Çift nesne - Dual object

İçinde kategori teorisi bir dalı matematik, bir ikili nesne bir analogudur ikili vektör uzayı itibaren lineer Cebir için nesneler keyfi olarak monoidal kategoriler. Bu, yalnızca kategorik özelliklerine dayanan kısmi bir genellemedir. ikilik için sonlu boyutlu vektör uzayları. Bir ikiliyi kabul eden nesneye a ikili hale getirilebilir nesne. Bu formalizmde, sonsuz boyutlu vektör uzayları dualize edilemez, çünkü ikili vektör uzayı V^∗ aksiyomları karşılamıyor.^[1] Çoğunlukla, bir nesne yalnızca bazı sonluluk veya kompaktlık özelliğini karşıladığında ikiye katlanabilir.^[2]

Bir kategori her nesnenin bir ikiliye sahip olduğu özerk veya katı. Standart ile sonlu boyutlu vektör uzayları kategorisi tensör ürünü katıdır, tüm vektör uzaylarının kategorisi değildir.

Motivasyon

İzin Vermek V bazılarının üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı olabilir alan K. Standart bir kavram ikili vektör uzayı V^∗ şu özelliğe sahiptir: herhangi biri için K-vektör uzayları U ve W bir ek Hom_K(U ⊗ V,W) = Hom_K(U, V^∗ ⊗ W) ve bu karakterize eder V^∗ benzersiz bir izomorfizm. Bu ifade, herhangi bir kategoride, uygun bir ikame ile anlamlıdır. tensör ürünü vektör uzayları. Herhangi tek biçimli kategori (C, ⊗) bir nesnenin bir ikilisini tanımlamaya çalışabilir V nesne olmak V^∗ ∈ C Birlikte doğal izomorfizm nın-nin bifunctors

Hom_C((–)₁ ⊗ V, (–)₂) → Hom_C((–)₁, V^∗ ⊗ (–)₂)

İyi huylu bir dualite kavramı için, bu harita sadece kategori teorisi anlamında doğal olmamalı, aynı zamanda monoidal yapıya bir şekilde saygı göstermelidir.^[1] İkili bir nesnenin gerçek tanımı bu nedenle daha karmaşıktır.

İçinde kapalı tek biçimli kategori C, yani bir tek biçimli kategori iç Hom functor, alternatif bir yaklaşım, bir ikili vektör uzayının standart tanımını bir uzay olarak simüle etmektir. görevliler. Bir nesne için V ∈ C tanımlamak V^∗ olmak ${displaystyle {underline {mathrm {Hom}}} _ {C} (V, mathbb {1} _ {C})}$, nerede 1_C monoidal kimliktir. Bazı durumlarda, bu nesne bir çift nesne olacaktır. V yukarıda bir anlamda, ancak genel olarak farklı bir teoriye götürür.^[3]

Tanım

Bir nesne düşünün ${displaystyle X}$ içinde tek biçimli kategori ${displaystyle (mathbf {C}, otimes, I, alpha, lambda, ho)}$. Nesne ${displaystyle X ^ {*}}$ denir sol ikili nın-nin ${displaystyle X}$ iki morfizm varsa

${displaystyle eta: I o Xotimes X ^ {*}}$, aradı birlikte değerlendirme, ve ${displaystyle varepsilon: X ^ {*} otimes X o I}$, aradı değerlendirme,

öyle ki aşağıdaki iki diyagram işe gidip gelir:

ve

Nesne ${displaystyle X}$ denir sağ ikili nın-nin ${displaystyle X ^ {*}}$. Bu tanımın sebebi Dold ve Puppe (1980).

Sol ikili, sağ ikili olduğu gibi, var olduklarında kanonik olarak izomorftur. Ne zaman C dır-dir örgülü (veya simetrik ), her sol ikili aynı zamanda bir sağ çifttir ve bunun tersi de geçerlidir.

Tek biçimli bir kategoriyi bir iki kategori tek bir nesneyle, çift çift tam olarak ek çift.

Örnekler

• Tek biçimli bir kategori düşünün (Vect_K, ⊗_K) alan üzerindeki vektör uzaylarının K standart tensör ürünü ile. Bir boşluk V ancak ve ancak sonlu boyutlu ise ikili hale getirilebilir ve bu durumda ikili nesne V^∗ standart bir kavram olan a ikili vektör uzayı.
• Tek biçimli bir kategori düşünün (Mod_R, ⊗_R) nın-nin modüller üzerinde değişmeli halka R standart ile tensör ürünü. Bir modül M eğer ve ancak bir sonlu oluşturulmuş projektif modül. Bu durumda ikili nesne M^∗ modülü tarafından da verilir homomorfizmler Hom_R(M, R).
• Bir düşünün homotopi kategorisi nın-nin işaretlendi tayf Ho (Sp) ile parçalamak ürün monoidal yapı olarak. Eğer M bir kompakt mahalle geri çekilmesi içinde ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (örneğin, kompakt düz manifold ), sonra karşılık gelen sivri spektrum Σ^∞(M⁺) ikiye katlanabilir. Bu bir sonucudur Spanier-Whitehead ikiliği özellikle ima eden Poincaré ikiliği kompakt manifoldlar için.^[1]
• Kategori ${displaystyle mathrm {End} (mathbf {C})}$ nın-nin endofunctors bir kategorinin ${displaystyle mathbf {C}}$ bileşimi altında tek biçimli bir kategoridir functors. Bir functor ${displaystyle F}$ bir işlevin sol çifti ${displaystyle G}$ iff ${displaystyle F}$ bitişik bırakılır ${displaystyle G}$.^[4]

İkili kategoriler

Her nesnenin bir sol (sırasıyla sağ) ikiliye sahip olduğu tek biçimli bir kategori, bazen ayrıldı (sırasıyla sağ) özerk kategori. Cebirsel geometriler ona ara ayrıldı (sırasıyla sağ) katı kategori. Her nesnenin hem sol hem de sağ ikilisine sahip olduğu tek biçimli bir kategoriye özerk kategori. Aynı zamanda özerk bir kategori simetrik denir kompakt kapalı kategori.

İzler

Herhangi bir endomorfizm f çiftleştirilebilir bir nesnenin iz monoidal biriminin belirli bir endomorfizmi olan C. Bu kavram, çok özel durumlarda, doğrusal cebirde iz ve Euler karakteristiği bir zincir kompleksi.

Ayrıca bakınız

• Nesneyi ikileme

Referanslar

• Dold, Albrecht; Puppe, Dieter (1980), "Dualite, trace ve transfer", Uluslararası Geometrik Topoloji Konferansı Bildirileri (Varşova, 1978), PWN, Varşova, s. 81–102, BAY  0656721
• Peter Freyd ve David Yetter (1989). "Düşük Boyutlu Topoloji Uygulamaları ile Örgülü Kompakt Kapalı Kategoriler". Matematikteki Gelişmeler. 77 (2): 156–182. doi:10.1016/0001-8708(89)90018-2.
• André Joyal ve Ross Caddesi. "Tensör Analizinin Geometrisi II". Synthese Kitaplığı. 259: 29–68.

Bu kategori teorisi ile ilgili makale bir Taslak. Wikipedia'ya şu yolla yardım edebilirsiniz: genişletmek.