Anyonların füzyonu - Fusion of anyons

Bu makale anlaşılmaz veya anlaşılması çok zor olabilir. Amaçlanan anlam belirlenebilirse lütfen yeniden yazarak yardım edin. konuşma sayfası ayrıntıları olabilir. (Temmuz 2018) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Anyon füzyonu birden çok anyonlar daha büyük bir kompozit anyon gibi davranır. Anyon füzyonu, değişmeli olmayan anyonların fiziğini ve bunların kuantum bilgisinde nasıl kullanılabileceğini anlamak için gereklidir.^[1]

Abelian anyonlar

Eğer ${ displaystyle N}$ her biri ayrı istatistiklere sahip özdeş değişmeli anyonlar ${ displaystyle alpha}$ (yani, sistem bir aşama alır ${ displaystyle e ^ {i alpha}}$ iki ayrı anyon saat yönünün tersine adyabatik değişim geçirdiğinde) hepsi birlikte kaynaşır, birlikte istatistiklere sahip olurlar. ${ displaystyle N ^ {2} alpha}$. Bu, iki kompozit anyonun birbiri etrafında saat yönünün tersine dönmesi üzerine, ${ displaystyle N ^ {2}}$ her biri bir faza katkıda bulunan tek tek anyon çiftleri (biri birinci bileşik anyonda, biri ikinci bileşik anyonda) ${ displaystyle e ^ {i alpha}}$. Özdeş olmayan değişmeli anyonların füzyonu için de benzer bir analiz geçerlidir. Bileşik anyonun istatistikleri, bileşenlerinin istatistikleri tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Değişken olmayan anyon füzyon kuralları

Değişmeli olmayan anyonların daha karmaşık füzyon ilişkileri vardır. Kural olarak, değişmeli olmayan anyonlara sahip bir sistemde, istatistik etiketi bileşenlerinin istatistik etiketleri tarafından benzersiz bir şekilde belirlenmeyen, bunun yerine bir kuantum süperpozisyonu olarak var olan bir bileşik parçacık vardır (bu, iki fermiyonun nasıl bilindiğine tamamen benzerdir. her birinin spin 1/2 ve 3 / 2'si toplam spin 1 ve 2'nin kuantum süperpozisyonunda birlikte. Birkaç anyonun tümünün füzyonunun genel istatistikleri biliniyorsa, bu anyonların bazı alt kümelerinin füzyonunda hala belirsizlik vardır ve her olasılık benzersiz bir kuantum halidir. Bu birden çok eyalet, bir Hilbert uzayı hangi kuantum hesaplamasının yapılabileceği.

Spesifik olarak, iki değişmeli olmayan anyon etiketli ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$ tarafından verilen bir füzyon kuralına sahip olmak ${ displaystyle a times b = sum _ {c} N_ {ab} ^ {c} c}$resmi toplamın nerede bittiğini ${ displaystyle c}$ sistemdeki olası anyon türlerinin tüm etiketlerini (ve önemsiz etiketin) üzerinden geçer. ${ displaystyle c = 1}$ partikül olmadığını gösterir) ve her biri ${ displaystyle N_ {ab} ^ {c}}$ negatif değil tamsayı bu, içinde kaç tane farklı kuantum durumu olduğunu gösterir. ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$ kaynaşmak ${ displaystyle c}$ (Bu, değişmeli durumda da geçerlidir, bu durum haricinde, her biri için ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$bir tür anyon vardır ${ displaystyle c}$ hangisi için ${ displaystyle N_ {ab} ^ {c} = 1}$ ve diğerleri için ${ displaystyle c}$, ${ displaystyle N_ {ab} ^ {c} = 0}$ Her anyon türü ${ displaystyle a}$ ayrıca bir eşlenik antiparçacık içermelidir ${ displaystyle { bar {a}}}$ olası anyon türleri listesi arasında, öyle ki ${ displaystyle N_ {a { bar {a}}} ^ {1} neq 0}$yani kendi antiparçacığı ile yok olabilir. Anyon tipi etiketi, anyon hakkındaki tüm bilgileri belirtmez, ancak gösterdiği bilgi, yerel tedirginlikler altında topolojik olarak değişmezdir.

Örneğin, Fibonacci anyonu Sistem en basitlerinden biri, etiketlerden oluşur ${ displaystyle 1}$ ve ${ displaystyle tau}$ (${ displaystyle tau}$ füzyon kuralını karşılayan bir Fibonacci anyonunu belirtir) ${ displaystyle tau times tau = 1 + tau}$ (karşılık gelen ${ displaystyle N _ { tau tau} ^ { tau} = N _ { tau tau} ^ {1} = 1}$) yanı sıra önemsiz kurallar ${ displaystyle tau times 1 = tau}$ ve ${ displaystyle 1 times 1 = 1}$ (karşılık gelen ${ displaystyle N _ { tau 1} ^ { tau} = N_ {11} ^ {1} = 1}$).

Anyon mu sistem etiketlerden oluşur ${ displaystyle 1}$ , ${ displaystyle psi}$ ve ${ displaystyle sigma}$ , füzyon kurallarını karşılayan ${ displaystyle sigma times sigma = 1 + psi}$, ${ displaystyle sigma times psi = sigma}$ve önemsiz kurallar.

${ displaystyle times}$ işlem, kaynaşmış anyonlarla fiziksel olarak mantıklı olması gerektiği için, değişmeli ve ilişkiseldir. Ayrıca, ${ displaystyle N_ {ab} ^ {c}}$ matris girdileri olarak katsayılar ${ displaystyle (N_ {a}) _ {b} ^ {c}}$ satır ve sütun indisleri olan bir matrisin ${ displaystyle b}$ ve ${ displaystyle c}$; o zaman bu matrisin en büyük öz değeri kuantum boyutu olarak bilinir ${ displaystyle d_ {a}}$ anyon tipi ${ displaystyle a}$.

Füzyon kuralları, kaç yönden dikkate alınacak şekilde genelleştirilebilir. ${ displaystyle N_ {a_ {1}, a_ {2}, ldots a_ {m}} ^ {c}}$ bir koleksiyon ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots a_ {m}}$ son bir anyon tipine birleştirilebilir ${ displaystyle c}$.

Füzyon işlemlerinin Hilbert uzayları

Füzyon süreci nerede ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$ kaynaşmak ${ displaystyle c}$ bir ${ displaystyle N_ {ab} ^ {c}}$ boyutlu karmaşık vektör uzayı ${ displaystyle V_ {ab} ^ {c}}$, içinde bulunduğu tüm farklı birimdik kuantum durumlarından oluşur ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$ kaynaşmak ${ displaystyle c}$. Bu bir Hilbert uzayı oluşturur. Ne zaman ${ displaystyle N_ {ab} ^ {c} leq 1}$Ising ve Fibonacci örneklerinde olduğu gibi, ${ displaystyle V_ {ab} ^ {c}}$ tek durumlu en fazla tek boyutlu bir uzaydır. doğrudan toplam ${ displaystyle bigoplus _ {c} V_ {ab} ^ {c}}$ bir ayrışmasıdır ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {a} otimes { mathcal {H}} _ {b}}$ bireysel anyonun Hilbert uzayının tensör çarpımı ${ displaystyle a}$ ve bireysel anyonun Hilbert uzayı ${ displaystyle b}$. İçinde topolojik kuantum alan teorisi, ${ displaystyle V_ {ab} ^ {c}}$ ile ilişkili vektör uzayı pantolon bel etiketli ${ displaystyle c}$ ve bacaklar ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$.

Üç veya daha fazla parçacığın füzyonuna karşılık gelen daha karmaşık Hilbert uzayları inşa edilebilir, yani kuantum sistemleri için ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots a_ {m}}$ son anyon tipine kaynaşmak ${ displaystyle c}$. Bu Hilbert uzayı ${ displaystyle V_ {a_ {1}, a_ {2}, ldots a_ {m}} ^ {c}}$ örneğin, bir kuasipartikül ile başlayarak oluşturulan kuantum sistemini ${ displaystyle c}$ ve bazı yerel fiziksel prosedürler aracılığıyla, bu dört parçacığı dört parçacığa bölmek ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots a_ {m}}$ (çünkü böyle bir sistemde tüm anyonların mutlaka kaynaşması gerekir. ${ displaystyle c}$ topolojik değişmezlik ile). Arasında bir izomorfizm var ${ displaystyle V_ {a_ {1}, a_ {2}, ldots a_ {m}} ^ {1}}$ ve ${ displaystyle V_ {a_ {j + 1}, a_ {j + 2}, ldots a_ {m}} ^ {{ bar {a}} _ {1}, { bar {a}} _ {2 }, ldots { bar {a}} _ {j}}}$ herhangi ${ displaystyle j}$. Önceki bölümde bahsedildiği gibi, etiketlerin permütasyonları da izomorfiktir.

Yapısı anlaşılabilir ${ displaystyle V_ {a_ {1}, a_ {2}, ldots a_ {m}} ^ {c}}$ bir seferde bir çift anyon füzyon süreçlerini dikkate alarak. Bunu yapmanın, her biri farklı bir ayrıştırmayı türetmek için kullanılabilecek pek çok keyfi yolu vardır. ${ displaystyle V_ {a_ {1}, ldots a_ {m}} ^ {c}}$ pantolon çiftleri halinde. Olası seçeneklerden biri ilk sigortadır ${ displaystyle a_ {1}}$ ve ${ displaystyle a_ {2}}$ içine ${ displaystyle b_ {1}}$, sonra sigortala ${ displaystyle b_ {1}}$ ve ${ displaystyle a_ {3}}$ içine ${ displaystyle b_ {2}}$, ve benzeri. Bu yaklaşım bize gösteriyor ki ${ displaystyle V_ {a_ {1}, a_ {2}, ldots a_ {m}} ^ {c} = bigoplus _ { lbrace b_ {j} rbrace} sol (V_ {a_ {1}, a_ {2}} ^ {b_ {1}} otimes V_ {b_ {1}, a_ {3}} ^ {b_ {2}} otimes V_ {b_ {2}, a_ {4}} ^ {b_ {3}} ldots V_ {b_ {m-3}, a_ {m-1}} ^ {b_ {m-2}} otimes V_ {b_ {m-2}, a_ {m}} ^ {c }sağ)}$ve buna uygun olarak ${ displaystyle N_ {a_ {1}, ldots a_ {m}} ^ {c} = left ( prod _ {j = 2} ^ {m} N_ {a_ {j}} sağ) _ {a_ {1}} ^ {c}}$ nerede ${ displaystyle N_ {a}}$ önceki bölümde tanımlanan matristir.

Bu ayrışma, açıkça Hilbert uzayı için bir temel seçimine işaret ediyor. Anyonların kaynaştırılacağı sıranın farklı keyfi seçimleri, farklı temel seçeneklerine karşılık gelecektir.

Referanslar