Temel artış lemma - Fundamental increment lemma - Wikipedia

Tek değişkenli diferansiyel hesap, temel artış lemma tanımının doğrudan bir sonucudur türev f'(a) bir işlevi f bir noktada a:

${ displaystyle f '(a) = lim _ {h to 0} { frac {f (a + h) -f (a)} {h}}.}$

Lemma, bu türevin varlığının bir fonksiyonun varlığını ima ettiğini iddia eder. ${ displaystyle varphi}$ öyle ki

${ displaystyle lim _ {h ila 0} varphi (h) = 0 qquad { text {ve}} qquad f (a + h) = f (a) + f '(a) h + varphi (h) h}$

yeterince küçük ama sıfır olmayan h. Bir ispat için tanımlamak yeterlidir.

${ displaystyle varphi (h) = { frac {f (a + h) -f (a)} {h}} - f '(a)}$

ve bunu doğrula ${ displaystyle varphi}$ gereksinimleri karşılar.

Daha yüksek boyutlarda farklılaşabilirlik

Bunda varlığı ${ displaystyle varphi}$ sayıyı benzersiz bir şekilde karakterize eder ${ displaystyle f '(a)}$, temel artım lemasının, ayırt edilebilirlik tek değişkenli fonksiyonlar. Bu nedenle, türevlenebilirliğin tanımında lemmanın bir genellemesi kullanılabilir. Çok değişkenli hesap. Özellikle varsayalım f bazı alt kümesini eşler ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ -e ${ displaystyle mathbb {R}}$. Sonra f türevlenebilir olduğu söyleniyor a eğer varsa doğrusal fonksiyon

${ displaystyle M: ​​ mathbb {R} ^ {n} - mathbb {R}}$

ve bir işlev

${ displaystyle Phi: D - mathbb {R}, qquad D subseteq mathbb {R} ^ {n} smallsetminus { mathbf {0} },}$

öyle ki

${ displaystyle lim _ { mathbf {h} to 0} Phi ( mathbf {h}) = 0 qquad { text {ve}} qquad f ( mathbf {a} + mathbf {h }) = f ( mathbf {a}) + M ( mathbf {h}) + Phi ( mathbf {h}) cdot Vert mathbf {h} Vert}$

sıfır olmayan için h yeterince yakın 0. Bu durumda, M benzersiz türevdir (veya toplam türev ayırt etmek için yönlü ve kısmi türevler ) nın-nin f -de a. Özellikle, M tarafından verilir Jacobian matrisi nın-nin f değerlendirildi a.

Ayrıca bakınız

• Türevin genellemeleri

Referanslar

• Talman, Louis (2007-09-12). "Çok Değişkenli Fonksiyonlar için Türevlenebilirlik" (PDF). Arşivlenen orijinal (PDF) 2010-06-20 tarihinde. Alındı 2012-06-28.
• Stewart James (2008). Matematik (7. baskı). Cengage Learning. s. 942. ISBN  0538498846.