Equidissection - Equidissection

Bir karenin 6 eşitli dağılımı

İçinde geometri, bir eşit dağılım bir bölüm bir çokgen içine üçgenler eşit alan. Eşit sorunların incelenmesi 1960'ların sonlarında Monsky teoremi, bunu belirtir Meydan tek sayıda üçgene eşitlenemez.[1] Aslında, çoğu çokgenler hiç eşit bölünemez.[2]

Literatürün çoğu, Monsky teoremini daha geniş çokgen sınıflarına genelleştirmeyi amaçlamaktadır. Genel soru şudur: Hangi çokgenler kaç parçaya eşit olarak bölünebilir? Özel dikkat gösterildi yamuk, uçurtmalar, düzenli çokgenler, merkezi simetrik çokgenler, poliominolar, ve hiperküpler.[3]

Equidissections'ın pek çok doğrudan uygulaması yoktur.[4] İlginç olarak kabul edilirler çünkü sonuçlar ilk başta mantıksızdır ve bu kadar basit bir tanıma sahip bir geometri problemi için teori, şaşırtıcı derecede karmaşık cebirsel araçlar gerektirir. Sonuçların çoğu genişlemeye dayanıyor p-adik değerlemeler için gerçek sayılar ve genişleyen Sperner'ın lemması daha genel renkli grafikler.[5]

Genel Bakış

Tanımlar

Bir diseksiyon bir çokgenin P örtüşmeyen ve birliği tümü olan sonlu bir üçgen kümesidir. P. İçine bir diseksiyon n üçgenlere bir n-diseksiyon ve bir hatta diseksiyon veya bir garip diseksiyon göre n dır-dir çift ​​veya tek.[5]

Bir eşit dağılım her üçgenin aynı alana sahip olduğu bir diseksiyondur. Bir çokgen için P, hepsinin seti n bunun için bir n- sıvılaştırma P var denir spektrum nın-nin P ve gösterildi S(P). Genel bir teorik amaç, belirli bir çokgenin spektrumunu hesaplamaktır.[6]

Bir diseksiyon denir basit üçgenler yalnızca ortak kenarlarda buluşursa. Bazı yazarlar, özellikle ikincil literatürde, çalışmaları daha kolay olduğu için, dikkatlerini basit diseksiyonlara sınırlamaktadır. Örneğin, Sperner'ın lemmasının olağan ifadesi yalnızca basit diseksiyonlar için geçerlidir. Genellikle basit diseksiyonlar denir üçgenler üçgenlerin köşeleri çokgenin köşeleri veya kenarlarıyla sınırlı olmasa da. Bu nedenle basit eşit dağılımlar da denir eşit alan üçgenlemeleri.[7]

Terimler daha yüksek boyutlu olarak genişletilebilir politoplar: eşit dağılım kümesidir simpleksler aynısına sahip olmak n-Ses.[8]

Ön bilgiler

Bulmak çok kolay n-Hepsi için bir üçgenin sıvılaştırılması n. Sonuç olarak, bir poligonda bir m-equidissection, sonra ayrıca bir mn-herkes için sıvı giderme n. Aslında, genellikle bir çokgen spektrumu tam olarak belirli bir sayının katlarından oluşur m; bu durumda, hem spektrum hem de çokgen denir müdür ve spektrum gösterilir .[2] Örneğin, bir üçgenin spektrumu . Temel olmayan bir çokgenin basit bir örneği, (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2) köşeli dörtgendir; spektrumu 2 ve 3'ü içerir, ancak 1'i değil.[9]

Afin dönüşümler Düzlemin, eşit dağılımları incelemek için kullanışlıdır. çeviriler, tek tip ve tek tip olmayan ölçekleme, yansımalar, rotasyonlar, makaslar, ve diğeri benzerlikler ve doğrusal haritalar. Afin dönüşüm düz çizgileri ve alan oranlarını koruduğundan, eşit bölümlere eşit bölümler gönderir. Bu, bir çokgene daha yönetilebilir bir biçim verebilecek herhangi bir afin dönüşümü uygulamakta özgür olduğu anlamına gelir. Örneğin, bir çokgenin üç köşesinin (0, 1), (0, 0) ve (1, 0) olacağı şekilde koordinatların seçilmesi yaygındır.[10]

Afin dönüşümlerin eşit dağılımları koruduğu gerçeği, bazı sonuçların kolayca genelleştirilebileceği anlamına da gelir. Normal bir çokgen için belirtilen tüm sonuçlar için de geçerlidir afin-düzenli çokgenler; özellikle, birim kareye ilişkin sonuçlar diğer paralelkenarlar için de geçerlidir. dikdörtgenler ve eşkenar dörtgenler. Çokgenler için belirtilen tüm sonuçlar tamsayı koordinatlar aynı zamanda çokgenler için de geçerlidir. akılcı köşeleri başka herhangi bir yere düşen koordinatlar veya çokgenler kafes.[11]

En iyi sonuçlar

Monsky teoremi bir karenin tuhaf eşit dağılımları olmadığını belirtir, bu nedenle spektrum .[1] Daha genel olarak biliniyor ki merkezi simetrik çokgenler ve poliominolar tuhaf eşit dağılımları yok.[12] Tarafından bir varsayım Sherman K. Stein hayır önermektedir özel çokgen tuhaf bir eşit dağılımı vardır, burada özel bir çokgen, denklik sınıfları nın-nin paralel her toplamın kenarları sıfır vektör. Kareler merkezi simetrik çokgenler, poliominolar, ve poliheksler hepsi özel çokgenlerdir.[13]

İçin n > 4, normal bir spektrum n-gen .[14] İçin n > 1, bir spektrumu nboyutlu küp , nerede n! ... faktöryel nın-nin n.[15] ve bir spektrumu n-boyutlu çapraz politop dır-dir . İkincisi takip eder gerekli değişiklikler yapılarak oktahedronun ispatından [2]

İzin Vermek T(a) olmak yamuk nerede a paralel kenar uzunluklarının oranıdır. Eğer a bir rasyonel sayı, sonra T(a) prensiptir. Aslında, eğer r/s en düşük terimlerle bir kesir, o zaman .[16] Daha genel olarak tümü dışbükey çokgenler rasyonel koordinatlarla eşit olarak dağıtılabilir,[17] hepsi asıl olmasa da; (3/2, 3/2) 'de bir tepe noktası olan yukarıdaki uçurtma örneğine bakın.

Diğer uçta, eğer a bir aşkın sayı, sonra T(a) eşit dağılımı yoktur. Daha genel olarak, tepe koordinatları olan çokgen yok cebirsel olarak bağımsız eşit dağılımlıdır.[18] Bu şu demek Neredeyse hepsi Üçten fazla kenarı olan çokgenler eşit bölünemez. Çoğu çokgen eşit alanlı üçgenler halinde kesilemese de, tüm çokgenler eşit alanlı dörtgenler halinde kesilebilir.[19]

Eğer a bir cebirsel irrasyonel sayı, sonra T(a) daha yanıltıcı bir durumdur. Eğer a cebirseldir derece 2 veya 3 (ikinci dereceden veya kübik) ve onun eşlenikler hepsi olumlu gerçek parçalar, sonra S(T(a)) yeterince büyük olanı içerir n öyle ki n/(1 + a) bir cebirsel tamsayı.[20] Aşağıdakileri içeren benzer bir koşulun kararlı polinomlar spektrumun cebirsel sayılar için boş olup olmadığını belirleyebilir a her dereceden.[21]

Tarih

Eşit dağılım fikri, oldukça eski olması gereken türden temel geometrik bir kavram gibi görünüyor. Aigner ve Ziegler (2010) Monsky teoreminin "cevabın kesinlikle uzun zamandır bilinmesi gerektiği tahmin edilebilirdi (Yunanlılar için değilse)."[22] Ancak eşit dağılımlar üzerine çalışma, Fred Richman'ın hazırladığı 1965 yılına kadar başlamadı. Yüksek lisans sınav New Mexico Eyalet Üniversitesi.

Monsky teoremi

Richman, sınavda geometri ile ilgili bir soru eklemek istedi ve bir karenin garip bir eşit dağılımını bulmanın (şimdi adı verilen) zor olduğunu fark etti. Richman, 3 veya 5 için imkansız olduğunu, bir n-equidissection, bir (n + 2)-diseksiyon ve karelere keyfi olarak yakın olan bazı dörtgenlerin tuhaf eşit dağılımları olduğu.[23] Ancak, karelerin tuhaf eşit dağılımları genel sorununu çözmedi ve sınavın dışında bıraktı. Richman'ın arkadaşı John Thomas sorunla ilgilenmeye başladı; hatırladığı gibi,

"Sorunun sorulduğu herkes (ben dahil) 'bu benim alanım değil ama soru kesinlikle dikkate alınmış olmalı ve cevabı muhtemelen iyi biliniyor' gibi bir şey söyledi. Bazıları onu gördüklerini sandılar ama nerede olduğunu hatırlayamadılar. Bana şunu hatırlattığı için ilgilendim Sperner'in Lemması içinde topoloji, zekice bir tek-çift kanıtı var. "[24]

Thomas, köşelerin koordinatları tek paydalı rasyonel sayılar ise, tuhaf bir eşit dağılımın imkansız olduğunu kanıtladı. Bu kanıtı sundu Matematik Dergisi, ancak beklemeye alındı:

"Hakemin tepkisi tahmin edilebilirdi. Sorunun oldukça kolay olabileceğini düşünüyordu (çözememiş olsa da) ve muhtemelen iyi biliniyordu (buna hiçbir referans bulamamasına rağmen)."[25]

Soru, bunun yerine, American Mathematical Monthly (Richman ve Thomas 1967 ). Başka kimse bir çözüm sunmadığında, kanıt şu adreste yayınlandı: Matematik Dergisi (Thomas 1968 ), yazıldıktan üç yıl sonra. Monsky (1970) daha sonra, herhangi bir rasyonellik varsayımı olmaksızın, bir karenin tuhaf eşit dağılımlarının olmadığını kanıtlamak için Thomas'ın argümanı üzerine inşa edildi.[25]

Monsky'nin kanıtı iki sütuna dayanır: a kombinatoryal Sperner'ın lemmasını genelleyen sonuç ve cebirsel sonuç, bir 2-adic değerleme gerçek sayılarda. Zeki boyama Düzlemin, karenin tüm kesitlerinde, en az bir üçgenin eşit payda olan bir alana sahip olduğu ve bu nedenle tüm eşit dağılımların eşit olması gerektiği anlamına gelir. Argümanın özü zaten Thomas (1968), fakat Monsky (1970) diseksiyonları rastgele koordinatlarla kapsamak için 2 adic değerleme kullanan ilk kişi oldu.[26]

Genellemeler

Monsky teoreminin ilk genellemesi Mead (1979), bir spektrumun olduğunu kanıtlayan nboyutlu küp . Kanıt yeniden ziyaret edildi Bekker ve Netsvetaev (1998).

Düzenli çokgenlere genelleme 1985'te G.D. Chakerian tarafından yürütülen bir geometri semineri sırasında geldi. UC Davis. Bir yüksek lisans öğrencisi olan Elaine Kasimatis, seminere "girebileceği bir cebirsel konu arıyordu".[6] Sherman Stein, kare ve küpün diseksiyonlarını önerdi: "Çakeryalı'nın gönülsüzce kabul ettiği bir konu geometrikti."[6] Konuşmasının ardından Stein, normal beşgenleri sordu. Kasimatis cevapladı Kasimatis (1989), bunu kanıtlamak için n > 5, normal bir spektrum n-gen . Kanıtı, Monsky'nin kanıtına dayanıyor ve p- her asal bölen için karmaşık sayılara adik değerleme n ve teorisinden bazı temel sonuçları uygulamak siklotomik alanlar. Ayrıca, uygun bir koordinat sistemi kurmak için açık bir şekilde afin dönüşümü kullanan ilk kanıttır.[27] Kasimatis ve Stein (1990) daha sonra genel bir çokgenin spektrumunu bulma problemini çerçevelendirerek, spektrum ve müdür.[6] Hemen hemen tüm çokgenlerin eşit bölümlerden yoksun olduğunu ve tüm çokgenlerin temel olmadığını kanıtladılar.[2]

Kasimatis ve Stein (1990) karelerin iki özel genellemesinin spektrumlarını incelemeye başladı: yamuklar ve uçurtmalar. Trapezoidler ayrıca Jepsen (1996), Monsky (1996), ve Jepsen ve Monsky (2008). Uçurtmalar ayrıca Jepsen, Sedberry ve Hoyer (2009). Genel dörtgenler Su ve Ding (2003). Adresinde birkaç makale yazıldı Hebei Normal Üniversitesi, özellikle Profesör Ding Ren ve öğrencileri Du Yatao ve Su Zhanjun tarafından.[28]

Normal sonuçlar için sonuçları genellemeye çalışmak nhatta için -gons n, Stein (1989) hiçbir merkezi simetrik poligonun tuhaf bir eşit dağılım göstermediğini varsaydı ve n = 6 ve n = 8 vaka. Tam varsayım tarafından kanıtlandı Monsky (1990). On yıl sonra Stein, hiçbir poliominonun tuhaf bir eşit dağılımının olmadığını varsayarak "şaşırtıcı bir ilerleme" olarak tanımladığı şeyi yaptı. İçinde tek sayıda kareye sahip bir poliomino'nun sonucunu kanıtladı. Stein (1999). Tam varsayım ne zaman kanıtlandı Praton (2002) çift ​​davayı tedavi etti.

Eşit diseksiyonlar konusu, son zamanlarda aşağıdaki tedavilerle popüler hale gelmiştir: Matematiksel Zeka (Stein 2004 ), bir hacmi Carus Matematiksel Monografiler (Stein ve Szabó 2008 ) ve dördüncü baskısı KİTAP'tan kanıtlar (Aigner ve Ziegler 2010 ).

İlgili sorunlar

Sakai, Nara ve Urrutia (2005) sorunun bir varyasyonunu düşünün: Dışbükey bir çokgen verildiğinde K, alanının ne kadarını kaplayabilir n içinde eşit alana sahip üst üste binmeyen üçgenler K? Mümkün olan en iyi kapsama alanının bulunduğu alana oranı K gösterilir tn(K). Eğer K var n-equidissection, sonra tn(K) = 1; aksi takdirde 1'den küçüktür. Yazarlar, dörtgen için K, tn(K) ≥ 4n/(4n + 1) ile t2(K) = 8/9 ancak ve ancak K yamuk ile yakın bir şekilde uyumludur T(2/3). Bir beşgen için, t2(K) ≥ 2/3, t3(K) ≥ 3/4 ve tn(K) ≥ 2n/(2n + 1) için n ≥ 5.

Günter M. Ziegler 2003'teki ters problemi sordu: Bir çokgenin tamamının n üçgenler, üçgen alanları birbirine ne kadar yakın olabilir? Özellikle, en küçük ve en büyük üçgenlerin alanları arasındaki olası en küçük fark nedir? En küçük fark olsun M(n) bir kare için ve M(a, n) yamuk için T(a). Sonra M(n) çift için 0'dır n ve tek için 0'dan büyük n. Mansow (2003) asimptotik üst sınırı verdi M(n) = O (1 /n2) (görmek Büyük O gösterimi ).[29] Schulze (2011) bağlanmayı geliştirir M(n) = O (1 /n3) daha iyi bir diseksiyonla ve değerlerin var olduğunu kanıtlıyor a hangisi için M(a, n) keyfi olarak hızla azalır. Labbé, Rote ve Ziegler (2018) bir süperpolinom üst sınır elde edin, bu, açık bir yapıdan türetilir. Thue-Mors dizisi.

Referanslar

  1. ^ a b Monsky 1970.
  2. ^ a b c d Kasimatis ve Stein 1990.
  3. ^ Stein 2004.
  4. ^ Stein ve Szabó 2008, s. 108–109.
  5. ^ a b Stein 2004, s. 17.
  6. ^ a b c d Stein ve Szabó 2008, s. 120.
  7. ^ Schulze 2011.
  8. ^ Mead 1979, s. 302.
  9. ^ Stein ve Szabó 2008, s. 126.
  10. ^ Stein ve Szabó 2008, sayfa 121, 128, 131.
  11. ^ Stein 2004, sayfa 12–20.
  12. ^ Monsky 1990; Praton 2002
  13. ^ Stein 2004, s. 20.
  14. ^ Kasimatis 1989.
  15. ^ Mead 1979.
  16. ^ Stein ve Szabó 2008, s. 122.
  17. ^ Su ve Ding 2003.
  18. ^ Görmek Su ve Ding (2003) bu ilkenin daha kesin ifadeleri için.
  19. ^ Hales ve Straus 1982, s. 42.
  20. ^ Jepsen ve Monsky 2008.
  21. ^ Stein 2004, s. 21; Jepsen ve Monsky 2008, s. 3
  22. ^ Aigner ve Ziegler 2010, s. 131.
  23. ^ Thomas 1968, s. 187.
  24. ^ Stein ve Szabó 2008, s. 107.
  25. ^ a b Stein ve Szabó 2008, s. 108.
  26. ^ Monsky 1970, s. 251; Bekker ve Netsvetaev 1998, s. 3492
  27. ^ Stein 2004, s. 18.
  28. ^ Su ve Ding 2003; Du ve Ding 2005
  29. ^ Schulze 2011, s. 2.

Kaynakça

İkincil kaynaklar
  • Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2010), "Bir kare ve tek sayıda üçgen", KİTAP'tan kanıtlar (4. baskı), s. 131–138, doi:10.1007/978-3-642-00856-6_20, ISBN  978-3-642-00855-9, Zbl  1185.00001
  • Barker, William H .; Howe Roger (2007), Sürekli Simetri: Öklid'den Klein'a, Amerikan Matematik Derneği, ISBN  978-0-8218-3900-3
  • Klee, Víctor; Vagon, Stan (1991), Düzlem Geometrisinde ve Sayı Teorisinde Eski ve Yeni Çözülmemiş ProblemlerDolciani Matematiksel Açıklamalar, 11, Amerika Matematik Derneği, ISBN  978-0-88385-315-3
  • Stein, Sherman K. (Mart 2004), "Bir Çokgeni Eşit Alanların Üçgenlerine Kesme", Matematiksel Zeka, 26 (1): 17–21, doi:10.1007 / BF02985395, Zbl  1186.52015
  • Stein, Sherman K.; Szabó, artistic (2008), "Eşit Alanların Üçgenleriyle Döşeme", Cebir ve Döşeme: Geometri Hizmetinde Homomorfizmler, Carus Matematiksel Monografiler, 25, Amerika Matematik Derneği, s. 107–134, ISBN  978-0-88385-041-1, Zbl  0930.52003
  • Sury, Balasubramanyan (2012), "Grup Teorisi ve Döşeme Problemleri" (PDF)Inder Bir S. Passi (ed.), Simetri: Çok Disiplinli Bir Bakış Açısı, Ramanujan Matematik Derneği Ders Notları, 16International Press, s. 97–117, ISBN  978-1-57146-247-3[kalıcı ölü bağlantı ]
Birincil kaynaklar

Dış bağlantılar