Einstein-Hilbert eylemi - Einstein–Hilbert action

Hakkında bir dizi makalenin parçası
Genel görelilik
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Giriş Tarih Matematiksel formülasyon Testler
Temel kavramlar Görelilik ilkesi Görecelilik teorisi Referans çerçevesi Eylemsiz referans çerçevesi Dinlenme çerçevesi Momentum merkezi çerçevesi Işık konisi Eşdeğerlik ilkesi Kütle-enerji denkliği Özel görelilik İki kat özel görelilik de Sitter değişmez özel görelilik Göreliliği ölçeklendir Dünya hattı Uygun zaman Riemann geometrisi Enerji durumu
Olaylar Gravitoelektromanyetizma Kepler sorunu Yerçekimi Yerçekimi alanı Yerçekimi iyi Yerçekimi mercekleme Yerçekimi dalgaları Yerçekimsel kırmızıya kayma Redshift Maviye kayma Zaman uzaması Yerçekimi zaman genişlemesi Shapiro zaman gecikmesi Yer çekimsel potansiyel Yerçekimi sıkıştırma Yerçekimi çökmesi Çerçeve sürükleme Jeodezik etki Görünen ufuk Olay ufku Yerçekimi tekilliği Çıplak tekillik Kara delik Beyaz delik Boş zaman Uzay Zaman Uzay-zaman diyagramları Minkowski uzay-zaman Kapalı zaman benzeri eğri (CTC) Solucan deliği Ellis solucan deliği
Denklemler Biçimler Denklemler Doğrusallaştırılmış yerçekimi Einstein alan denklemleri Friedmann Jeodezik Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Eğrilik değişmezliği (genel görelilik) Lorentzian manifoldu Biçimler ADM BSSN Newman-Penrose Newton sonrası İleri teori Kaluza-Klein teorisi Kuantum yerçekimi Süper yerçekimi
Çözümler Schwarzschild (iç ) Reissner-Nordström Gödel Kerr Kerr-Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-SOMUN Milne Robertson-Walker pp dalgası van Stockum tozu Weyl – Lewis – Papapetrou Vakum çözümü
Teoremler Birkhoff teoremi Geroch'un bölme teoremi Goldberg-Sachs teoremi Lovelock teoremi Saçsız teoremi Penrose-Hawking tekillik teoremleri Pozitif enerji teoremi
Bilim insanları Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaitre Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Yeni adam Yau Thorne diğerleri

Einstein-Hilbert eylemi (olarak da anılır Hilbert eylemi^[1]) içinde Genel görelilik ... aksiyon veren Einstein alan denklemleri içinden en az eylem ilkesi. İle (− + + +) metrik imza eylemin yerçekimi kısmı şu şekilde verilmiştir:^[2]

${ displaystyle S = {1 2'den fazla kappa} int R { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x,}$

nerede ${ displaystyle g = det (g _ { mu nu})}$ belirleyicidir metrik tensör matris, ${ displaystyle R}$ ... Ricci skaler, ve ${ displaystyle kappa = 8 pi Gc ^ {- 4}}$ ... Einstein yerçekimi sabiti (${ displaystyle G}$ ... yerçekimi sabiti ve ${ displaystyle c}$ ... ışık hızı vakumda). Yakınsarsa, integral bütünün üzerinden alınır boş zaman. Yakınlaşmazsa, ${ displaystyle S}$ artık iyi tanımlanmamıştır, ancak keyfi olarak büyük, nispeten kompakt alanlar üzerinde bütünleştirilen değiştirilmiş bir tanım, yine de Einstein denklemini verir. Euler – Lagrange denklemi Einstein-Hilbert eyleminin.

Eylem ilk olarak tarafından önerildi David Hilbert 1915'te.

Tartışma

Bir eylemden hareket denklemleri türetmenin birçok avantajı vardır. Birincisi, genel göreliliğin diğer klasik alan teorileriyle (örneğin Maxwell teorisi ), bir eylem açısından da formüle edilmiştir. Süreçte, türetme, metriği madde alanlarına bağlayan kaynak terim için doğal bir aday tanımlar. Ayrıca, eylemin simetrileri, korunan miktarların kolayca tanımlanmasını sağlar. Noether teoremi.

Genel görelilikte, eylemin genellikle bir eylem olduğu varsayılır. işlevsel metrik (ve madde alanları) ve bağ tarafından verilir Levi-Civita bağlantısı. Palatini formülasyonu Genel görelilik, metrik ve bağlantının bağımsız olduğunu varsayar ve her ikisine göre bağımsız olarak değişir, bu da fermiyonik madde alanlarının tamsayı olmayan spin ile dahil edilmesini mümkün kılar.

Maddenin varlığındaki Einstein denklemleri, Einstein-Hilbert eylemine madde eylemi eklenerek verilir.

Einstein alan denklemlerinin türetilmesi

Teorinin tüm eyleminin Einstein – Hilbert terimi artı bir terim tarafından verildiğini varsayalım. ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}}$ Teoride görünen herhangi bir madde alanını açıklamak.

${ displaystyle S = int sol [{ frac {1} {2 kappa}} R + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} sağ] { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x}$.

(1)

eylem ilkesi sonra bize bir fiziksel yasayı kurtarmak için bu eylemin ters metriğe göre değişiminin sıfır olmasını talep etmemiz gerektiğini söyler.

${ displaystyle { begin {align} 0 & = delta S & = int left [{ frac {1} {2 kappa}} { frac { delta ({ sqrt {-g}} R)} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac { delta ({ sqrt {-g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}} sağ] delta g ^ { mu nu} , mathrm {d} ^ {4} x & = int left [{ frac { 1} {2 kappa}} left ({ frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} right) + { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta ({ sqrt {-g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}} sağ] delta g ^ { mu nu} { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x end {hizalı}}}$.

Bu denklem herhangi bir varyasyon için geçerli olduğundan ${ displaystyle delta g ^ { mu nu}}$, bunu ima eder

${ displaystyle { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt { -g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = - 2 kappa { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta ({ sqrt {- g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}}}$

(2)

... hareket denklemi metrik alan için. Bu denklemin sağ tarafı (tanım gereği) ile orantılıdır. stres-enerji tensörü,^[3]

${ displaystyle T _ { mu nu}: = { frac {-2} { sqrt {-g}}} { frac { delta ({ sqrt {-g}} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}})} { delta g ^ { mu nu}}} = - 2 { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + g _ { mu nu} { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}}$.

Denklemin sol tarafını hesaplamak için Ricci skalerinin varyasyonlarına ihtiyacımız var ${ displaystyle R}$ ve metriğin determinantı. Bunlar, aşağıda verilen gibi standart ders kitabı hesaplamaları ile elde edilebilir ve bu, aşağıda verilene büyük ölçüde dayanmaktadır. Carroll 2004 harvnb hatası: hedef yok: CITEREFCarroll2004 (Yardım).

Riemann tensörü, Ricci tensörü ve Ricci skalerinin varyasyonu

Varyasyonunu hesaplamak için Ricci skaler önce varyasyonunu hesaplıyoruz Riemann eğrilik tensörü ve sonra Ricci tensörünün varyasyonu. Dolayısıyla Riemann eğrilik tensörü şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = kısmi _ { mu} Gama _ { nu sigma} ^ { rho} - kısmi _ { nu} Gama _ { mu sigma} ^ { rho} + Gama _ { mu lambda} ^ { rho} Gama _ { nu sigma} ^ { lambda} - Gama _ { nu lambda} ^ { rho} Gama _ { mu sigma} ^ { lambda}}$.

Riemann eğriliği sadece Levi-Civita bağlantısı ${ displaystyle Gama _ { mu nu} ^ { lambda}}$Riemann tensörünün değişimi şu şekilde hesaplanabilir:

${ displaystyle delta {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = kısmi _ { mu} delta Gama _ { nu sigma} ^ { rho} - kısmi _ { nu} delta Gama _ { mu sigma} ^ { rho} + delta Gama _ { mu lambda} ^ { rho} Gama _ { nu sigma} ^ { lambda } + Gama _ { mu lambda} ^ { rho} delta Gama _ { nu sigma} ^ { lambda} - delta Gama _ { nu lambda} ^ { rho} Gama _ { mu sigma} ^ { lambda} - Gama _ { nu lambda} ^ { rho} delta Gama _ { mu sigma} ^ { lambda}}$.

Şimdi, o zamandan beri ${ displaystyle delta Gama _ { nu sigma} ^ { rho}}$ iki bağlantının farkıdır, bu bir tensördür ve böylece onu hesaplayabiliriz kovaryant türev,

${ displaystyle nabla _ { mu} sol ( delta Gama _ { nu sigma} ^ { rho} sağ) = kısmi _ { mu} ( delta Gama _ { nu sigma} ^ { rho}) + Gama _ { mu lambda} ^ { rho} delta Gama _ { nu sigma} ^ { lambda} - Gama _ { mu nu} ^ { lambda} delta Gama _ { lambda sigma} ^ { rho} - Gama _ { mu sigma} ^ { lambda} delta Gama _ { nu lambda} ^ { rho }}$.

Şimdi yukarıdaki Riemann eğrilik tensörünün varyasyonu için ifadenin bu tür iki terimin farkına eşit olduğunu gözlemleyebiliriz:

${ displaystyle delta {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = nabla _ { mu} sol ( delta Gama _ { nu sigma} ^ { rho} sağ) - nabla _ { nu} left ( delta Gama _ { mu sigma} ^ { rho} sağ)}$.

Şimdi şunun varyasyonunu elde edebiliriz Ricci eğrilik tensörü basitçe Riemann tensörünün varyasyonunun iki endeksini daraltarak ve Palatini kimliği:

${ displaystyle delta R _ { sigma nu} equiv delta {R ^ { rho}} _ { sigma rho nu} = nabla _ { rho} sol ( delta Gama _ { nu sigma} ^ { rho} sağ) - nabla _ { nu} left ( delta Gama _ { rho sigma} ^ { rho} sağ)}$.

Ricci skaler olarak tanımlanır

${ displaystyle R = g ^ { sigma nu} R _ { sigma nu}}$.

Bu nedenle, ters metriğe göre değişimi ${ displaystyle g ^ { sigma nu}}$ tarafından verilir

${ displaystyle { başlar {hizalı} delta R & = R _ { sigma nu} delta g ^ { sigma nu} + g ^ { sigma nu} delta R _ { sigma nu} & = R _ { sigma nu} delta g ^ { sigma nu} + nabla _ { rho} left (g ^ { sigma nu} delta Gama _ { nu sigma} ^ { rho} -g ^ { sigma rho} delta Gama _ { mu sigma} ^ { mu} sağ) uç {hizalı}}}$

İkinci satırda kovaryant türevin metrik uyumluluğunu kullandık, ${ displaystyle nabla _ { sigma} g ^ { mu nu} = 0}$ve Ricci eğriliğinin varyasyonu için daha önce elde edilen sonuç (ikinci terimde, kukla indeksleri yeniden adlandırmak için) ${ displaystyle rho}$ ve ${ displaystyle nu}$ -e ${ displaystyle mu}$ ve ${ displaystyle rho}$ sırasıyla).

Son dönem,

${ displaystyle nabla _ { rho} sol (g ^ { sigma nu} delta Gama _ { nu sigma} ^ { rho} -g ^ { sigma rho} delta Gama _ { mu sigma} ^ { mu} sağ)}$yani ${ displaystyle nabla _ { rho} A ^ { rho} eşdeğeri A ^ { lambda} {} _ {; lambda}}$ ile ${ displaystyle A ^ { rho} = g ^ { sigma nu} delta Gama _ { nu sigma} ^ { rho} -g ^ { sigma rho} delta Gama _ { mu sigma} ^ { mu}}$,

çarpılır ${ displaystyle { sqrt {-g}}}$, bir toplam türev, o zamandan beri vektör ${ displaystyle A ^ { lambda}}$ Ve herhangi biri tensör yoğunluğu ${ displaystyle { sqrt {-g}} , A ^ { lambda}}$ sahibiz:

${ displaystyle { sqrt {-g}} , A _ {; lambda} ^ { lambda} = ({ sqrt {-g}} , A ^ { lambda}) _ {; lambda} = ({ sqrt {-g}} , A ^ { lambda}) _ {, lambda}}$ veya ${ displaystyle { sqrt {-g}} , nabla _ { mu} A ^ { mu} = nabla _ { mu} sol ({ sqrt {-g}} , A ^ { mu} sağ) = kısmi _ { mu} sol ({ sqrt {-g}} , A ^ { mu} sağ)}$

ve böylece Stokes teoremi yalnızca entegre edildiğinde bir sınır terimi verir. Sınır terimi genel olarak sıfır değildir, çünkü integrand yalnızca şunlara bağlı değildir ${ displaystyle delta g ^ { mu nu},}$ aynı zamanda kısmi türevlerinde ${ displaystyle kısmi _ { lambda} , delta g ^ { mu nu} eşit delta , kısmi _ { lambda} g ^ { mu nu}}$; makaleye bakın Gibbons – Hawking – York sınır terimi detaylar için. Ancak metriğin değişimi ${ displaystyle delta g ^ { mu nu}}$ sınırın bir mahallesinde kaybolursa veya sınır olmadığında, bu terim eylemin çeşitlenmesine katkıda bulunmaz. Ve böylece elde ederiz

${ displaystyle { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} = R _ { mu nu}}$.

(3)

-de Etkinlikler içinde değil kapatma sınırın.

Determinantın varyasyonu

Jacobi'nin formülü, ayırt etme kuralı belirleyici, verir:

${ displaystyle delta g = delta det (g _ { mu nu}) = gg ^ { mu nu} delta g _ { mu nu}}$,

veya bir koordinat sistemine dönüşebilir ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ köşegendir ve sonra ana köşegendeki çarpanların çarpımını ayırt etmek için çarpım kuralını uygular. Bunu kullanarak elde ederiz

${ displaystyle delta { sqrt {-g}} = - { frac {1} {2 { sqrt {-g}}}} delta g = { frac {1} {2}} { sqrt {-g}} left (g ^ { mu nu} delta g _ { mu nu} sağ) = - { frac {1} {2}} { sqrt {-g}} sol (g _ { mu nu} delta g ^ { mu nu} sağ)}$

Son eşitlikte şunu kullandık

${ displaystyle g _ { mu nu} delta g ^ { mu nu} = - g ^ { mu nu} delta g _ { mu nu}}$

bir matrisin tersini ayırt etme kuralından çıkan

${ displaystyle delta g ^ { mu nu} = - g ^ { mu alpha} sol ( delta g _ { alpha beta} sağ) g ^ { beta nu}}$.

Böylece şu sonuca varıyoruz:

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = - { frac {1} {2}} g _ { mu nu}}$.

(4)

Hareket denklemi

Artık tüm gerekli varyasyonlara sahip olduğumuza göre, ekleyebiliriz (3) ve (4) hareket denklemine (2) metrik alan için

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} g _ { mu nu} R = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$,

(5)

hangisi Einstein alan denklemleri, ve

${ displaystyle kappa = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}}}$

göreceli olmayan sınır getirisi olacak şekilde seçilmiştir Newton'un yerçekimi yasasının olağan biçimi, nerede ${ displaystyle G}$ ... yerçekimi sabiti (görmek İşte detaylar için).

Kozmolojik sabit

Zaman kozmolojik sabit Λ dahil edilmiştir Lagrange, eylem:

${ displaystyle S = int sol [{ frac {1} {2 kappa}} (R-2 Lambda) + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} sağ] { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x}$

Ters metriğe göre varyasyonları almak:

${ displaystyle { begin {align} & delta S = int left [{ frac { sqrt {-g}} {2 kappa}} { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} {2 kappa}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { sqrt {-g}} { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} right] delta g ^ { mu nu} mathrm {d} ^ {4} x = & = int left [{ frac {1} {2 kappa}} { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {R} {2 kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {{ mathcal { L}} _ { mathrm {M}}} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} sağ] delta g ^ { mu nu} { sqrt {-g}} , mathrm {d} ^ {4} x end {hizalı}}}$

Kullanmak eylem ilkesi:

${ displaystyle { begin {align} & delta S = 0 & { frac {1} {2 kappa}} { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}} } + { frac {R} {2 kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { frac {{ mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = 0 uç {hizalı}}}$

Bu ifadeyi daha önce elde edilen sonuçlarla birleştirmek:

${ displaystyle { begin {align}} & { frac { delta R} { delta g ^ { mu nu}}} = R _ { mu nu} & { frac {1} { sqrt {-g}}} { frac { delta { sqrt {-g}}} { delta g ^ { mu nu}}} = { frac {-g _ { mu nu}} { 2}} & T _ { mu nu} = { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} g _ { mu nu} -2 { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} uç {hizalı}}}$

Şunları elde edebiliriz:

${ displaystyle { begin {align} & { frac {1} {2 kappa}} R _ { mu nu} + { frac {R} {2 kappa}} { frac {-g _ { mu nu}} {2}} - { frac { Lambda} { kappa}} { frac {-g _ { mu nu}} {2}} + left ({ frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} + { mathcal {L}} _ { mathrm {M}} { frac {-g_ { mu nu}} {2}} right) = 0 & R _ { mu nu} - { frac {R} {2}} g _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} + kappa left (2 { frac { delta { mathcal {L}} _ { mathrm {M}}} { delta g ^ { mu nu}}} - { mathcal { L}} _ { mathrm {M}} g _ { mu nu} right) = 0 & R _ { mu nu} - { frac {R} {2}} g _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} - kappa T _ { mu nu} = 0 end {hizalı}}}$

İle ${ displaystyle kappa = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}}}$ifade, bir ile alan denklemleri olur kozmolojik sabit:

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} g _ { mu nu} R + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}.}$

Ayrıca bakınız

• Belinfante-Rosenfeld tensörü
• Brans-Dicke teorisi (içinde sabit k skaler alanla değiştirilir).
• Einstein-Cartan teorisi
• Einstein – Maxwell – Dirac denklemleri
• f (R) yerçekimi (Ricci skalerinin Ricci eğriliğinin bir fonksiyonu ile değiştirildiği)
• Gibbons – Hawking – York sınır terimi
• Kaluza-Klein teorisi
• Komar süperpotansiyel
• Palatini eylemi
• Teleparalellik
• Tetradik Palatini eylemi
• Genel görelilikte varyasyonel yöntemler
• Vermeil teoremi

Notlar

Kaynakça

• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Yerçekimi, W.H. Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0
• Wald, Robert M. (1984), Genel görelilik, Chicago Press Üniversitesi, ISBN  978-0-226-87033-5
• Carroll, Sean M. (2004), Uzayzaman ve Geometri: Genel Göreliliğe Giriş, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN  978-0-8053-8732-2
• Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik (Almanca orijinal ücretsiz) (25 $ için İngilizce çevirisi), Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407
• Sokolov, D.D. (2001) [1994], "Kozmolojik sabit", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın
• Feynman, Richard P. (1995), Feynman Yerçekimi Üzerine Dersler, Addison-Wesley, ISBN  0-201-62734-5
• Christopher M. Hirata Ders 33: GR'nin Lagrange formülasyonu (27 Nisan 2012).