GF (2) - GF(2)

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "GF (2)"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Ağustos 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

GF (2) (Ayrıca F₂, Z/2Z veya Z₂) Galois fAlan iki öğenin. En küçüğü alan.

Tanım

İki öğe neredeyse her zaman 0 ve 1 olarak adlandırılır ve katkı ve çarpımsal kimlikler, sırasıyla.

Alanın toplama işlemi aşağıdaki tablo ile verilmiştir. mantıksal ÖZELVEYA operasyon.

Alanın çarpma işlemi şuna karşılık gelir: mantıksal AND operasyon.

GF (2) de şu şekilde tanımlanabilir: bölüm halkası of tamsayılar halkası Z tarafından ideal 2Z hepsinden çift ​​sayılar: GF (2) = Z/2Z.

Özellikleri

GF (2) bir alan olduğundan, sayı sistemlerinin bilinen özelliklerinin çoğu rasyonel sayılar ve gerçek sayılar tutulur:

• ayrıca bir kimlik öğesi (0) ve her eleman için bir ters;
• çarpmanın bir kimlik öğesi (1) ve 0 dışındaki her öğe için bir tersi vardır;
• toplama ve çarpma değişmeli ve ilişkisel;
• çarpma dağıtım fazla ekleme.

Gerçek sayılardan aşina olmayan özellikler şunları içerir:

• her öğe x GF (2) oranı x + x = 0 ve bu nedenle -x = x; bu şu demektir karakteristik GF (2) 2'dir;
• her öğe x GF (2) oranı x² = x (yani etkisiz çarpma ile ilgili olarak); bu bir örneği Fermat'ın küçük teoremi. GF (2), sadece Bu özelliğe sahip alan (Kanıt: eğer ${displaystyle x ^ {2} = x}$, O zaman ya ${displaystyle x = 0}$ veya ${displaystyle xeq 0}$. İkinci durumda, x çarpımsal bir tersi olmalıdır, bu durumda her iki tarafı da x verir ${displaystyle x = 1}$. Tüm büyük alanlar 0 ve 1 dışında öğeler içerir ve bu öğeler bu özelliği karşılayamaz).

Başvurular

Yukarıdaki cebirsel özellikler nedeniyle, matematiğin birçok tanıdık ve güçlü aracı, diğer alanlarda olduğu gibi GF (2) 'de de çalışır. Örneğin, matris işlemleri, matris ters çevirme, GF (2) 'de elemanlara sahip matrislere uygulanabilir (görmek matris halkası ).

Hiç grup V mülk ile v + v = Her biri için 0 v içinde V (yani her öğe bir evrim ) zorunlu olarak değişmeli ve bir vektör alanı 0 tanımlayarak doğal bir şekilde GF (2) üzerindev = 0 ve 1v = v. Bu vektör uzayında bir temel, öğelerin sayısının V 2 (veya sonsuz) gücü olmalıdır.

Modern bilgisayarlar veriler ile temsil edilir bit dizeleri sabit uzunlukta makine kelimeleri. Bunlar bir yapısıyla donatılmıştır. vektör alanı GF üzerinden (2). Bu vektör uzayının eklenmesi, bitsel işlem aranan ÖZELVEYA (özel veya). bitsel AND bu vektör uzayında başka bir işlemdir, bu da onu bir Boole cebri, hepsinin altında yatan bir yapı bilgisayar Bilimi. Bu alanlar, onları bir GF alanına dönüştüren bir çarpma işlemiyle de artırılabilir (2ⁿ), ancak çarpma işlemi bit düzeyinde bir işlem olamaz. Ne zaman n kendisi ikinin gücüdür, çarpma işlemi olabilir nim çarpımı; alternatif olarak, herhangi biri için nGF (2) modulo a üzerinden polinomların çarpımı kullanılabilir ilkel polinom.

Ayrıca bakınız

• Tek öğeli alan

Referanslar

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Sonlu alanlar. Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları. 20 (2. baskı). Cambridge University Press. ISBN  0-521-39231-4. Zbl  0866.11069.