Çerçeve (doğrusal cebir) - Frame (linear algebra)

İçinde lineer Cebir, bir çerçeve bir iç çarpım alanı bir genellemedir vektör uzayının temeli olabilecek setlere doğrusal bağımlı. Terminolojisinde sinyal işleme bir çerçeve, bir çerçeveyi temsil etmenin yedekli ve kararlı bir yolunu sağlar. sinyal.^[1] Çerçeveler kullanılır hata tespiti ve düzeltme ve tasarım ve analizi filtre bankaları ve daha genel olarak Uygulamalı matematik, bilgisayar Bilimi, ve mühendislik.^[2]

Tanım ve motivasyon

Motive edici örnek: Doğrusal olarak bağımlı bir kümeden bir temel hesaplama

Bir dizi vektörümüz olduğunu varsayalım ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ vektör uzayında V ve keyfi bir unsuru ifade etmek istiyoruz ${displaystyle mathbf {v} V}$ vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$yani katsayıları bulmak istiyoruz ${displaystyle c_ {k}}$ öyle ki

${displaystyle mathbf {v} = toplam _ {k} c_ {k} mathbf {e} _ {k}}$

Eğer set ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ yayılmıyor ${displaystyle V}$, o zaman bu tür katsayılar böyle her biri için mevcut değildir ${displaystyle mathbf {v}}$. Eğer ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ aralıklar ${displaystyle V}$ ve ayrıca Doğrusal bağımsız, bu set bir temel nın-nin ${displaystyle V}$ve katsayılar ${displaystyle c_ {k}}$ tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir ${displaystyle mathbf {v}}$. Ancak, ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ aralıklar ${displaystyle V}$ ancak doğrusal olarak bağımsız değildir, katsayıların nasıl belirleneceği sorusu daha az belirgin hale gelir, özellikle ${displaystyle V}$ sonsuz boyuttadır.

Verilen ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ aralıklar ${displaystyle V}$ ve doğrusal olarak bağımlıdır, bir strateji, vektörleri doğrusal olarak bağımsız hale gelene ve bir temel oluşturana kadar kümeden çıkarmaktır. Bu planla ilgili bazı sorunlar var:

1. Kümeden rastgele vektörlerin çıkarılması, kümenin yayılamamasına neden olabilir ${displaystyle V}$ doğrusal olarak bağımsız hale gelmeden önce.
2. Bir temel haline gelinceye kadar vektörleri kümeden çıkarmanın belirli bir yolunu bulmak mümkün olsa bile, bu yaklaşım, küme büyük veya sonsuzsa pratikte uygulanamaz hale gelebilir.
3. Bazı uygulamalarda, temsil etmek için gerekenden daha fazla vektör kullanmak bir avantaj olabilir ${displaystyle mathbf {v}}$. Bu, katsayıları bulmak istediğimiz anlamına gelir ${displaystyle c_ {k}}$ içindeki öğeleri kaldırmadan ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$. Katsayılar ${displaystyle c_ {k}}$ artık benzersiz bir şekilde belirlenmeyecek ${displaystyle mathbf {v}}$. Bu nedenle, vektör ${displaystyle mathbf {v}}$ doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilebilir ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ birden fazla şekilde.

Resmi tanımlama

İzin Vermek V fasulye iç çarpım alanı ve ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}} _ {kin mathbb {N}}}$ bir dizi vektör olmak ${displaystyle V}$. Bu vektörler, çerçeve durumu pozitif gerçek sayılar varsa Bir ve B öyle ki ${displaystyle 0$ ve her biri için ${displaystyle mathbf {v}}$ içinde V,

${displaystyle Aleft | mathbf {v} ight | ^ {2} leq sum _ {kin mathbb {N}} left | langle mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı ight | ^ {2} leq Bleft | mathbf {v} ight | ^ {2}.}$

Çerçeve koşulunu karşılayan bir dizi vektör, bir çerçeve vektör uzayı için.^[3]

Sayılar Bir ve B alt ve üst denir çerçeve sınırları, sırasıyla.^[3] Çerçeve sınırları benzersiz değildir çünkü sayılar şundan küçüktür: Bir ve daha büyük B ayrıca geçerli çerçeve sınırlarıdır. optimal alt sınır ... üstünlük tüm alt sınırların ve optimal üst sınır ... infimum tüm üst sınırların.

Bir çerçeve denir fazla tamamlanmış (veya gereksiz) değilse temel vektör uzayı için.

Analiz operatörü

Şebeke haritalama ${displaystyle mathbf {v} V}$ katsayılar dizisine ${displaystyle c_ {k}}$ denir analiz operatörü çerçevenin. Şu şekilde tanımlanır:^[4]

${displaystyle mathbf {T}: Vmapsto ell ^ {2}, quad mathbf {v} mapsto {c_ {k}} _ {kin mathbb {N}}, quad c_ {k} = langle mathbf {v}, mathbf {e_ {k}} açı}$

Bu tanımı kullanarak çerçeve koşulunu şu şekilde yeniden yazabiliriz:

${displaystyle Aleft | mathbf {v} ight | ^ {2} leq left | mathbf {T} mathbf {v} ight | ^ {2} leq Bleft | mathbf {v} ight | ^ {2}}$

sol ve sağ normların normu gösterdiği yer ${displaystyle V}$ ve orta norm ${displaystyle ell ^ {2}}$ norm.

Sentez operatörü

ek operatör ${displaystyle mathbf {T} ^ {*}}$ analiz operatörünün adı sentez operatörü çerçevenin.^[5]

${displaystyle mathbf {T} ^ {*}: ell ^ {2} mapsto V, quad {c_ {k}} _ {kin mathbb {N}} mapsto mathbf {v}, quad mathbf {v} = sum _ {k } c_ {k} mathbf {e} _ {k}}$

Alt çerçeve sınırı için motivasyon

Bunu herhangi bir vektör istiyoruz ${displaystyle vin V}$ katsayılardan yeniden yapılandırılabilir ${displaystyle {langle mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı} _ {kin mathbb {N}}}$. Bir sabit varsa bu tatmin edilir ${displaystyle A> 0}$ öyle ki herkes için ${displaystyle x, yin V}$ sahibiz:

${displaystyle A | x-y | ^ {2} leq | Tx-Ty | ^ {2}}$

Ayarlayarak ${displaystyle v = x-y}$ ve analiz operatörünün doğrusallığını uygulayarak, bu koşulun aşağıdakilere eşdeğer olduğunu elde ederiz:

${displaystyle A | v | ^ {2} leq | Tv | ^ {2}}$

hepsi için ${displaystyle vin V}$ bu tam olarak alt çerçeve sınır koşulu.

Tarih

Çerçeveleri çevreleyen çeşitli matematiksel bileşenler nedeniyle, çerçeve teorisinin kökleri harmonik ve fonksiyonel analiz, operatör teorisi, lineer Cebir, ve matris teorisi.^[6]

Fourier dönüşümü sinyalleri ayrıştırmanın ve genişletmenin bir yolu olarak yüzyılı aşkın süredir kullanılmaktadır. Bununla birlikte, Fourier dönüşümü, emisyon anı ve bir sinyalin süresi ile ilgili temel bilgileri maskeler. 1946'da, Dennis Gabor bunu aynı anda gürültüyü azaltan, esneklik sağlayan ve yaratan bir teknik kullanarak çözebildi. niceleme önemli sinyal özelliklerini enkapsüle ederken.^[1] Bu keşif, çerçeve teorisine yönelik ilk ortak çabayı işaret ediyordu.

Çerçeve durumu ilk olarak şu şekilde tanımlanmıştır: Richard Duffin ve Albert Charles Schaeffer nonharmonic hakkında 1952 tarihli bir makalede Fourier serisi katsayıları doğrusal olarak bağımlı bir yayılma kümesinin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonunda hesaplamanın bir yolu olarak (terminolojilerinde, a "Hilbert uzayı çerçeve ").^[7] 1980'lerde, Stéphane Mallat, Ingrid Daubechies, ve Yves Meyer analiz etmek için kullanılan çerçeveler dalgacıklar. Günümüzde çerçeveler dalgacıklarla, sinyalle ve görüntü işleme, ve Veri sıkıştırma.

Bazlarla ilişki

Bir çerçeve genelleştirmeyi sağlar Parseval'ın kimliği yani çerçeve koşulu, bir sinyal ve katsayı dizisi arasındaki norm denkliğini korurken.

Eğer set ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ bir çerçeve V, genişler V. Aksi takdirde sıfır olmayan en az bir tane olur ${displaystyle mathbf {v} V}$ hangisi hepsine ortogonal olurdu ${displaystyle mathbf {e} _ {k}}$. Eklersek ${displaystyle mathbf {v}}$ çerçeve durumuna, elde ederiz

${displaystyle Aleft | mathbf {v} ight | ^ {2} leq 0leq Bleft | mathbf {v} ight | ^ {2};}$

bu nedenle ${displaystyle Aleq 0}$alt çerçeve sınırındaki ilk varsayımların ihlalidir.

Bir dizi vektör yayılıyorsa V, bu sete çerçeve çağırmak için yeterli bir koşul değildir. Örnek olarak ${displaystyle V = mathbb {R} ^ {2}}$ ile nokta ürün ve sonsuz küme ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ veren

${displaystyle left {(1,0) ,, (0,1) ,, left (0, {frac {1} {sqrt {2}}} ight) ,, left (0, {frac {1} {sqrt { 3}}} ight), dotsc ight}.}$

Bu set, V ama o zamandan beri ${displaystyle toplamı _ {k} sol | langle mathbf {e} _ {k}, (0,1) açı ight | ^ {2} = 0 + 1 + {frac {1} {2}} + {frac {1 } {3}} + nokta = infty}$, sonlu bir üst çerçeve sınırı seçemeyiz B. Sonuç olarak, set ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ çerçeve değil.

Başvurular

İçinde sinyal işleme her vektör bir sinyal olarak yorumlanır. Bu yorumda, çerçeve vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilen bir vektör, bir gereksiz sinyal. Bir çerçeve kullanarak, temel sinyaller ailesine kıyasla bir sinyalin daha basit, daha seyrek bir temsilini oluşturmak mümkündür (yani, bir sinyali kesinlikle bir dizi doğrusal olarak bağımsız vektörle temsil etmek her zaman en kompakt biçim olmayabilir) .^[8] Bu nedenle çerçeveler, sağlamlık. Bir uzayda aynı vektörü üretmenin bir yolunu sağladıkları için sinyaller çeşitli şekillerde kodlanabilir. Bu kolaylaştırır hata toleransı ve sinyal kaybına karşı dayanıklılık. Son olarak, fazlalık, azaltmak için kullanılabilir gürültü, ses, sinyallerin restorasyonu, güçlendirilmesi ve yeniden yapılandırılması ile ilgili.

Sinyal işlemede, vektör uzayının bir Hilbert uzayı.

Özel durumlar

Sıkı çerçeveler

Bir çerçeve bir sıkı çerçeve Eğer Bir = B; başka bir deyişle, çerçeve genelleştirilmiş bir versiyonunu karşılar Parseval'ın kimliği. Örneğin, birliği k ayrık ortonormal tabanlar bir vektör uzayının dar bir karesidir. Bir = B = k. Sıkı bir çerçeve Parseval çerçeve (bazen a denir normalleştirilmiş çerçeve) Eğer Bir = B = 1. Her birimdik taban bir Parseval çerçevesidir, ancak tersi her zaman doğru değildir.

Bir çerçeve ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}} _ {kin mathbb {N}}}$ için ${displaystyle V}$ çerçeve ile sıkı Bir ancak ve ancak

${displaystyle mathbf {v} = {frac {1} {A}} sum _ {k} langle mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı mathbf {e} _ {k}}$

hepsi için ${displaystyle mathbf {v} V}$.

Eşit norm çerçeve

Bir çerçeve bir eşit norm çerçeve (bazen a denir tek tip çerçeve veya a normalleştirilmiş çerçeve) bir sabit varsa c öyle ki ${displaystyle | e_ {i} | = c}$ her biri için ben. Eşit norm çerçeve, birim norm çerçevesi Eğer c = 1. Bir Parseval (veya sıkı) birim norm çerçevesi bir ortonormal temeldir; böyle bir çerçeve tatmin eder Parseval'ın kimliği.

Eşit açılı çerçeveler

Bir çerçeve bir eşit açılı çerçeve sabitse c öyle ki ${displaystyle | langle e_ {i}, e_ {j} açı | = c}$ her farklı için ben ve j.

Tam çerçeveler

Bir çerçeve bir tam çerçeve çerçevenin hiçbir uygun alt kümesi iç ürün alanını kapsamıyorsa. Bir iç çarpım alanı için her bir temel, alan için tam bir çerçevedir (bu nedenle temel, bir çerçevenin özel bir durumudur).

Genellemeler

Bir Bessel Dizisi çerçeve koşulunun yalnızca üst sınırını karşılayan bir vektörler kümesidir.

Sürekli Çerçeve

Varsayalım H bir Hilbert uzayı, X yerel olarak kompakt bir uzaydır ve ${displaystyle mu}$ yerel olarak sonlu Borel ölçüsü X üzerinde. Sonra bir dizi vektör H, ${displaystyle {f_ {x}} _ {xin X}}$ bir ölçü ile ${displaystyle mu}$ olduğu söyleniyor Sürekli Çerçeve sabitler varsa, ${displaystyle 0$ öyle ki ${displaystyle A || f || ^ {2} leq int _ {X} | langle f, f_ {x} açı | ^ {2} dmu (x) leq B || f || ^ {2}}$ hepsi için ${displaystyle fin H}$.

Misal

Ayrık bir set verildiğinde ${displaystyle Lambda alt kümesi X}$ ve bir ölçü ${displaystyle mu = delta _ {Lambda}}$ nerede ${displaystyle delta _ {Lambda}}$ ... Dirac ölçüsü daha sonra sürekli çerçeve özelliği:

${displaystyle A || f || ^ {2} leq int _ {X} | langle f, f_ {x} açı | ^ {2} dmu (x) leq B || f || ^ {2}}$

azaltır:${displaystyle A || f || ^ {2} leq sum _ {lambda in Lambda} | langle f, f_ {lambda} açı | ^ {2} leq B || f || ^ {2}}$

ve Sürekli Çerçevelerin aslında yukarıda bahsedilen çerçevelerin doğal bir genellemesi olduğunu görüyoruz.

Kesikli durumda olduğu gibi, sürekli çerçevelerle uğraşırken Analiz, Sentez ve Çerçeve operatörlerini tanımlayabiliriz.

Sürekli Analiz Operatörü

Sürekli bir çerçeve verildiğinde ${displaystyle {f_ {x}} _ {xin X}}$ Sürekli Analiz Operatörü operatör eşlemesi ${displaystyle {f_ {x}} _ {xin X}}$ katsayılar dizisine ${displaystyle langle f, f_ {x} açı _ {xin X}}$.

Aşağıdaki gibi tanımlanır:

${displaystyle T: Hmapsto L ^ {2} (X, mu)}$ tarafından ${displaystyle f o langle f, f_ {x} açı _ {xin X}}$

Sürekli Sentez Operatörü

Sürekli Analiz Operatörünün ek operatörü, Sürekli Sentez Operatörü harita hangisi:

${displaystyle T ^ {*}: L ^ {2} (X, mu) H'ye eşlenir}$ tarafından ${displaystyle a_ {x} o int _ {X} a_ {x} f_ {x} dmu (x)}$

Sürekli Çerçeve Operatörü

Sürekli Analiz Operatörünün ve Sürekli Sentez Operatörünün Kompozisyonu, Sürekli Çerçeve Operatörü. Sürekli bir çerçeve için ${displaystyle {f_ {x}} _ {xin X}}$, Sürekli Çerçeve Operatörü aşağıdaki gibi tanımlanır:${displaystyle S: Hmapsto H}$ tarafından ${displaystyle Sf: = int _ {X} langle f, f_ {x} açı f_ {x} dmu (x)}$

Sürekli Çift Çerçeve

Sürekli bir çerçeve verildiğinde ${displaystyle {f_ {x}} _ {xin X}}$ve başka bir sürekli çerçeve ${displaystyle {g_ {x}} _ {xin X}}$, sonra ${displaystyle {g_ {x}} _ {xin X}}$ olduğu söyleniyor Sürekli Çift Çerçeve nın-nin ${displaystyle {f_ {x}}}$ tümü için aşağıdaki koşulu karşılarsa ${displaystyle f, hin H}$:

${displaystyle langle f, hangle = int _ {X} langle f, f_ {x} açı langle g_ {x}, hangle dmu (x)}$

Çift çerçeveler

Çerçeve koşulu, bir dizi çift ​​çerçeve vektörleri ${displaystyle {mathbf {ilde {e}} _ {k}}}$ özelliği ile

${displaystyle mathbf {v} = toplam _ {k} langle mathbf {v}, mathbf {ilde {e}} _ {k} açı mathbf {e} _ {k} = toplam _ {k} langle mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı mathbf {ilde {e}} _ {k}}$

herhangi ${displaystyle mathbf {v} V}$. Bu, ikili çerçevesiyle birlikte bir çerçevenin temel olarak aynı özelliğe sahip olduğu anlamına gelir ve ikili temel skaler ürünlerden bir vektörü yeniden oluşturmak açısından.

İkili bir çerçeve oluşturmak için önce doğrusal haritalamaya ihtiyacımız var ${displaystyle mathbf {S}: Vightarrow V}$, aradı çerçeve operatörü, olarak tanımlandı

${displaystyle mathbf {S} mathbf {v} = sum _ {k} langle mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı mathbf {e} _ {k} = mathbf {T} ^ {*} mathbf { T} mathbf {v}}$.

Bu tanımdan ${displaystyle mathbf {S}}$ ve iç çarpımın ilk argümanındaki doğrusallık,

${displaystyle langle mathbf {S} mathbf {v}, mathbf {v} açı = toplam _ {k} left | langle mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı ight | ^ {2},}$

çerçeve koşulu eşitsizliğinde ikame edildiğinde, verir

${displaystyle Aleft | mathbf {v} ight | ^ {2} leq langle mathbf {S} mathbf {v}, mathbf {v} açı leq Bleft | mathbf {v} ight | ^ {2},}$

her biri için ${displaystyle mathbf {v} V}$.

Çerçeve operatörü ${displaystyle mathbf {S}}$ dır-dir özdeş, pozitif tanımlı ve pozitif üst ve alt sınırlara sahiptir. Ters ${displaystyle mathbf {S} ^ {- 1}}$ nın-nin ${displaystyle mathbf {S}}$ vardır ve o da kendine eşleniktir, pozitif tanımlıdır ve pozitif üst ve alt sınırlara sahiptir.

Çift çerçeve, çerçevenin her bir öğesi ile eşlenerek tanımlanır. ${displaystyle mathbf {S} ^ {- 1}}$:

${displaystyle {ilde {mathbf {e}}} _ {k} = mathbf {S} ^ {- 1} mathbf {e} _ {k}}$

Bunun mantıklı olduğunu görmek için ${displaystyle mathbf {v}}$ unsuru olmak ${displaystyle V}$ ve izin ver

${displaystyle mathbf {u} = sum _ {k} langle mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı {ilde {mathbf {e}}} _ {k}}$.

Böylece

${displaystyle mathbf {u} = sum _ {k} langle mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı (mathbf {S} ^ {- 1} mathbf {e} _ {k}) = mathbf {S } ^ {- 1} left (toplam _ {k} langle mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı mathbf {e} _ {k} ight) = mathbf {S} ^ {- 1} mathbf { S} mathbf {v} = mathbf {v}}$,

ki bunu kanıtlıyor

${displaystyle mathbf {v} = sum _ {k} langle mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı {ilde {mathbf {e}}} _ {k}}$.

Alternatif olarak, izin verebiliriz

${displaystyle mathbf {u} = sum _ {k} langle mathbf {v}, {ilde {mathbf {e}}} _ {k} açı mathbf {e} _ {k}}$.

Yukarıdaki tanımı ekleyerek ${displaystyle {ilde {mathbf {e}}} _ {k}}$ ve özelliklerini uygulamak ${displaystyle mathbf {S}}$ ve tersi

${displaystyle mathbf {u} = sum _ {k} langle mathbf {v}, mathbf {S} ^ {- 1} mathbf {e} _ {k} açı mathbf {e} _ {k} = toplam _ {k} langle mathbf {S} ^ {- 1} mathbf {v}, mathbf {e} _ {k} açı mathbf {e} _ {k} = mathbf {S} (mathbf {S} ^ {- 1} mathbf {v }) = mathbf {v}}$

bunu gösteren

${displaystyle mathbf {v} = sum _ {k} langle mathbf {v}, {ilde {mathbf {e}}} _ {k} açı mathbf {e} _ {k}}$.

Sayılar ${displaystyle langle mathbf {v}, {ilde {mathbf {e}}} _ {k} açı}$ arandı çerçeve katsayıları. İkili çerçevenin bu türevi, Duffin ve Schaeffer tarafından yazılan makaledeki 3. Bölümün bir özetidir.^[7] Terimini kullanıyorlar eşlenik çerçeve burada çift çerçeve denen şey için.

Çift çerçeve ${displaystyle {{ilde {mathbf {e}}} _ {k}}}$ denir kanonik ikili nın-nin ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ çünkü benzer şekilde davranır ikili temel bir temele.

Çerçeve ne zaman ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ aşırı tamamlanmış, bir vektör ${displaystyle mathbf {v}}$ doğrusal bir kombinasyon olarak yazılabilir ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ birden fazla şekilde. Yani, farklı katsayı seçenekleri var ${displaystyle {c_ {k}}}$ öyle ki ${displaystyle mathbf {v} = toplam _ {k} c_ {k} mathbf {e} _ {k}}$. Bu bize katsayı seçimi için biraz özgürlük sağlar ${displaystyle {c_ {k}}}$ ondan başka ${displaystyle langle mathbf {v}, {ilde {mathbf {e}}} _ {k} açı}$. Çerçevenin ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ bu tür diğer katsayılar için fazla tamamlandı ${displaystyle {c_ {k}}}$ varolmaya. Eğer öyleyse, çerçeveler var ${displaystyle {mathbf {g} _ {k}} eq {{ilde {mathbf {e}}} _ {k}}}$ hangisi için

${displaystyle mathbf {v} = sum _ {k} langle mathbf {v}, mathbf {g} _ {k} açı mathbf {e} _ {k}}$

hepsi için ${displaystyle mathbf {v} V}$. Biz ararız ${displaystyle {mathbf {g} _ {k}}}$ çift ​​çerçeve ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$.

Kanonik dualite bir karşılıklılık ilişkisidir, yani çerçeve ${displaystyle {mathbf {ilde {e}} _ {k}}}$ kanonik ikili çerçeve ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$, sonra ${displaystyle {mathbf {e} _ {k}}}$ kanonik ikili çerçeve ${displaystyle {mathbf {ilde {e}} _ {k}}}$.

Ayrıca bakınız

• kçerçeve
• Biorthogonal dalgacık
• Ortogonal dalgacık
• Kısıtlanmış izometri özelliği
• Schauder temeli
• Harmonik analiz
• Fourier analizi
• Fonksiyonel Analiz

Notlar

Referanslar

• Casazza, Peter; Kutyniok, Gitta; Philipp Friedrich (2013). "Sonlu Çerçeve Teorisine Giriş". Sonlu Çerçeveler: Teori ve Uygulamalar. Berlin: Birkhäuser. s. 1–53. ISBN  978-0-8176-8372-6.
• Christensen, Ole (2003). Çerçevelere ve Riesz Tabanlarına Giriş. Uygulamalı ve Sayısal Harmonik Analiz. Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-8224-8. ISBN  978-1-4612-6500-9. BAY  1946982.
• Duffin, Richard James; Schaeffer, Albert Charles (1952). "Ahenkli olmayan bir Fourier serisi sınıfı". Amerikan Matematik Derneği İşlemleri. 72 (2): 341–366. doi:10.2307/1990760. JSTOR  1990760. BAY  0047179.
• Kovačević, Jelena; Chebira, Amina (2008). "Çerçevelere Giriş" (PDF). Sinyal İşlemede Temeller ve Eğilimler. 2 (1): 1–94. doi:10.1561/2000000006.
• Kovacevic, Jelena; Dragotti, Pier Luigi; Goyal Vivek (2002). "Silinmiş Banka Çerçevesi Genişletmelerini Filtrele" (PDF). Bilgi Teorisi Üzerine IEEE İşlemleri. 48 (6): 1439–1450. CiteSeerX  10.1.1.661.2699. doi:10.1109 / TIT.2002.1003832.
• Mallat, Stéphane (2009). Sinyal İşlemede Dalgacık Turu: Seyrek Yol (PDF) (3. baskı). Akademik Basın. ISBN  978-0-12-374370-1. Alındı 2020-08-01.