Fuhrmann üçgeni - Fuhrmann triangle

Fuhrmann üçgeni (kırmızı): ${ displaystyle triangle M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime}}$
yay orta noktaları: ${ displaystyle M_ {a}, M_ {b}, M_ {c}}$

Fuhrmann üçgeni (kırmızı): ${ displaystyle triangle M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime}}$
${ displaystyle triangle M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} sim triangle M_ {a} M_ {b} M_ {c}}$

Fuhrmann üçgeni, adını Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), belirli bir keyfi üçgene dayanan özel üçgendir.

Belirli bir üçgen için ${ displaystyle üçgen ABC}$ ve Onun Çevrel çember yayların üçgen kenarları üzerindeki orta noktaları şu şekilde gösterilir: ${ displaystyle M_ {a}, M_ {b}, M_ {c}}$. Bu orta noktalar, noktaları veren ilişkili üçgen kenarlarında yansıtılır. ${ displaystyle M_ {a} ^ { prime}, M_ {b} ^ { prime}, M_ {c} ^ { prime}}$, oluşturan Fuhrmann üçgeni.^[1][2]

Fuhrmann üçgeninin çevresi, Fuhrmann dairesi. Ayrıca Furhmann üçgeni orta yay noktalarının oluşturduğu üçgene benzer, yani ${ displaystyle triangle M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} sim triangle M_ {a} M_ {b} M_ {c}}$.^[1] Fuhrmann üçgeni alanı için aşağıdaki formül geçerlidir:^[3]

${ displaystyle | üçgen M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} | = { frac {(a + b + c) | OI | ^ {2}} {4R}} = { frac {(a + b + c) (R-2r)} {4}}}$

Nerede ${ displaystyle O}$ verilen üçgenin çevresini gösterir ${ displaystyle üçgen ABC}$ ve ${ displaystyle R}$ yarıçapı ve ${ displaystyle I}$ teşvik edici ve ${ displaystyle r}$ yarıçapı. Nedeniyle Euler teoremi bir de var ${ displaystyle | OI | ^ {2} = R (R-2r)}$. Fuhrmann üçgeninin kenarları için aşağıdaki denklemler geçerlidir:^[3]

${ displaystyle a ^ { prime} = { sqrt { frac {(-a + b + c) (a + b + c)} {bc}}} | OI |}$

${ displaystyle b ^ { prime} = { sqrt { frac {(a-b + c) (a + b + c)} {ac}}} | OI |}$

${ displaystyle c ^ { prime} = { sqrt { frac {(a + b-c) (a + b + c)} {ab}}} | OI |}$

Nerede ${ displaystyle a, b, c}$ verilen üçgenin kenarlarını gösterir ${ displaystyle üçgen ABC}$ ve ${ displaystyle a ^ { prime}, b ^ { prime}, c ^ { prime}}$ Fuhrmann üçgeninin kenarları (çizime bakın).

Referanslar