Elek teorisinin temel lemması - Fundamental lemma of sieve theory

İçinde sayı teorisi, elek teorisinin temel lemması başvuru sürecini sistematik hale getiren birkaç sonuçtan herhangi biri elek yöntemleri belirli sorunlara. Halberstam & Richert^[1]:92–93yazmak:

Elek literatürünün ilginç bir özelliği, Brun 's yöntem General Brun'u formüle etmek için yalnızca birkaç girişim var teorem (Teorem 2.1 gibi); sonuç olarak Brun'un argümanının adımlarını hatırı sayılır ayrıntıyla tekrarlayan şaşırtıcı bir çok makale var.

Elmas ve Halberstam^[2]:42terminolojiye atıfta bulunmak Temel Lemma -e Jonas Kubilius.

Ortak gösterim

Bu gösterimleri kullanıyoruz:

• Bir bir dizi X pozitif tam sayılar ve Bir_d tamsayıların alt kümesidir. d
• w(d) ve R_d fonksiyonlarıdır Bir ve d elementlerin sayısını tahmin eden Bir ile bölünebilen dformüle göre

${displaystyle leftvert A_ {d} ightvert = {frac {w (d)} {d}} X + R_ {d}.}$

Böylece w(d) / d ile bölünebilen yaklaşık bir üye yoğunluğunu temsil eder d, ve R_d bir hatayı veya kalan terimi temsil eder.

• P bir dizi asal ve P(z) bu asalların ürünüdür ≤ z
• S(Bir, P, z) öğelerin sayısıdır Bir herhangi bir asal ile bölünemez P bu ≤ z
• κ eleme yoğunluğu adı verilen bir sabittir,^[3]:28 aşağıdaki varsayımlarda görünen. Bu bir ağırlıklı ortalama sayısının kalıntı sınıfları her asal tarafından elenir.

Kombinatoryal eleğin temel lemması

Bu formülasyon Tenenbaum'dan.^[4]:60 Diğer formülasyonlar Halberstam & Richert,^[1]:82 Greaves'de,^[3]:92ve Friedlander & Iwaniec.^{[5]:732–733}Varsayımlarda bulunuyoruz:

• w(d) bir çarpımsal işlev.
• Eleme yoğunluğu κ, bir miktar sabit C ve 2 ≤ η ≤ ξ ile η ve ξ gerçek sayıları:

${displaystyle prod _ {eta leq pleq xi} left (1- {frac {w (p)} {p}} ight) ^ {- 1}$

Bir parametre var sen ≥ 1 bizim emrimizdedir. Tek tip olarak var Bir, X, z, ve sen o

${displaystyle S (a, P, z) = Xprod _ {pleq z, pin P} left (1- {frac {w (p)} {p}} ight) {1 + O (u ^ {- u / 2 })} + Oleft (toplam _ {dleq z ^ {u}, d | P (z)} | R_ {d} | ight).}$

Seçtiğimiz uygulamalarda sen en iyi hata terimini elde etmek için. Elek içindeki seviye sayısını temsil eder. içerme-dışlama ilkesi.

Selberg eleğinin temel lemması

Bu formülasyon Halberstam & Richert.^{[1]:208–209} Başka bir formülasyon da Diamond & Halberstam.^[2]:29

Varsayımlarda bulunuyoruz:

• w(d) bir çarpımsal işlev.
• Eleme yoğunluğu κ, bir miktar sabit C ve 2 ≤ η ≤ ξ ile η ve ξ gerçek sayıları:

${displaystyle sum _ {eta leq pleq xi} {frac {w (p) ln p} {p}}$

• w(p) / p <1 - c bazı küçük sabitler için c ve tüm p
• | R_d | ≤ ω (d) nerede ω (d) farklı asal bölenlerin sayısıdır d.

Temel lemma, kombinatoryal elekle hemen hemen aynı biçime sahiptir. Yazmak sen = ln X / ln z. Sonuç şudur:

${displaystyle S (a, P, z) = Xprod _ {pleq z, pin P} left (1- {frac {w (p)} {p}} ight) {1 + O (e ^ {- u / 2 })}.}$

Bunu not et sen artık elimizde bağımsız bir parametre değildir, ancak seçimiyle kontrol edilir z.

Buradaki hata teriminin, kombinatoryal eleğin temel lemmasından daha zayıf olduğuna dikkat edin. Halberstam & Richert yorumu:^[1]:221 "Bu nedenle, literatürde zaman zaman ileri sürüldüğü gibi, Selberg'in eleğinin Brun'nunkinden her zaman daha iyi olduğunu söylemek doğru değil."

Notlar