Çift entegratör - Double integrator

İçinde sistemler ve kontrol teorisi, çift ​​entegratör kanonik bir örnektir ikinci emir kontrol sistemi.^[1] Tek boyutlu uzayda basit bir kütlenin dinamiklerini zamanla değişen bir kuvvet girdisinin etkisi altında modeller. ${ displaystyle { textbf {u}}}$.

Diferansiyel denklemler

Çift entegratörü temsil eden diferansiyel denklemler şunlardır:

${ displaystyle { ddot {q}} = u (t)}$

${ displaystyle y = q (t)}$

ikisi de nerede ${ displaystyle q (t), u (t) in mathbb {R}}$Şimdi bunu durum uzay formunda vektör ile gösterelim. ${ displaystyle { textbf {x (t)}} = { begin {bmatrix} q { dot {q}} end {bmatrix}}}$

${ displaystyle { dot { textbf {x}}} (t) = { frac {d { textbf {x}}} {dt}} = { begin {bmatrix} { dot {q}} { ddot {q}} uç {bmatrix}}}$

Bu gösterimde, kontrol girişinin ${ displaystyle { textbf {u}}}$ çıktının ikinci türevidir ${ displaystyle { textbf {x}}}$. Skaler formda, kontrol girişi, çıktının ikinci türevidir. ${ displaystyle q}$

Durum uzayı gösterimi

Bir çift entegratörün normalleştirilmiş durum uzayı modeli şu şekildedir:

${ displaystyle { dot { textbf {x}}} (t) = { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}} { textbf {x}} (t) + { begin {bmatrix} 0 1 end {bmatrix}} { textbf {u}} (t)}$

${ displaystyle { textbf {y}} (t) = { begin {bmatrix} 1 & 0 end {bmatrix}} { textbf {x}} (t).}$

Bu modele göre, girdi ${ displaystyle { textbf {u}}}$ çıktının ikinci türevi ${ displaystyle { textbf {y}}}$, dolayısıyla adı çift entegratördür.

Transfer fonksiyonu gösterimi

Almak Laplace dönüşümü durum uzayı girdi-çıktı denkleminin, transfer işlevi çift ​​entegratörün% 'si tarafından verilir

${ displaystyle { frac {Y (s)} {U (s)}} = { frac {1} {s ^ {2}}}.}$

Bağımlı diferansiyel denklemleri kullanma ${ displaystyle q (t), y (t), u (t)}$ ve ${ displaystyle { textbf {x (t)}}}$ve durum uzayı gösterimi:

Referanslar