Temel grup - Fundamental group

İçinde matematiksel alanı cebirsel topoloji, temel grup bir topolojik uzay ... grup of denklik sınıfları altında homotopi of döngüler boşlukta yer alır. Temel şekli veya delikleri hakkındaki bilgileri kaydeder. topolojik uzay. Temel grup ilk ve en basittir homotopi grubu. Temel grup bir homotopi değişmez —Topolojik alanlar homotopi eşdeğeri (veya daha güçlü olan homomorfik ) Sahip olmak izomorf temel gruplar.

Sezgi

Bir boşlukla (örneğin, bir yüzey) başlayın ve içinde bir nokta bulun ve bu noktada hem başlayan hem de biten tüm döngüler — bu noktada başlayan, etrafta dolanan ve sonunda başlangıç ​​noktasına geri dönen yollar. Açık bir şekilde iki ilmek bir araya getirilebilir: ilk ilmek boyunca, sonra ikinci ilmek boyunca hareket. Biri kırılmadan diğerine deforme edilebiliyorsa iki ilmek eşdeğer kabul edilir. Bu birleştirme yöntemiyle tüm bu tür döngülerin kümesi ve aralarındaki bu eşdeğerlik, o belirli alan için temel gruptur.

Tarih

Henri Poincaré 1895'teki makalesinde temel grubu tanımladı "Analiz durumu ".^[1] Kavram teorisinde ortaya çıktı Riemann yüzeyleri, çalışmalarında Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein. Açıklar monodrom özellikleri karmaşık değerli işlevler tam bir topolojik sağlamanın yanı sıra kapalı yüzeylerin sınıflandırılması.

Tanım

Bu makale boyunca, X topolojik bir uzaydır. Tipik bir örnek, sağda gösterilen gibi bir yüzeydir. Dahası, ${displaystyle x_ {0}}$ bir nokta X aradı taban noktası. (Aşağıda açıklandığı gibi, rolü oldukça yardımcıdır.) Homotopi grubunun tanımlanması fikri, üzerinde kaç (geniş anlamda) eğri olduğunu ölçmektir. X birbirine deforme olabilir. Kesin tanım, ilk önce açıklanan döngülerin homotopi kavramına bağlıdır.

Döngülerin homotopisi

Topolojik bir uzay verildiğinde X, bir döngü Dayanarak ${displaystyle x_ {0}}$ olarak tanımlanır sürekli işlev (olarak da bilinir sürekli harita )

${displaystyle gama: [0,1] o X}$

öyle ki hem başlangıç ​​noktası ${displaystyle gama (0)}$ ve son nokta ${görüntü stili gama (1)}$ her ikisi de eşittir ${displaystyle x_ {0}.}$

Döngülerin homotopisi

Bir homotopi iki döngü arasında sürekli bir enterpolasyondur. Daha doğrusu, iki döngü arasında bir homotopi ${displaystyle gama, gama ': [0,1] o X}$ (aynı noktaya göre ${displaystyle x_ {0}}$) sürekli bir haritadır

${displaystyle hcolon [0,1] imes [0,1] o X,}$

öyle ki

• ${displaystyle h (0, t) = x_ {0}}$ hepsi için ${ekran stili teneke [0,1],}$ yani homotopinin başlangıç ​​noktası ${displaystyle x_ {0}}$ hepsi için t (genellikle bir zaman parametresi olarak düşünülür).
• ${displaystyle h (1, t) = x_ {0}}$ hepsi için ${ekran stili teneke [0,1],}$ yani, benzer şekilde bitiş noktası, ${displaystyle x_ {0}}$ hepsi için t.
• ${displaystyle h (r, 0) = gamma (r), h (r, 1) = gamma '(r)}$ hepsi için ${displaystyle rin [0,1].}$

Böyle bir homotopi ise h var, ${görüntü stili gama}$ ve ${displaystyle gamma '}$ Olduğu söyleniyor homotopik. İlişki "${görüntü stili gama}$ homotopik ${displaystyle gamma '}$" bir denklik ilişkisi böylece seti denklik sınıfları düşünülebilir:

${displaystyle pi _ {1} (X, x_ {0}): = {{ext {all loops}} gamma {ext {based at}} x_ {0}} / {ext {homotopy}}}$

Bu küme (aşağıda açıklanan grup yapısıyla), temel grup topolojik uzay X ve temel nokta ${displaystyle x_ {0}.}$ Tüm döngüler kümesinin aksine, homotopiye kadar olan döngülerin eşdeğerlik sınıflarını göz önünde bulundurmanın amacı (sözde döngü alanı nın-nin X), ikincisi, çeşitli amaçlar için yararlı olsa da, oldukça büyük ve hantal bir nesne olmasıdır. Bunun aksine, yukarıdaki bölüm, çoğu durumda daha yönetilebilir ve hesaplanabilirdir.

Grup yapısı

Döngülerin eklenmesi

Yukarıdaki tanıma göre, ${displaystyle pi _ {1} (X, x_ {0})}$ sadece bir settir. Bir grup haline gelir (ve bu nedenle temel adı hak eder grup) döngülerin birleştirilmesini kullanarak. Daha doğrusu, iki döngü verildiğinde ${displaystyle gama _ {0}, gama _ {1},}$ ürünleri döngü olarak tanımlanır

${displaystyle {egin {hizalı} gamma _ {0} cdot gamma _ {1} kolon [0,1] & o X (gamma _ {0} cdot gamma _ {1}) (t) & = {egin {case } gamma _ {0} (2t) & 0leq tleq {frac {1} {2}} gamma _ {1} (2t-1) & {frac {1} {2}} leq tleq 1.son {vakalar}} son {hizalı}}}$

Böylece döngü ${displaystyle gama _ {0} cdot gama _ {1}}$ ilk önce döngüyü takip eder ${displaystyle gama _ {0}}$ "iki kat hız" ile ve ardından ${displaystyle gama _ {1}}$ "iki kat hız" ile.

İki homotopi döngü sınıfının çarpımı ${displaystyle [gama _ {0}]}$ ve ${displaystyle [gama _ {1}]}$ daha sonra olarak tanımlanır ${displaystyle [gama _ {0} cdot gama _ {1}].}$ Bu ürünün temsilci seçimine bağlı olmadığı ve bu nedenle sette iyi tanımlanmış bir işlem sağladığı gösterilebilir. ${displaystyle pi _ {1} (X, x_ {0}).}$ Bu operasyon dönüyor ${displaystyle pi _ {1} (X, x_ {0})}$ bir gruba. Onun nötr öğe sabit döngüdür. ${displaystyle x_ {0}}$ her zaman için t. Döngünün tersi (a'nın homotopi sınıfı) aynı döngüdür, ancak ters yönde geçilir. Daha resmi,

${displaystyle gama ^ {- 1} (t): = gama (1-t).}$

Üç temelli döngü verildiğinde ${displaystyle gama _ {0}, gama _ {1}, gama _ {2},}$ ürün

${displaystyle (gamma _ {0} cdot gamma _ {1}) cdot gamma _ {2}}$

bu döngülerin birleştirilmesidir. ${displaystyle gama _ {0}}$ ve daha sonra ${displaystyle gama _ {1}}$ dört kat hızlı ve ardından ${displaystyle gama _ {2}}$ çift ​​hızlı. Kıyasla,

${displaystyle gama _ {0} cdot (gama _ {1} cdot gama _ {2})}$

aynı yolları (aynı sırayla) geçiyor, ancak ${displaystyle gama _ {0}}$ çift ​​hızlı ve ${displaystyle gama _ {1}, gama _ {2}}$ dört kat hızlı. Bu nedenle, farklı hızlardan dolayı, iki yol aynı değildir. birliktelik aksiyom

${displaystyle [gamma _ {0}] cdot left ([gamma _ {1}] cdot [gamma _ {2}] ight) = left ([gamma _ {0}] cdot [gamma _ {1}] ight) cdot [gama _ {2}]}$

bu nedenle önemli ölçüde, yolların homotopi olarak kabul edilmesine bağlıdır. Aslında, yukarıdaki bileşiklerin her ikisi de homotopiktir, örneğin, üç döngünün tümünden geçen döngü için ${displaystyle gama _ {0}, gama _ {1}, gama _ {2}}$ üçlü hız ile. Yukarıdaki işlemle donatılmış, homotopi'ye kadar olan temel döngüler kümesi bu nedenle dönüyor ${displaystyle pi _ {1} (X, x_ {0})}$ bir gruba.

Temel noktanın bağımlılığı

Temel grup genel olarak taban noktası seçimine bağlı olsa da, ortaya çıkıyor ki, kadar izomorfizm (aslında, hatta iç izomorfizm), bu seçim boşluk olduğu sürece hiçbir fark yaratmaz. X dır-dir yola bağlı. Yol bağlantılı alanlar için, bu nedenle, birçok yazar bu nedenle ${displaystyle pi _ {1} (X)}$ onun yerine ${displaystyle pi _ {1} (X, x_ {0}).}$

Somut örnekler

Bir yıldız alanı basitçe bağlanır çünkü herhangi bir döngü, belirtilen alanın merkezine kısaltılabilir. ${displaystyle x_ {0}}$.

Bu bölüm, temel grupların bazı temel örneklerini listeler. Başlamak için Öklid uzayı (${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$) veya herhangi biri dışbükey alt küme nın-nin ${displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ yalnızca bir homotopi döngü sınıfı vardır ve bu nedenle temel grup, önemsiz grup tek elemanlı. Daha genel olarak herhangi biri yıldız alanı ve daha genel olarak herhangi biri daraltılabilir alan önemsiz bir temel gruba sahiptir. Bu nedenle, temel grup bu tür alanlar arasında ayrım yapmaz.

2-küre

Bir döngü 2 küre (bir topun yüzeyi) bir noktaya kadar daralan

Temel grubu önemsiz olan yol bağlantılı bir alana denir. basitçe bağlı. Örneğin, 2-küre ${displaystyle S ^ {2} = {(x, y, z) matematikte {R} ^ {3} mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}}$ solda tasvir edilmiştir ve ayrıca tüm yüksek boyutlu küreler basitçe bağlantılıdır. Şekil, belirli bir döngüyü sabit döngüye sıkıştıran bir homotopi göstermektedir. Bu fikir tüm döngülere uyarlanabilir ${görüntü stili gama}$ öyle ki bir nokta var ${S ^ içinde displaystyle (x, y, z) {2}}$ yani değil suretinde ${görüntü stili gama.}$ Ancak böyle döngüler olduğundan ${displaystyle gama ([0,1]) = S ^ {2}}$ (... Peano eğrisi, örneğin) tam bir ispat, cebirsel topolojiden araçlarla daha dikkatli analiz gerektirir, örneğin Seifert-van Kampen teoremi ya da hücresel yaklaşım teoremi.

Halka

Çemberin homotopi grubunun unsurları

daire (1-küre olarak da bilinir)

${displaystyle S ^ {1} = {(x, y) matematikte {R} ^ {2} mid x ^ {2} + y ^ {2} = 1}}$

basitçe bağlantılı değildir. Bunun yerine, her bir homotopi sınıfı, çemberin etrafında belirli sayıda dolanan tüm döngülerden oluşur (bu, sarma yönüne bağlı olarak pozitif veya negatif olabilir). Etrafında dolanan bir döngünün ürünü m zamanlar ve etrafta dolanan bir başkası n zamanlar etrafta dolanan bir döngüdür ${displaystyle m + n}$ zamanlar. Bu nedenle, çemberin temel grubu izomorf -e ${displaystyle (mathbb {Z}, +),}$ katkı grubu tamsayılar. Bu gerçek, kanıtı vermek için kullanılabilir. Brouwer sabit nokta teoremi^[2] ve Borsuk-Ulam teoremi 2. boyutta.^[3]

Sekiz rakamı

Sekiz rakamının temel grubu, iki jeneratördeki serbest gruptur. a ve b.

Temel grup sekiz rakamı ... ücretsiz grup iki harf üzerine. Bunu kanıtlama fikri şu şekildedir: taban noktasını iki dairenin kesiştiği nokta olarak seçmek (sağdaki resimde siyah noktalı), herhangi bir döngü ${görüntü stili gama}$ olarak ayrıştırılabilir

${displaystyle gamma = a ^ {n_ {1}} b ^ {m_ {1}} nokta a ^ {n_ {k}} b ^ {m_ {k}}}$

nerede a ve b şeklin her bir yarısının etrafında dolanan iki döngü ve üsler ${displaystyle n_ {1}, dots, n_ {k}, m_ {1}, dots, m_ {k}}$ tam sayıdır. Aksine ${displaystyle pi _ {1} (S ^ {1}),}$ sekiz rakamının temel grubu değil değişmeli: beste yapmanın iki yolu a ve b birbirine homotopik değildir:

${displaystyle [a] cdot [b] eq [b] cdot [a].}$

Daha genel olarak, a'nın temel grubu buket nın-nin r çevreler, üzerindeki ücretsiz gruptur r harfler.

A'nın temel grubu kama toplamı iki yol bağlantılı alan X ve Y şu şekilde hesaplanabilir bedava ürün bireysel temel grupların:

${displaystyle pi _ {1} (Xvee Y) cong pi _ {1} (X) * pi _ {1} (Y).}$

Bu, yukarıdaki gözlemleri genelleştirir çünkü sekiz rakamı iki dairenin kama toplamıdır.

Temel grup uçak patladı n puan aynı zamanda ücretsiz bir gruptur n jeneratörler. ben-nci jeneratör, döngünün etrafında dönen sınıftır. ben- başka herhangi bir deliğin etrafından dolaşmadan delinme.

Grafikler

Temel grup, ayrık yapılar için de tanımlanabilir. Özellikle, bir düşünün bağlantılı grafik G = (V, E), belirlenmiş bir tepe noktası ile v₀ içinde V. Döngüler G başlayan ve biten döngülerdir v₀.^[4] İzin Vermek T olmak yayılan ağaç nın-nin G. Her basit döngü G içinde tam olarak bir kenar içerir E T; her döngüde G bu kadar basit döngülerin bir birleşimidir. Bu nedenle, a'nın temel grubu grafik bir ücretsiz grup, jeneratör sayısının tam olarak kenarların sayısı olduğu E T. Bu sayı eşittir |E|-|V|+1.^[5]

Örneğin, varsayalım G Her biri 4 köşe olmak üzere 4 sıra halinde düzenlenmiş 16 köşesi vardır ve kenarları yatay veya dikey olarak bitişik olan köşeleri birleştirir. Sonra G toplamda 24 kenarı vardır ve her yayılan ağaçtaki kenar sayısı 16-1 = 15'tir, bu nedenle temel grup G 9 jeneratörlü ücretsiz bir gruptur.^[6] Bunu not et G 9 "deliği" vardır, benzer şekilde buket aynı temel gruba sahip 9 daire.

Düğüm grupları

Bir yonca düğüm.

Düğüm grupları tanımı gereği temel gruptur Tamamlayıcı bir düğüm K gömülü ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}.}$ Örneğin, yonca düğümün düğüm grubu olarak bilinir. örgü grubu ${displaystyle B_ {3},}$ bu, değişmeli olmayan bir temel grubun başka bir örneğini verir. Wirtinger sunumu düğüm gruplarını, düğümün bir diyagramına dayalı olarak üreteçler ve ilişkiler açısından açıkça tanımlar. Bu nedenle düğüm gruplarının bazı kullanımları vardır. düğüm teorisi düğümleri ayırt etmek için: eğer ${displaystyle pi _ {1} (mathbb {R} ^ {3} setminus K)}$ başka bir düğüm grubuna izomorfik değildir ${displaystyle pi _ {1} (mathbb {R} ^ {3} setminus K ')}$ başka bir düğümün K ', sonra K dönüştürülemez ${displaystyle K '.}$ Böylece yonca düğüm sürekli olarak daireye dönüştürülemez (aynı zamanda dağınık ), ikincisi düğüm grubuna sahip olduğundan ${displaystyle mathbb {Z}}$. Bununla birlikte, birbirine deforme olamayan, ancak izomorfik düğüm gruplarına sahip düğümler vardır.

Yönlendirilmiş yüzeyler

A'nın temel grubu cins n yönlendirilebilir yüzey açısından hesaplanabilir üreticiler ve ilişkiler gibi

${displaystyle leftlangle A_ {1}, B_ {1}, cdots, A_ {n}, B_ {n} sol | A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} cdots A_ {n} B_ {n} A_ {n} ^ {- 1} B_ {n} ^ {- 1} ight.ightangle.}$

Bu şunları içerir: simit, temel grubu olan 1. cinsin durumunda

${displaystyle leftlangle A_ {1}, B_ {1} left | A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} ight.ightangle cong mathbb {Z} ^ { 2}.}$

Topolojik gruplar

A'nın temel grubu topolojik grup X (temel noktanın nötr öğe olmasına göre) her zaman değişmeli. Özellikle, a'nın temel grubu Lie grubu değişmeli. Aslında, grup yapısı X bağışlar ${displaystyle pi _ {1} (X)}$ başka bir grup yapısıyla: verilen iki döngü ${görüntü stili gama}$ ve ${displaystyle gamma '}$ içinde X, başka bir döngü ${displaystyle gama yıldızı gama '}$ grup çarpımını kullanarak tanımlanabilir X:

${displaystyle (gamma star gamma ') (x) = gamma (x) cdot gamma' (x).}$

Bu ikili işlem ${displaystyle star}$ tüm döngülerin kümesinde Önsel yukarıda tarif edilenden bağımsız. Ancak Eckmann-Hilton tartışması aslında yukarıdaki döngü birleşimine uyduğunu ve dahası ortaya çıkan grup yapısının değişmeli olduğunu gösterir.^[7][8]

İspatın incelenmesi, daha genel olarak, ${displaystyle pi _ {1} (X)}$ herhangi biri için değişmeli H-alanı Xyani çarpmanın bir tersi olması gerekmez, çağrışımsal olması da gerekmez. Örneğin bu, a'nın temel grubunun döngü alanı başka bir topolojik uzay Y, ${displaystyle X = Omega (Y),}$ değişmeli. İlgili fikirler, Heinz Hopf'un bir Lie grubunun kohomolojisi.

İşlevsellik

Eğer ${displaystyle fcolon X o Y}$ sürekli bir haritadır, ${displaystyle x_ {0} X}$ ve ${displaystyle y_ {0} Y}$ ile ${displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0},}$ sonra her döngüde X taban noktası ile ${displaystyle x_ {0}}$ ile bestelenebilir f bir döngü oluşturmak Y taban noktası ile ${displaystyle y_ {0}.}$ Bu işlem, homotopi eşdeğerlik bağıntısı ve döngülerin bileşimi ile uyumludur. Sonuç grup homomorfizmi, aradı uyarılmış homomorfizm, olarak yazılır ${displaystyle pi (f)}$ veya daha yaygın olarak

${displaystyle f _ {*} iki nokta üst üste pi _ {1} (X, x_ {0}) o pi _ {1} (Y, y_ {0}).}$

Sürekli haritalardan grup homomorfizmlerine bu haritalama, haritaların kompozisyonu ve kimlik morfizmleriyle uyumludur. Tabiriyle kategori teorisi, bir topolojik uzay ile ilişkilendirmenin oluşumu, bu nedenle temel grubu bir functor

${displaystyle {egin {align} pi _ {1} kolon mathbf {Top} _ {*} & o mathbf {Grp} (X, x_ {0}) & mapsto pi _ {1} (X, x_ {0}) son {hizalı}}}$

-den bir taban noktası ile birlikte topolojik uzaylar kategorisi için grup kategorisi. Görünüşe göre bu işlevin, mevcut haritaları ayırt etmediği homotopik taban noktasına göre: eğer f, g : X → Y sürekli haritalardır f(x₀) = g(x₀) = y₀, ve f ve g {x₀}, sonra f_∗ = g_∗. Sonuç olarak, iki homotopi eşdeğer yol bağlantılı uzay izomorfik temel gruplara sahiptir:

${displaystyle Xsimeq YRightarrow pi _ {1} (X, x_ {0}) cong pi _ {1} (Y, y_ {0}).}$

Örneğin, dairenin içine dahil edilmesi delinmiş uçak

${displaystyle S ^ {1} alt küme mathbb {R} ^ {2} setminus {0}}$

bir homotopi denkliği ve bu nedenle temel gruplarının bir izomorfizmini verir.

Temel grup functor alır Ürün:% s -e Ürün:% s ve ortak ürünler ortak ürünlere. Yani, eğer X ve Y yol bağlantılı, o zaman

${displaystyle pi _ {1} (X imes Y, (x_ {0}, y_ {0})) cong pi _ {1} (X, x_ {0}) imes pi _ {1} (Y, y_ {0 }).}$

Soyut sonuçlar

Yukarıda bahsedildiği gibi, nispeten basit topolojik uzayların bile temel grubunu hesaplamak, tamamen önemsiz olma eğilimindedir, ancak bazı cebirsel topoloji yöntemlerini gerektirir.

İlk homoloji grubuyla ilişki

değişme temel grubun ilkiyle tanımlanabilir homoloji grubu alanın.

Özel bir durum Hurewicz teoremi ilk olduğunu iddia ediyor tekil homoloji grubu ${displaystyle H_ {1} (X)}$ konuşma dilinde değişmeli bir grup aracılığıyla temel gruba en yakın yaklaşımdır. Daha ayrıntılı olarak, her döngünün homotopi sınıfının döngünün homoloji sınıfıyla eşleştirilmesi, bir grup homomorfizmi

${displaystyle pi _ {1} (X) o H_ {1} (X)}$

topolojik uzayın temel grubundan X ilk tekiline homoloji grubu ${displaystyle H_ {1} (X).}$ Bu homomorfizm genel olarak bir izomorfizm değildir, çünkü temel grup değişmeli olmayabilir, ancak homoloji grubu, tanımı gereği her zaman değişkendir. Ancak bu fark, tek: eğer X yol bağlantılı, bu homomorfizm örten ve Onun çekirdek ... komütatör alt grubu temel grubun ${displaystyle H_ {1} (X)}$ izomorfiktir değişme temel grubun.^[9]

Topolojik uzayların yapıştırılması

Yol bağlantılı uzaylar ailesi için yukarıdaki ifadeyi genelleme ${displaystyle X_ {i},}$ temel grup ${displaystyle pi _ {1} (igvee _ {iin I} X_ {i})}$ ... bedava ürün temel gruplarının ${displaystyle X_ {i}.}$^[10] Bu gerçek, özel bir durumdur. Seifert-van Kampen teoremi, daha genel olarak, diğer alanlardan birbirine yapıştırılmış temel alan gruplarının hesaplanmasına izin verir. Örneğin, 2-küre ${görüntü stili S ^ {2}}$ hafif üst üste binen yarım kürelerin iki kopyasının, bir mahalle boyunca yapıştırılmasıyla elde edilebilir. ekvator. Bu durumda teorem verir ${displaystyle pi _ {1} (S ^ {2})}$ İki yarım küre daraltılabilir olduğundan ve bu nedenle önemsiz temel gruba sahip olduğundan önemsizdir. Yukarıda belirtildiği gibi temel yüzey grupları da bu teoremi kullanarak hesaplanabilir.

Kategori teorisinin deyimiyle teorem, temel grup fonksiyonunun itme (topolojik uzaylar kategorisinde) eklemeler boyunca (gruplar kategorisinde).^[11]

Kaplamalar

Harita ${displaystyle mathbb {R} imes [0,1] o S ^ {1} imes [0,1]}$ bir kaplamadır: ön görüntüsü U (gri ile vurgulanmıştır), kopyalarının ayrık birleşimidir. U. Üstelik evrensel bir örtüdür. ${displaystyle mathbb {R} imes [0,1]}$ daraltılabilir ve bu nedenle basitçe bağlantılıdır.

Topolojik bir uzay verildiğinde B, bir sürekli harita

${displaystyle f: E o B}$

denir kaplama veya E denir kaplama alanı nın-nin B her nokta b içinde B açık bir mahalleyi kabul ediyor U öyle ki bir homomorfizm arasında ön görüntü nın-nin U ve bir ayrık birlik kopya sayısı U (bazı setler tarafından indekslenmiş ben),

${displaystyle varphi: igsqcup _ {iin I} U o f ^ {- 1} (U)}$

öyle bir şekilde ${displaystyle pi circ varphi}$ standart projeksiyon haritasıdır ${displaystyle igsqcup _ {iin I} U o U.}$^[12]

Evrensel kaplama

Bir kaplamaya a denir evrensel kaplama nın-nin E önceki koşula ek olarak, basitçe bağlanır.^[13] Diğer tüm kaplamaların, içindeki noktaları uygun şekilde tanımlayarak inşa edilebilmesi anlamında evrenseldir. E. Evrensel bir örtüyü bilmek

${displaystyle p: {widetilde {X}} o X}$

topolojik bir uzay X temel grubunu birkaç şekilde anlamada yardımcı olur: birincisi, ${displaystyle pi _ {1} (X)}$ grubu ile özdeşleşir güverte dönüşümleri yani grubu homeomorfizmler ${displaystyle varyphi: {widetilde {X}} o {widetilde {X}}}$ harita ile gidip gelmek Xyani ${displaystyle pcirc varphi = p.}$Temel grupla bir başka ilişki şudur: ${displaystyle pi _ {1} (X, x)}$ fiber ile tanımlanabilir ${görüntü stili p ^ {- 1} (x).}$ Örneğin harita

${displaystyle p: mathbb {R} o S ^ {1}, tmapsto exp (2pi it)}$

(Veya eşdeğer olarak, ${displaystyle pi: mathbb {R} o mathbb {R} / mathbb {Z}, tmapsto [t]}$) evrensel bir örtüdür. Deste dönüşümleri haritalardır ${displaystyle tmapsto t + n}$ için ${displaystyle nin mathbb {Z}.}$ Bu kimlik ile uyumlu ${displaystyle p ^ {- 1} (1) = mathbb {Z},}$ özellikle bu, yukarıdaki iddiayı kanıtlar ${displaystyle pi _ {1} (S ^ {1}) cong mathbb {Z}.}$

Yerel olarak bağlı herhangi bir yol yol bağlandı ve yerel olarak basitçe bağlantılı topolojik uzay X evrensel bir örtüyü kabul ediyor.^[14] Soyut bir yapı, çiftler alarak temel gruba benzer şekilde ilerler (x, γ), nerede x bir nokta X ve γ homotopi bir yol sınıfıdır x₀ -e x. Bir topolojik uzaydan evrensel kaplamasına geçiş, geometrisinin anlaşılmasında kullanılabilir. X. Örneğin, tekdüzelik teoremi basitçe bağlı olduğunu gösterir Riemann yüzeyi ya (izomorfik) ${görüntü stili S ^ {2},}$ ${displaystyle mathbb {C},}$ ya da üst yarı düzlem.^[15] Genel Riemann yüzeyleri daha sonra bu üç yüzey üzerindeki grup eylemlerinin bölümleri olarak ortaya çıkar.

bölüm bir aksiyon bir (ayrık ) grubu G basitçe bağlantılı bir alanda Y temel gruba sahiptir

${displaystyle pi _ {1} (Y / G) cong G.}$

Örnek olarak, gerçek nboyutlu gerçek projektif uzay ${displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^ {n}}$ bölümü olarak elde edilir nboyutlu küre ${görüntü stili S ^ {n}}$ grubun antipodal etkisiyle ${displaystyle mathbb {Z} / 2}$ gönderme ${displaystyle xin S ^ {n}}$ -e ${displaystyle -x.}$ Gibi ${görüntü stili S ^ {n}}$ basitçe bağlı n ≥ 2, evrensel bir ${displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^ {n}}$ bu gibi durumlarda ${displaystyle pi _ {1} (mathbb {R} mathrm {P} ^ {n}) cong mathbb {Z} / 2}$ için n ≥ 2.

Lie grupları

İzin Vermek G bağlı olmak, basitçe bağlanmak kompakt Lie grubu örneğin özel üniter grup SU (n) ve Γ sonlu bir altgrup olsun G. Sonra homojen uzay X = G/ Γ, evrensel kaplama alanı üzerinde doğru çarpma ile hareket eden temel fundamental grubuna sahiptir G. Bu yapının birçok çeşidi arasında en önemlilerinden biri şu şekildedir: yerel simetrik uzaylar X = ΓG/K, nerede

• G kompakt olmayan, basitçe bağlanmış, Lie grubu (sıklıkla yarı basit ),
• K maksimum kompakt bir alt gruptur G
• Γ ayrı bir sayılabilir bükülmez alt grubu G.

Bu durumda temel grup Γ ve evrensel kaplama alanı G/K aslında kasılabilir (tarafından Cartan ayrışması için Lie grupları ).

Örnek olarak G = SL (2, R), K = SO (2) ve Γ herhangi bir torsiyonsuz uygunluk alt grubu of modüler grup SL (2, Z).

Açık farkındalıktan, bir yolun evrensel kaplama alanının birbiriyle bağlantılı olduğunu da izler. topolojik grup H yine yol bağlantılı bir topolojik gruptur G. Dahası, kaplama haritası sürekli açık bir homomorfizmdir. G üstüne H ile çekirdek Γ, kapalı bir ayrık normal alt grup G:

${displaystyle 1 o Gama o G o H o 1.}$

Dan beri G ayrık bir grup üzerinde konjugasyon yoluyla sürekli bir etkiye sahip bağlı bir gruptur Γ, önemsiz hareket etmelidir, böylece Γ'nin bir alt grubu olmalıdır. merkez nın-nin G. Özellikle π₁(H) = Γ bir değişmeli grup; bu aynı zamanda kaplama boşlukları kullanmadan da kolaylıkla görülebilir. Grup G denir evrensel kaplama grubu nın-ninH.

Evrensel kapsama grubunun önerdiği gibi, bir topolojik grubun temel grubu ile bir grubun merkezi arasında bir analoji vardır; bu detaylandırılmıştır Örtücü grupların kafesi.

Lifler

Lifler homotopi gruplarını hesaplamak için çok güçlü bir yol sağlar. Bir uyuşma f sözde toplam alanve temel alan B özellikle tüm liflerinin sahip olduğu ${displaystyle f ^ {- 1} (b)}$ homotopi eşdeğeridir ve bu nedenle temel gruplar (ve daha yüksek homotopi grupları) kullanılarak ayırt edilemez. B yola bağlı.^[16] Bu nedenle uzay E bir "olarak kabul edilebilirbükülmüş ürünü " temel alan B ve lif ${displaystyle F = f ^ {- 1} (b).}$ Homotopi gruplarının hesaplanmasında fibrasyonların büyük önemi, uzun tam sıra

${displaystyle noktaları o pi _ {2} (B) o pi _ {1} (F) o pi _ {1} (E) o pi _ {1} (B) o pi _ {0} (F) o pi _ {0} (E)}$

şartıyla B yola bağlı.^[17] Dönem ${displaystyle pi _ {2} (B)}$ ikinci homotopi grubu nın-nin B, haritaların homotopi sınıfları kümesi olarak tanımlanır. ${görüntü stili S ^ {2}}$ -e B, tanımıyla doğrudan benzerlik içinde ${displaystyle pi _ {1}.}$

Eğer E yol bağlantılı ve basitçe bağlantılı olur, bu dizi bir izomorfizme indirgenir

${displaystyle pi _ {1} (B) cong pi _ {0} (F)}$

Bu, evrensel örtme hakkında yukarıdaki gerçeği genelleştirir (bu, fiberin F ayrıktır). Onun yerine F bağlanır ve basitçe bağlanırsa, bir izomorfizme indirgenir

${displaystyle pi _ {1} (E) cong pi _ {1} (B).}$

Dahası, dizi solda daha yüksek homotopi grupları ile devam ettirilebilir. ${displaystyle pi _ {n}}$ Bu tür grupları aynı damardan hesaplamaya biraz erişim sağlayan üç alan.

Klasik Lie grupları

Bu tür fiber dizileri, kompakt klasik Lie gruplarının temel gruplarını endüktif olarak hesaplamak için kullanılabilir. özel üniter grup ${displaystyle mathrm {SU} (n),}$ ile ${displaystyle ngeq 2.}$ Bu grup, birim küre üzerinde geçişli olarak hareket eder ${görüntü stili S ^ {2n-1}}$ içeride ${displaystyle mathbb {C} ^ {n} = mathbb {R} ^ {2n}.}$ Küredeki bir noktanın dengeleyicisi izomorfiktir. ${displaystyle mathrm {SU} (n-1).}$ Daha sonra gösterilebilir^[18] bunun bir lif dizisi verdiğini

${displaystyle mathrm {SU} (n-1) o mathrm {SU} (n) o S ^ {2n-1}.}$

Dan beri ${displaystyle ngeq 2,}$ Küre ${görüntü stili S ^ {2n-1}}$ en az 3 boyuta sahiptir,

${displaystyle pi _ {1} (S ^ {2n-1}) cong pi _ {2} (S ^ {2n-1}) = 1.}$

Uzun kesin dizi daha sonra bir izomorfizm gösterir

${displaystyle pi _ {1} (mathrm {SU} (n)) cong pi _ {1} (mathrm {SU} (n-1)).}$

Dan beri ${displaystyle mathrm {SU} (1)}$ tek bir nokta, yani ${displaystyle pi _ {1} (mathrm {SU} (1))}$ önemsiz, bu gösteriyor ki ${displaystyle mathrm {SU} (n)}$ herkes için basitçe bağlantılı ${displaystyle i.}$

Kompakt olmayan Lie gruplarının temel grubu, kompakt duruma indirgenebilir, çünkü böyle bir grup, maksimum kompakt alt grubuna homotopiktir.^[19] Bu yöntemler aşağıdaki sonuçları verir:^[20]

kompakt klasik Lie grubu G	kompakt olmayan Lie grubu	${displaystyle pi _ {1}}$
özel üniter grup ${displaystyle mathrm {SU} (n)}$	${displaystyle mathrm {SL} (n, mathbb {C})}$	1
üniter grup ${displaystyle mathrm {U} (n)}$	${displaystyle mathrm {GL} (n, mathbb {C}), mathrm {Sp} (n, mathbb {R})}$	${displaystyle mathbb {Z}}$
özel ortogonal grup ${displaystyle mathrm {SO} (n)}$	${displaystyle mathrm {SO} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {Z} / 2}$ için ${displaystyle ngeq 3}$ ve ${displaystyle mathbb {Z}}$ için ${displaystyle n = 2}$
kompakt semplektik grup ${displaystyle mathrm {Sp} (n)}$	${displaystyle mathrm {Sp} (n, mathbb {C})}$	1

Temel grupları hesaplamanın ikinci bir yöntemi, tüm bağlı kompakt Lie grupları için geçerlidir ve maksimal simit ve ilişkili kök sistem. Özellikle, izin ver ${displaystyle T}$ Bağlı bir kompakt Lie grubunda maksimal simit olabilir ${displaystyle K,}$ ve izin ver ${displaystyle {mathfrak {t}}}$ Lie cebiri olmak ${displaystyle T.}$ üstel harita

${displaystyle exp: {mathfrak {t}} o T}$

bir uydurma ve dolayısıyla çekirdeği ${displaystyle Gama alt kümesi {mathfrak {t}}}$ ile özdeşleşir ${displaystyle pi _ {1} (T).}$ Harita

${displaystyle pi _ {1} (T) o pi _ {1} (K)}$

örten olduğu gösterilebilir^[21] set tarafından verilen çekirdek ile ben tamsayı doğrusal kombinasyonu coroots. Bu hesaplamaya götürür

${displaystyle pi _ {1} (K) cong Gama / I.}$^[22]

Bu yöntem, örneğin, ilişkili kök sisteminin olduğu herhangi bir bağlı kompakt Lie grubunun tip ${displaystyle G_ {2}}$ basitçe bağlantılıdır.^[23] Böylece, (izomorfizme kadar), Lie cebiri türünde olan tek bir bağlantılı kompakt Lie grubu vardır. ${displaystyle G_ {2}}$; bu grup basitçe bağlantılıdır ve önemsiz bir merkeze sahiptir.

Basit bir kompleksin kenar yolu grubu

Topolojik uzay bir için homeomorfik olduğunda basit kompleks temel grubu, şu terimlerle açıkça tanımlanabilir: üreticiler ve ilişkiler.

Eğer X bir bağlı basit kompleks, bir kenar yolu içinde X kenarlarla birbirine bağlanan bir köşe zinciri olarak tanımlanır X. İki kenar yolunun kenar eşdeğeri biri diğerinden, bir üçgenin bir kenarı ile iki zıt kenarı arasında art arda geçiş yapılarak elde edilebiliyorsa X. Eğer v sabit bir tepe noktasıdır X, bir kenar döngüsü -de v başlangıç ​​ve bitiş noktasında biten bir kenar yolu v. kenar yolu grubu E(X, v), kenar döngülerinin kenar eşdeğerlik sınıfları kümesi olarak tanımlanır. v, çarpım ve tersi, kenar döngülerinin birleştirilmesi ve ters çevrilmesiyle tanımlanır.

Kenar yolu grubu doğal olarak izomorfiktir π₁(|X|, v), temel grubu geometrik gerçekleştirme |X| nın-nin X.^[24] Sadece bağlı olduğu için 2 iskelet X² nın-nin X (yani, köşeleri, kenarları ve üçgenleri X), gruplar π₁(|X|,v) ve π₁(|X²|, v) izomorfiktir.

Kenar yolu grubu, şu terimlerle açıkça tanımlanabilir: üreticiler ve ilişkiler. Eğer T bir maksimal uzanan ağaç içinde 1 iskelet nın-nin X, sonra E(X, v) oluşturuculara sahip gruba kanonik olarak izomorfiktir (yönlendirilmiş kenar yolları X meydana gelmiyor T) ve ilişkiler (üçgenlere karşılık gelen kenar eşdeğerleri X). Benzer bir sonuç, eğer T herhangi biri ile değiştirilir basitçe bağlı -özellikle kasılabilir - alt kompleksi X. Bu genellikle temel grupları hesaplamanın pratik bir yolunu sağlar ve her birinin sonlu sunulan grup sonlu basit bir kompleksin temel grubu olarak ortaya çıkar. Aynı zamanda kullanılan klasik yöntemlerden biridir. topolojik yüzeyler, temel gruplarına göre sınıflandırılır.

evrensel kaplama alanı sonlu bağlantılı basit bir kompleksin X doğrudan kenar yolları kullanan basit bir kompleks olarak da tanımlanabilir. Köşeleri çiftlerdir (w, γ) nerede w bir tepe noktası X ve γ bir uç eşdeğerlik sınıfıdır. v -e w. k-içeren basitler (w, γ) doğal olarak karşılık gelir k-içeren basit ürünler w. Her yeni köşe sen of k-simplex bir avantaj sağlar wu ve dolayısıyla, birleştirme ile yeni bir yol γ_sen itibaren v -e sen. Puanlar (w, γ) ve (sen, γ_sen) evrensel örtme alanındaki "taşınan" simpleksin köşeleridir. Kenar yolu grubu, basit yapıyı koruyarak birleştirme yoluyla doğal bir şekilde hareket eder ve bölüm alanı sadece X.

Bu yöntemin rastgele bir topolojik uzayın temel grubunu hesaplamak için de kullanılabileceği iyi bilinmektedir. Bu şüphesiz biliniyordu Eduard Čech ve Jean Leray ve açıkça bir makalede bir açıklama olarak göründü André Weil;^[25] Lorenzo Calabi gibi diğer çeşitli yazarlar, Wu Wen-tsün ve Nodar Berikashvili de kanıtlar yayınladı. Kompakt bir alanın en basit durumunda X kaplamadaki açık kümelerin tüm boş olmayan sonlu kesişimlerinin daraltılabildiği sonlu bir açık kaplama ile temel grup, şuna karşılık gelen basit kompleksin kenar-yolu grubu ile tanımlanabilir. örtünün siniri.

Gerçekleştirilebilirlik

• Her grup bir grubun temel grubu olarak gerçekleştirilebilir. bağlı CW kompleksi boyut 2 (veya daha yüksek). Yukarıda belirtildiği gibi, yine de, 1 boyutlu CW komplekslerinin (yani, grafiklerin) temel grupları olarak yalnızca serbest gruplar oluşabilir.
• Her sonlu sunulan grup temel grup olarak gerçekleştirilebilir kompakt, bağlandı, pürüzsüz manifold boyut 4 (veya daha yüksek). Ancak, hangi grupların temel düşük boyutlu manifold grupları olarak oluştuğu konusunda ciddi kısıtlamalar vardır. Örneğin hayır serbest değişmeli grup Seviye 4 veya üstü, boyut 3 veya daha küçük bir manifoldun temel grubu olarak gerçekleştirilebilir. Her grubun, kompakt bir Hausdorff uzayının temel grubu olarak gerçekleştirilebileceği, ancak ve ancak eğer yok ise kanıtlanabilir. ölçülebilir kardinal.^[26]

Ilgili kavramlar

Daha yüksek homotopi grupları

Kabaca konuşursak, temel grup bir uzayın 1 boyutlu delik yapısını algılar, ancak 2-küre gibi daha yüksek boyutlardaki delikleri algılamaz. Bu tür "daha yüksek boyutlu delikler", daha yüksek homotopi grupları ${displaystyle pi _ {n} (X)}$(taban noktasını koruyan) haritalarının homotopi sınıflarından oluşacak şekilde tanımlananlar ${görüntü stili S ^ {n}}$ -e X. Örneğin, Hurewicz teoremi ima eder ki n-nin homotopi grubu nküre (herkes için ${displaystyle ngeq 1}$)

${displaystyle pi _ {n} (S ^ {n}) = mathbb {Z}.}$^[27]

Yukarıdaki hesaplamada bahsedildiği gibi ${displaystyle pi _ {1}}$ Klasik Lie gruplarında, daha yüksek homotopi grupları, temel grupları hesaplamak için bile uygun olabilir.

Döngü alanı

Sivri bir uzayda temelli döngüler kümesi (olduğu gibi, yani homotopi olarak alınmamış) Xile donatılmış kompakt açık topoloji, olarak bilinir döngü alanı, belirtilen ${displaystyle Omega X.}$ Temel grubu X döngü uzayının yol bileşenleri kümesiyle uyum içindedir:^[28]

${displaystyle pi _ {1} (X) cong pi _ {0} (Omega X).}$

Temel grupoid

temel grupoid bir taban noktası seçiminin yapıldığı durumlarda yararlı olan temel grubun bir çeşididir ${displaystyle x_ {0} X}$ istenmeyen bir durumdur. Önce dikkate alınarak tanımlanır kategori nın-nin yollar içinde ${displaystyle X,}$ yani sürekli işlevler

${görüntü stili gama: [0, r] o X}$

nerede r keyfi negatif olmayan bir gerçek sayıdır. Uzunluktan beri r bu yaklaşımda değişkendir, bu tür yollar olduğu gibi birleştirilebilir (yani homotopi kadar değil) ve bu nedenle bir kategori verebilir.^[29] Böyle iki yol ${görüntü stili gama, gama '}$ aynı uç noktalar ve uzunlukta r, resp. r ' gerçek sayılar varsa eşdeğer kabul edilir ${displaystyle u, vgeqslant 0}$ öyle ki ${görüntü stili r + u = r '+ v}$ ve ${displaystyle gama _ {u}, gama '_ {v}: [0, r + u] o X}$ uç noktalarına göre homotopiktir, burada ${displaystyle gamma _ {u} (t) = {egin {case} gamma (t), & tin [0, r] gamma (r), & tin [r, r + u] .end {case}}}$^[30][31] Bu denklik ilişkisine kadar olan yolların kategorisi belirtilir ${displaystyle Pi (X).}$ Her morfizm ${displaystyle Pi (X)}$ bir izomorfizm tersi, aynı yolun ters yönde geçmesiyle verilir. Böyle bir kategoriye a grupoid. O zamandan beri temel grubu yeniden üretir

${displaystyle pi _ {1} (X, x_ {0}) = mathrm {Hom} _ {Pi (X)} (x_ {0}, x_ {0}).}$

Daha genel olarak, bir setteki temel groupoid düşünülebilir. Bir durumun geometrisine göre seçilen taban noktalarının sayısı; örneğin, kesişimi iki bileşeni olan birbirine bağlı iki açık kümenin birleşimi olarak temsil edilebilen daire durumunda, her bileşende bir temel nokta seçilebilir. van Kampen teoremi Örneğin, temel grupoidler için temel grubu (oid) hesaplamanın başka bir yolunu veren bir versiyonunu kabul eder. ${displaystyle S ^ {1}.}$^[32]

Yerel sistemler

Genel konuşma, temsiller diğer matematiksel nesneler üzerindeki eylemleriyle bir grubun özelliklerini sergilemeye hizmet edebilir, genellikle vektör uzayları. Temel grubun temsillerinin çok geometrik bir önemi vardır: herhangi yerel sistem (yani, a demet ${displaystyle {mathcal {F}}}$ açık X yerel olarak yeterince küçük bir mahallede bulunan mülk ile U herhangi bir noktadan X, kısıtlaması F bir sabit demet şeklinde ${displaystyle {mathcal {F}} | _ {U} = mathbb {Q} ^ {n}}$) sözde tekdüze gösterimi temel grubun bir temsili n-boyutlu ${displaystyle mathbb {Q}}$-vektör alanı. Tersine, yol bağlantılı bir alanda bu tür herhangi bir temsil X bu şekilde ortaya çıkar.^[33] Bu kategorilerin denkliği temsilleri arasında ${displaystyle pi _ {1} (X)}$ ve yerel sistemler, örneğin, diferansiyel denklemler, benzeri Knizhnik-Zamolodchikov denklemleri.

Étale temel grubu

İçinde cebirsel geometri, sözde étale temel grup temel grubun yerine kullanılır.^[34] Beri Zariski topolojisi bir cebirsel çeşitlilik veya plan X diyelim ki, açık alt kümelerin topolojisinden çok daha kaba ${displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ bir aralıktan başlayıp X. Bunun yerine Grothendieck tarafından geliştirilen yaklaşım, ${displaystyle pi _ {1} ^ {et}}$ hepsini göz önünde bulundurarak sonlu étale kapakları nın-nin X. Bunlar, sonlu elyaflı kaplamaların cebro-geometrik bir analoğu olarak hizmet eder.

Bu, herhangi bir büyük genel klasik topolojik sezginin mevcut olmadığı durumlarda uygulanabilir bir teori sağlar; örneğin, bir sonlu alan. Ayrıca, a'nın étale temel grubu alan (mutlak) Galois grubu. Öte yandan pürüzsüz çeşitler için X karmaşık sayılar üzerinde, étale temel grubu, klasik temel grubun doğasında bulunan bilgilerin çoğunu tutar: birincisi, profinite tamamlama mektubun.^[35]

Cebirsel grupların temel grubu

A'nın temel grubu kök sistem Lie gruplarının hesaplanmasına benzer şekilde tanımlanır.^[36] Bu, yarı basit bir grubun temel grubunu tanımlamaya ve kullanmaya izin verir. doğrusal cebirsel grup G, doğrusal cebirsel grupların sınıflandırılmasında yararlı bir temel araçtır.^[37]

Basit kümelerin temel grubu

Bir'in 1-basitleri arasındaki homotopi ilişkisi basit küme X bir denklik ilişkisidir eğer X bir Kan kompleksi ama genel olarak mutlaka öyle değil.^[38] Böylece, ${displaystyle pi _ {1}}$ Bir Kan kompleksinin 1-simplices homotopi sınıfları kümesi olarak tanımlanabilir. Keyfi basit bir kümenin temel grubu X homotopi grubu olarak tanımlanır topolojik gerçekleştirme, ${görüntü stili | X |,}$ yani, basit küme yapısının öngördüğü gibi topolojik basitlikleri yapıştırarak elde edilen topolojik uzay X.^[39]

Ayrıca bakınız

• Orbifold temel grubu

Notlar

Referanslar

• Adams, John Frank (1978), Infinite loop spaces, Matematik Çalışmaları Yıllıkları, 90, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08207-3, BAY  0505692
• Kahverengi, Ronald (2006), Topoloji ve Groupoids, Booksurge, ISBN  1-4196-2722-8
• Bump, Daniel (2013), Lie GroupsMatematik Yüksek Lisans Metinleri, 225 (2. baskı), Springer, doi:10.1007/978-1-4614-8024-2, ISBN  978-1-4614-8023-5
• Crowell, R.H.; Fox, Ralph (1963), Introduction to Knot Theory, Springer
• El Zein, Fouad; Suciu, Alexander I.; Tosun, Meral; Uludağ, Muhammed; Yuzvinsky, Sergey (2010), Arrangements, Local Systems and Singularities: CIMPA Summer School, Galatasaray University, Istanbul, 2007, ISBN  978-3-0346-0208-2
• Forster, Otto (1981), Lectures on Riemann Surfaces, ISBN  0-387-90617-7
• Fulton, William (1995), Cebirsel Topoloji: İlk KursSpringer, ISBN  9780387943275
• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999), Basit Homotopi Teorisi, Matematikte İlerleme, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN  978-3-7643-6064-1
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, s. xviii + 327, bkz. Exp. V, IX, X., arXiv:math.AG/0206203, ISBN  978-2-85629-141-2
• Hall, Brian C. (2015), Lie Grupları, Lie Cebirleri ve Gösterimler: Temel GirişMatematik Yüksek Lisans Metinleri, 222 (2. baskı), Springer, ISBN  978-3319134666
• Kuluçka, Allen (2002), Cebirsel Topoloji, Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0
• Peter Hilton ve Shaun Wylie, Homology Theory, Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use contrahomology için kohomoloji ]
• Humphreys, James E. (2004), Doğrusal Cebirsel Gruplar, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN  9780387901084
• Humphreys, James E. (1972), Lie Cebirlerine Giriş ve Temsil Teorisi, ISBN  0-387-90052-7
• Maunder, C. R. F. (January 1996), Cebirsel Topoloji, Dover Yayınları, ISBN  0-486-69131-4
• Massey, William S. (1991), A Basic Course in Algebraic TopologySpringer, ISBN  038797430X
• Mayıs, J. Peter (1999), Cebirsel Topolojide Kısa Bir Ders, ISBN  9780226511832
• Deane Montgomery and Leo Zippin, Topolojik Dönüşüm Grupları, Interscience Publishers (1955)
• Munkres, James R. (2000), Topoloji, Prentice Hall, ISBN  0-13-181629-2
• Rotman, Joseph (1998-07-22), Cebirsel Topolojiye Giriş, Springer-Verlag, ISBN  0-387-96678-1
• Rubei Elena (2014), Cebirsel Geometri, kısa bir sözlük, Berlin / Boston: Walter De Gruyter, ISBN  978-3-11-031622-3
• Seifert, Herbert; Threlfall, William (1980), A Textbook of Topology, translated by Heil, Wolfgang, Akademik Basın, ISBN  0-12-634850-2
• Singer, Isadore. M.; Thorpe, J. A. (1976-12-10), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, ISBN  0-387-90202-3
• Spanier, Edwin H. (1989), Cebirsel TopolojiSpringer, ISBN  0-387-94426-5
• Strom, Jeffrey (2011), Modern Classical Homotopy Theory, AMS, ISBN  9780821852866

Dış bağlantılar

• "Fundamental group". PlanetMath.
• "Fundamental groupoid". PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. "Fundamental group". MathWorld.

• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem: A discussion of the fundamental groupoid of a topological space and the fundamental groupoid of a simplicial set
• Animations to introduce fundamental group by Nicolas Delanoue
• Sets of base points and fundamental groupoids: mathoverflow discussion
• Groupoids in Mathematics