Fark polinomları - Difference polynomials

İçinde matematik, alanında karmaşık analiz, genel fark polinomları bir polinom dizisi belirli bir alt sınıfı Sheffer polinomları dahil Newton polinomları, Selberg'in polinomları, ve Stirling interpolasyon polinomları özel durumlar olarak.

Tanım

Genel fark polinom dizisi şu şekilde verilir:

{displaystyle p_ {n} (z) = {frac {z} {n}} {{z- eta n-1} seç {n-1}}}

nerede ${displaystyle {z select n}}$ ... binom katsayısı. İçin ${displaystyle eta = 0}$ , oluşturulan polinomlar ${displaystyle p_ {n} (z)}$ Newton polinomlarıdır

{displaystyle p_ {n} (z) = {z seç n} = {frac {z (z-1) cdots (z-n + 1)} {n!}}.}

Halinde ${displaystyle eta = 1}$ Selberg'in polinomlarını ve durumunu oluşturur ${displaystyle eta = -1 / 2}$ Stirling'in interpolasyon polinomlarını üretir.

Hareket eden farklılıklar

Verilen bir analitik işlev ${görüntü stili f (z)}$ , tanımla hareketli fark nın-nin f gibi

{displaystyle {mathcal {L}} _ {n} (f) = Delta ^ {n} f (eta n)}

nerede ${displaystyle Delta}$ ... ileri fark operatörü. Daha sonra, f belirli toplanabilirlik koşullarına uyar, daha sonra bu polinomlar açısından şu şekilde temsil edilebilir:

{displaystyle f (z) = toplam _ {n = 0} ^ {infty} p_ {n} (z) {mathcal {L}} _ {n} (f).}

Bu sekans için toplanabilirlik (yani yakınsama) koşulları oldukça karmaşık bir konudur; genel olarak, gerekli bir koşulun, analitik fonksiyonun, üstel tür. Toplanabilirlik koşulları Boas & Buck'da ayrıntılı olarak tartışılmıştır.

İşlev oluşturma

oluşturma işlevi genel fark polinomları için şu şekilde verilir:

{displaystyle e ^ {zt} = toplam _ {n = 0} ^ {infty} p_ {n} (z) sol [sol (e ^ {t} -1gece) e ^ {eta t} ight] ^ {n} .}

Bu oluşturma işlevi, şu şekle getirilebilir: genelleştirilmiş Temyiz temsili

{displaystyle K (z, w) = A (w) Psi (zg (w)) = toplam _ {n = 0} ^ {infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}

ayarlayarak ${displaystyle A (w) = 1}$ , ${displaystyle Psi (x) = e ^ {x}}$ , ${displaystyle g (w) = t}$ ve ${displaystyle w = (e ^ {t} -1) e ^ {eta t}}$ .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Ralph P. Boas, Jr. ve R. Creighton Buck, Analitik Fonksiyonların Polinom Açılımları (İkinci Baskı Düzeltildi), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Kongre Kart Numarası 63-23263 Kütüphanesi.