Etkili örnek boyutu - Effective sample size

İçinde İstatistik, etkili örnek boyutu örnekteki gözlemler, bir dağılımdan alınan örnek için tanımlanan bir kavramdır. bağlantılı veya ağırlıklı.^[1]

İlişkili gözlemler

Birkaç gözlemden oluşan bir örnek düşünün ${ displaystyle y_ {i}}$ ile bir dağıtımdan alınır anlamına gelmek ${ displaystyle mu}$ ve standart sapma ${ displaystyle sigma}$. Daha sonra bu dağılımın ortalaması, örneklemin ortalamasına göre tahmin edilir:

${ displaystyle { hat { mu}} = { frac {1} {n}} toplam _ {i = 1} ^ {n} y_ {i}.}$

Bu durumda, varyans nın-nin ${ displaystyle { hat { mu}}}$ tarafından verilir

${ displaystyle operatorname {Var} ({ hat { mu}}) = { frac { sigma ^ {2}} {n}}}$

Bununla birlikte, örnekteki gözlemler birbiriyle bağlantılıysa, o zaman ${ displaystyle operatöradı {Var} ({ hat { mu}})}$ biraz daha yüksek. Örneğin, örnekteki tüm gözlemler tamamen korelasyonluysa (${ displaystyle rho _ {(i, j)} = 1}$), sonra ${ displaystyle operatöradı {Var} ({ hat { mu}}) = sigma ^ {2}}$ gözetilmeksizin ${ displaystyle n}$.

Etkili örnek boyutu ${ displaystyle n _ { text {eff}}}$ benzersiz değerdir (mutlaka bir tam sayı değildir) öyle ki

${ displaystyle operatorname {Var} ({ hat { mu}}) = { frac { sigma ^ {2}} {n _ { text {eff}}}}}$

${ displaystyle n _ { text {eff}}}$ örnekteki gözlemler arasındaki korelasyonun bir fonksiyonudur. Tüm korelasyonların aynı olduğunu ve negatif olmadığını varsayalım, yani ${ displaystyle i neq j}$, sonra ${ displaystyle rho _ {(i, j)} = rho geq 0}$. Bu durumda, eğer ${ displaystyle rho = 0}$, sonra ${ displaystyle n _ { text {eff}} = n}$. Benzer şekilde, if ${ displaystyle rho = 1}$ sonra ${ displaystyle n _ { text {eff}} = 1}$. Daha genel olarak,

${ displaystyle n _ { text {eff}} = { frac {n} {1+ (n-1) rho}}}$

Korelasyonların tek tip olmadığı durum biraz daha karmaşıktır. Korelasyon negatifse, etkili örnek boyutunun gerçek örnek boyutundan daha büyük olabileceğini unutmayın. Daha genel biçime izin verirsek ${ displaystyle { hat { mu}} = toplam _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} y_ {i}}$ (nerede ${ displaystyle toplamı _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = 1}$) o zaman bir korelasyon matrisini oluşturmak mümkündür. ${ displaystyle n _ { text {eff}}> n}$ tüm korelasyonlar pozitif olsa bile. Sezgisel olarak, maksimal değeri ${ displaystyle n _ { text {eff}}}$ katsayıların tüm seçenekleri üzerinde ${ displaystyle a_ {i}}$ gözlenen verilerin bilgi içeriği olarak düşünülebilir.

Ağırlıklı örnekler

Veriler ağırlıklandırılmışsa (ağırlıklar, toplamları 1'e eşit olacak şekilde normalleştirilir: ${ displaystyle toplamı _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} = 1}$), daha sonra bir örneği oluşturan birkaç gözlem, önceki bazı örneklerle etkin bir şekilde% 100 korelasyonla dağıtımdan çıkarılmıştır. Bu durumda etki şu şekilde bilinir: Kish Etkili Örneklem Büyüklüğü^[2]

${ displaystyle n _ { text {eff}} = { frac {( sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}) ^ {2}} { sum _ {i = 1} ^ { n} w_ {i} ^ {2}}}}$

Referanslar

daha fazla okuma

• M. B., Priestley (1981), Spektral Analiz ve Zaman Serisi 1, Akademik Basın, §5.3.

Ayrıca bakınız

• Tasarım etkisi