Dualite boşluğu - Duality gap

İçinde optimizasyon sorunları içinde Uygulamalı matematik, dualite boşluğu arasındaki fark ilkel ve ikili çözümler. Eğer ${ displaystyle d ^ {*}}$ optimal ikili değerdir ve ${ displaystyle p ^ {*}}$ optimal birincil değer ise dualite boşluğu şuna eşittir: ${ displaystyle p ^ {*} - d ^ {*}}$. Bu değer her zaman 0'dan büyük veya 0'a eşittir (en aza indirme sorunları için). Dualite açığı sıfırdır ancak ve ancak güçlü ikilik tutar. Aksi takdirde boşluk kesinlikle olumludur ve zayıf ikilik tutar.^[1]

Genel olarak iki verilir çift ​​çiftler ayrılmış yerel dışbükey boşluklar ${ displaystyle sol (X, X ^ {*} sağ)}$ ve ${ displaystyle sol (Y, Y ^ {*} sağ)}$. Sonra fonksiyon verildi ${ displaystyle f: X - mathbb {R} cup {+ infty }}$, temel problemi şu şekilde tanımlayabiliriz:

${ displaystyle inf _ {x içinde X} f (x). ,}$

Kısıtlama koşulları varsa, bunlar işlevin içine yerleştirilebilir ${ displaystyle f}$ izin vererek ${ displaystyle f = f + I _ { text {kısıtlamalar}}}$ nerede ${ displaystyle I}$ ... gösterge işlevi. O zaman izin ver ${ displaystyle F: X times Y - mathbb {R} cup {+ infty }}$ olmak tedirginlik işlevi öyle ki ${ displaystyle F (x, 0) = f (x)}$. dualite boşluğu ile verilen fark

${ displaystyle inf _ {x X'te} [F (x, 0)] - sup _ {y ^ {*} Y'de ^ {*}} [- F ^ {*} (0, y ^ {*})]}$

nerede ${ displaystyle F ^ {*}}$ ... dışbükey eşlenik her iki değişkende.^[2][3][4]

Hesaplamalı olarak optimizasyon, sık sık başka bir "ikilik açığı" rapor edilir; bu, herhangi bir ikili çözüm ile birincil problem için uygulanabilir ancak yetersiz bir yinelemenin değeri arasındaki değer farkıdır. Bu alternatif "ikilik açığı", birincil problem için mevcut uygulanabilir ancak yetersiz yinelemenin değeri ile ikili problemin değeri arasındaki tutarsızlığı nicelleştirir; ikili problemin değeri, düzenlilik koşulları altında, değerin değerine eşittir. dışbükey gevşeme İlk sorunun çözümü: Dışbükey gevşeme, dışbükey olmayan uygulanabilir bir setin kapalı olanla değiştirilmesinden kaynaklanan problemdir. dışbükey örtü ve dışbükey olmayan bir işlevi dışbükey ile değiştirerek kapatma bu, sahip olan işlevdir. kitabesi bu, orijinal birincil amaç fonksiyonunun kapalı dışbükey gövdesidir.^{[5][6][7][8][9][10][11][12][13]}

Referanslar