Difüzyon Monte Carlo - Diffusion Monte Carlo

Difüzyon Monte Carlo (DMC) veya difüzyon kuantum Monte Carlo^[1] bir kuantum Monte Carlo bir yöntem kullanan Green işlevi çözmek için Schrödinger denklemi. DMC potansiyel olarak sayısal olarak kesindir, yani herhangi bir kuantum sistemi için belirli bir hata dahilinde tam temel durum enerjisini bulabilir. Hesaplamayı gerçekten denerken, kişi şunu bulur: bozonlar algoritma, sistem boyutuna göre bir polinom olarak ölçeklenir, ancak fermiyonlar DMC, sistem boyutuna göre üssel olarak ölçeklenir. Bu, fermiyonlar için tam olarak büyük ölçekli DMC simülasyonlarını imkansız hale getirir; ancak, sabit düğüm yaklaşımı olarak bilinen akıllıca bir yaklaşım kullanan DMC, yine de çok doğru sonuçlar verebilir.^[2]

Projektör yöntemi

Algoritmayı motive etmek için, bir boyuttaki bir potansiyeldeki bir parçacık için Schrödinger denklemine bakalım:

${ displaystyle i { frac { kısmi Psi (x, t)} { kısmi t}} = - { frac {1} {2}} { frac { kısmi ^ {2} Psi (x , t)} { kısmi x ^ {2}}} + V (x) Psi (x, t).}$

Gösterimi biraz yoğunlaştırabiliriz. Şebeke denklem

${ displaystyle H = - { frac {1} {2}} { frac { kısmi ^ {2}} { kısmi x ^ {2}}} + V (x)}$.

O zaman bizde

${ displaystyle i { frac { kısmi Psi (x, t)} { kısmi t}} = H Psi (x, t),}$

aklımızda tutmamız gereken yer ${ displaystyle H}$ bir operatördür, basit bir sayı veya işlev değildir. Adı verilen özel işlevler vardır özfonksiyonlar, hangisi için ${ displaystyle H Psi (x) = E Psi (x)}$, nerede ${ displaystyle E}$ bir sayıdır. Bu işlevler özeldir çünkü eylemini nerede değerlendirirsek değerlendirelim ${ displaystyle H}$Operatör dalga fonksiyonu hep aynı numarayı alıyoruz ${ displaystyle E}$. Bu işlevlere durağan durumlar çünkü herhangi bir noktada zaman türevi ${ displaystyle x}$ her zaman aynıdır, dolayısıyla dalga fonksiyonunun genliği zaman içinde asla değişmez. Bir dalga fonksiyonunun genel fazı ölçülemediğinden, sistem zamanla değişmez.

Genellikle en düşük dalga fonksiyonuyla ilgileniyoruz enerji özdeğer, Zemin durumu. Aynı enerji özdeğerine sahip olacak Schrödinger denkleminin biraz farklı bir versiyonunu yazacağız, ancak salınımlı olmak yerine yakınsak olacaktır. İşte burada:

${ displaystyle - { frac { kısmi Psi (x, t)} { kısmi t}} = (H-E_ {0}) Psi (x, t)}$.

Zaman türevinden hayali sayıyı çıkardık ve sabit bir ofset ekledik ${ displaystyle E_ {0}}$temel durum enerjisi olan. Aslında temel durum enerjisini bilmiyoruz, ancak onu kendi kendine tutarlı bir şekilde belirlemenin bir yolu olacak ve bunu daha sonra tanıtacağız. Değiştirilmiş denklemimiz (bazıları buna hayali zaman Schrödinger denklemi diyor) bazı güzel özelliklere sahiptir. Dikkat edilmesi gereken ilk şey, eğer temel durum dalga fonksiyonunu tahmin edersek, o zaman ${ displaystyle H Phi _ {0} (x) = E_ {0} Phi _ {0} (x)}$ ve zaman türevi sıfırdır. Şimdi başka bir dalga fonksiyonu ile başladığımızı varsayalım (${ displaystyle Psi}$), temel durum değildir, ancak ona ortogonal değildir. O zaman bunu özfonksiyonların doğrusal bir toplamı olarak yazabiliriz:

${ displaystyle Psi = c_ {0} Phi _ {0} + toplamı _ {i = 1} ^ { infty} c_ {i} Phi _ {i}}$

Bu bir doğrusal diferansiyel denklem, her parçanın hareketine ayrı ayrı bakabiliriz. Bunu zaten belirledik ${ displaystyle Phi _ {0}}$ sabittir. Varsayalım ki ${ displaystyle Phi _ {1}}$. Dan beri ${ displaystyle Phi _ {0}}$ en düşük enerjili özfonksiyon, ortak özdeğer ${ displaystyle Phi _ {1}}$ mülkü tatmin eder ${ displaystyle E_ {1}> E_ {0}}$. Böylece zaman türevi ${ displaystyle c_ {1}}$ negatiftir ve sonunda sıfıra gidecek ve bize sadece temel durumu bırakacaktır. Bu gözlem bize aynı zamanda ${ displaystyle E_ {0}}$. Zaman içinde yayılırken dalga fonksiyonunun genliğini izleriz. Artarsa, ofset enerjisi tahminini azaltın. Genlik azalırsa, ofset enerjisinin tahminini artırın.

Stokastik uygulama

Şimdi, zaman içinde ileriye doğru yayan ve ayarladığımız bir denklemimiz var. ${ displaystyle E_ {0}}$ uygun şekilde, herhangi bir verinin temel durumunu buluruz Hamiltoniyen. Bu hala daha zor bir problem Klasik mekanik bununla birlikte, parçacıkların tekli konumlarını yaymak yerine, tüm işlevleri yaymamız gerektiğinden. Klasik mekanikte, parçacıkların hareketini simüle edebiliriz. ${ displaystyle x (t + tau) = x (t) + tau v (t) + 0.5F (t) tau ^ {2}}$, kuvvetin zaman aralığı boyunca sabit olduğunu varsayarsak ${ displaystyle tau}$. Hayali zaman Schrödinger denklemi için, bunun yerine, zaman içinde ileriye doğru yayılırız. kıvrım a adı verilen özel bir fonksiyona sahip integral Green işlevi. Böylece anlıyoruz ${ displaystyle Psi (x, t + tau) = int G (x, x ', tau) Psi (x', t) dx '}$. Klasik mekaniğe benzer şekilde, sadece küçük zaman dilimlerinde yayılabiliriz; aksi takdirde Green'in işlevi yanlıştır. Parçacık sayısı arttıkça, bütün parçacıkların tüm koordinatlarını bütünleştirmemiz gerektiğinden, integralin boyutluluğu da artar. Bu integralleri şu şekilde yapabiliriz: Monte Carlo entegrasyonu.

Referanslar

• Grimm, R.C; Storer, R.G (1971). "Schrödinger denkleminin Monte-Carlo çözümü". Hesaplamalı Fizik Dergisi. 7 (1): 134–156. Bibcode:1971JCoPh ... 7..134G. doi:10.1016/0021-9991(71)90054-4.
• Anderson, James B. (1975). "Schrödinger denkleminin rastgele yürüyüş simülasyonu: H + 3". Kimyasal Fizik Dergisi. 63 (4): 1499. Bibcode:1975JChPh..63.1499A. doi:10.1063/1.431514.
• [1] B.L. Hammond, W.A Lester, Jr. ve P.J. Reynolds "Ab Initio Quantum Chemistry'de Monte Carlo Yöntemleri" (World Scientific, 1994) s, Monte Carlo.