Doğrudan çoklu çekim yöntemi - Direct multiple shooting method

Alanında matematik olarak bilinir sayısal adi diferansiyel denklemler, doğrudan çoklu çekim yöntemi bir Sayısal yöntem çözümü için sınır değer problemleri. Yöntem, bir çözümün arandığı aralığı daha küçük aralıklara böler, daha küçük aralıkların her birinde bir başlangıç ​​değeri problemini çözer ve tüm aralık üzerinde bir çözüm oluşturmak için ek eşleştirme koşulları uygular. Yöntem, doğrusal olmama dağılımında önemli bir gelişme teşkil eder ve sayısal kararlılık tek üzerinde atış yöntemleri.

Tek çekim yöntemleri

Sınır değer problemlerini (BVP) çözmek için çekim yöntemleri kullanılabilir.

${ Displaystyle y '' (t) = f (t, y (t), y '(t)), dört y (t_ {a}) = y_ {a}, dört y (t_ {b}) = y_ {b},}$

hangi zaman noktasında t_a ve t_b biliniyor ve arıyoruz

${ displaystyle y (t), quad t in (t_ {a}, t_ {b}).}$

Tekli çekim yöntemleri aşağıdaki şekilde devam eder. İzin Vermek y(t; t₀, y₀) başlangıç ​​değer probleminin (IVP) çözümünü belirtir

${ displaystyle y '' (t) = f (t, y (t), y '(t)), dört y (t_ {0}) = y_ {0}, dört y' (t_ {0} ) = p}$

İşlevi tanımlayın F(p) arasındaki fark olarak y(t_b; p) ve belirtilen sınır değeri y_b: F(p) = y(t_b; p) − y_b. Sonra her çözüm için (y_a, y_b) sahip olduğumuz sınır değeri probleminin y_a=y₀ süre y_b bir kök nın-nin F. Bu kök herhangi biri tarafından çözülebilir kök bulma yöntemi yönteme bağlı belirli ön koşulların karşılandığı göz önüne alındığında. Bu genellikle ilk tahminler gerektirir. y_a ve y_b. Tipik olarak, analitik kök bulma imkansızdır ve aşağıdaki gibi yinelemeli yöntemler: Newton yöntemi bu görev için kullanılır.

Sınır değeri problemlerinin sayısal çözümü için tek çekim uygulamasının birçok dezavantajı vardır.

• Belirli bir başlangıç ​​değeri için y₀ IVP'nin çözümü belli ki aralıkta olmalıdır [t_a,t_b] böylece işlevi değerlendirebiliriz F kökü aranıyor.

Doğrusal olmayan veya kararsız ODE'ler için bu, ilk tahmini gerektirir y₀ gerçek ama bilinmeyen bir çözüme son derece yakın olmak y_a. Gerçek çözümün biraz dışında seçilen ilk değerler, ODE çözücü yönteminde tekilliklere veya bozulmaya yol açabilir. Yinelemeli bir kök bulma yönteminde bu tür çözümlerin seçilmesi kaçınılmazdır.

• Sonlu kesinlik sayısalları, tüm zaman aralığında ODE'nin çözümüne izin veren başlangıç ​​değerlerinin bulunmasını tamamen imkansız kılabilir.
• ODE'nin doğrusal olmama durumu, etkin bir şekilde Fve doğrusal olmayan sistemleri çözebilen bir kök bulma tekniği gerektirir. Doğrusal olmayan durumlar daha şiddetli hale geldikçe bu tür yöntemler tipik olarak daha yavaş yakınsar. Sınır değeri problem çözücünün performansı bundan muzdariptir.
• Stabil ve iyi şartlandırılmış ODE'ler bile kararsız ve kötü koşullu BVP'ler oluşturabilir. İlk değer tahmininde küçük bir değişiklik y₀ ODE çözümünde son derece büyük bir adım oluşturabilir y(t_b; t_a, y₀) ve dolayısıyla işlevin değerlerinde F kökü aranıyor. Analitik olmayan kök bulma yöntemleri nadiren bu davranışla başa çıkabilir.

Çoklu çekim

Doğrudan çoklu çekim yöntemi aralığı böler [t_a, t_b] ek ızgara noktaları ekleyerek

${ displaystyle t_ {a} = t_ {0}$.

Yöntem, bir şekilde değerlerinin tahmin edilmesiyle başlar y tüm ızgara noktalarında t_k 0 ≤ ile k ≤ N - 1. Bu tahminleri şu şekilde belirtin: y_k. İzin Vermek y(t; t_k, y_k) ortaya çıkan çözümü gösterir kızgara noktası, yani başlangıç ​​değer probleminin çözümü

${ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), quad y (t_ {k}) = y_ {k}.}$

Tüm bu çözümler, değerler, sürekli bir yörünge oluşturmak için bir araya getirilebilir. y ızgara noktalarında eşleşir. Bu nedenle, sınır değeri sorununun çözümleri, aşağıdaki sistemin çözümlerine karşılık gelir: N denklemler:

${ displaystyle { başla {hizalı} & y (t_ {1}; t_ {0}, y_ {0}) = y_ {1} & qquad qquad vdots & y (t_ {N-1} ; t_ {N-2}, y_ {N-2}) = y_ {N-1} & y (t_ {N}; t_ {N-1}, y_ {N-1}) = y_ {b} . end {hizalı}}}$

Merkez N−2 denklemler eşleşme koşullarıdır ve ilk ve son denklemler koşullardır y(t_a) = y_a ve y(t_b) = y_b sınır değer probleminden. Çoklu atış yöntemi, bu denklem sistemini çözerek sınır değeri problemini çözer. Tipik olarak, bir değişiklik Newton yöntemi ikinci görev için kullanılır.

Çoklu çekim ve paralel zamanlı yöntemler

Türetmek için çoklu atış kabul edildi paralel için çözücüler ilk değer problemleri.^[1]Örneğin, Parareal Zaman içinde paralel entegrasyon yöntemi, özel bir yaklaşımla çoklu çekim algoritması olarak türetilebilir. Jacobian.^[2]

Referanslar

• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Sayısal Analize Giriş (3. baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95452-3. Bkz. Bölüm 7.3.5 ve daha fazlası.
• Bock, Hans Georg; Plitt, Karl J. (1984), "Optimal kontrol problemlerinin doğrudan çözümü için çoklu atış algoritması", 9. IFAC Dünya Kongresi Bildirileri (PDF), Budapeşte
• Morrison, David D .; Riley, James D .; Zancanaro, John F. (Aralık 1962), "İki noktalı sınır değer problemleri için çoklu çekim yöntemi" (PDF), Commun. ACM, 5 (12): 613–614, doi:10.1145/355580.369128