kanıtı var.

Ayrıca, az = 1 (mod c) ima eder D(a,b;c) = D(1,bz;c).

Alternatif formlar

Eğer b ve c coprime, yazabiliriz s(b,c) gibi

toplamın uzandığı yer c- 1'in dışındaki birlik kökleri, yani her şeyden önce öyle ki ve .

Eğer b, c > 0 eşittir, o zaman

Karşılıklılık hukuku

Eğer b ve c coprime pozitif tamsayılardır

Bunu olarak yeniden yazmak

6 sayısınınc s(b,c) bir tamsayıdır.

Eğer k = (3, c) sonra

ve

Teorisinde öne çıkan bir ilişki Dedekind eta işlevi takip ediliyor. İzin Vermek q = 3, 5, 7 veya 13 ve izin ver n = 24/(q - 1). Sonra verilen tamsayılar a, b, c, d ile reklam − M.Ö = 1 (dolayısıyla, modüler grup ), ile c öyle seçilmiş c = kq bir tamsayı için k > 0, tanımla

Sonra biri var nδ çift bir tamsayıdır.

Rademacher'ın karşılıklılık yasasını genellemesi

Hans Rademacher Dedekind toplamları için karşılıklılık yasasının aşağıdaki genellemesini buldu:[1] Eğer a,b, ve c çift ​​yönlü pozitif tamsayılardır, bu durumda

Referanslar

  1. ^ Rademacher, Hans (1954). "Dedekind toplamları için karşılıklılık formülünün genelleştirilmesi". Duke Matematiksel Dergisi. 21: 391–397. doi:10.1215 / s0012-7094-54-02140-7. Zbl  0057.03801.

daha fazla okuma