Fannes-Audenaert eşitsizliği - Fannes–Audenaert inequality

Fannes-Audenaert eşitsizliği arasındaki farka matematiksel bir sınırdır von Neumann entropileri iki yoğunluk matrisleri onların bir işlevi olarak izleme mesafesi. 2007 yılında Koenraad M.R.Audenaert tarafından kanıtlanmıştır.^[1] Mark Fannes'ın 1973'te yayınlanan orijinal eşitsizliğinin optimal bir iyileştirmesi olarak.^[2] Mark Fannes, matematiksel kuantum mekaniği konusunda uzmanlaşmış Belçikalı bir fizikçidir. O çalışıyor KU Leuven. Koenraad M. R. Audenaert, Belçikalı bir fizikçi ve inşaat mühendisidir. Şu anda çalışıyor Royal Holloway, Londra Üniversitesi.

Eşitsizlik beyanı

Herhangi iki yoğunluk matrisi için ${ displaystyle rho}$ ve ${ displaystyle sigma}$ boyutların ${ displaystyle d}$,

${ displaystyle | S ( rho) -S ( sigma) | leq T log (d-1) + H [ {T, 1-T }]}$

nerede

${ displaystyle H [ {p_ {i} }] = - toplam p_ {i} log p_ {i}}$

(Shannon ) olasılık dağılımının entropisi ${ displaystyle {p_ {i} }}$,

${ displaystyle S ( rho) = H [ { lambda _ {i} }]}$

bir matrisin (von Neumann) entropisidir ${ displaystyle rho}$ özdeğerlerle ${ displaystyle lambda _ {i}}$, ve

${ displaystyle T ( rho, sigma) = { frac {1} {2}} || rho - sigma || _ {1} = { frac {1} {2}} mathrm {Tr } sol [{ sqrt {( rho - sigma) ^ { hançer} ( rho - sigma)}} sağ]}$

iki matris arasındaki izleme mesafesidir. İçin temel olduğunu unutmayın. logaritma Eşitsizliğin her iki tarafında da aynı taban kullanıldığı sürece keyfidir.

Audenaert, yalnızca izleme mesafesi göz önüne alındığında T ve boyutd- bu en uygun ciltli. Bunu, herhangi bir değer için sınırı doyuran bir matris çiftini doğrudan göstererek yaptı. T ved. Matrisler (aynı temelde köşegen olan, yani işe gidip gelirler)

${ displaystyle rho = mathrm {Diyag} (1-T, T / (d-1), noktalar, T / (d-1))}$

${ displaystyle sigma = mathrm {Diag} (1,0, noktalar, 0)}$

Fannes'ın eşitsizliği ve Audenaert'in iyileştirmesi

Fannes tarafından kanıtlanan orijinal eşitsizlik

${ Displaystyle | S ( rho) -S ( sigma) | leq 2T günlük (d) -2T 2T}$

ne zaman ${ displaystyle T leq 1 / 2e}$. Daha zayıf eşitsizliği de kanıtladı

${ Displaystyle | S ( rho) -S ( sigma) | leq 2T günlük (d) + 1 / (e log 2)}$

hangisi daha büyük için kullanılabilirT.

Fannes, bu eşitsizliği kanıtlamanın bir yolu olarak kanıtladı. süreklilik of von Neumann entropisi optimal bir sınır gerektirmeyen. İspat oldukça derli topludur ve Nielsen ve Chuang'ın ders kitabında bulunabilir.^[3] Öte yandan Audenaert'in optimal eşitsizlik kanıtı önemli ölçüde daha karmaşıktır.

Referanslar